考点36 椭 圆
（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
（3）理解数形结合的思想.
（4）了解椭圆的简单应用.
一、椭圆的定义
平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.
定义式：.
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
二、椭圆的标准方程
焦点在轴上，；
焦点在轴上，.
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.
三、椭圆的图形及其简单几何性质
i)图形
焦点在轴上 焦点在轴上
ii)
| 标准方程 | 几何性质 | |||||
| 范围 | 顶点 | 焦点 | 对称性 | 离心率 | ||
| 椭圆 | ， | 对称轴：轴，轴，对称中心：
原点 |
， | |||
| ， | ||||||
注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.
求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.
四、必记结论
1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．
2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4A．
考向一 椭圆定义的应用
1．椭圆定义的集合语言:往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.
以椭圆 上一点和焦点F1 (－c，0)，F2 (c，0)为顶点的中，若，注意以下公式的灵活运用：
（1）；
（2）；
（3）.
2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解. 
典例1 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．
（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为________________；
（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为________________；
（3）若，则点P到焦点F1的距离为________________．
【答案】（1）3；（2）8；（3）．
【解析】由椭圆的标准方程可知：，，
故，，．
（1）由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|＝1，所以|PF2|＝4－1＝3．
（2）的周长
．
（3）在中，由余弦定理可得，
即，
由椭圆的定义可得，
两式联立解得．
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的周长为，则的值是
A． B．
C． D．
考向二 求椭圆的标准方程
求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.
典例2 椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为
A． B．
【答案】C
【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，
又椭圆经过点(2，0)，
则若焦点在x轴上，则a =2，b=1，椭圆方程为;
若焦点在y轴上，则a=4，b=2，椭圆方程为，故选C．
2．已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为
A． B．
C． D．
考向三 椭圆的几何性质及应用
1．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.
2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
（1）求出a，c，代入公式.
（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
典例3 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m，(m>0)，则此椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得椭圆的标准方程为＋＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝，
∴e2＝＝，即e＝.故选B．
3．已知椭圆(a＞b＞0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是_____．
1．椭圆：的焦距为
A． B．2
C． D．1
2．“”是“方程表示椭圆”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知椭圆上的一点到左焦点的距离为，点是线段的中点，为坐标原点，则
A． B．
C． D．
4．已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为
A． B．
C． D．
5．已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长是短轴长的倍，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭圆的标准方程为
A． B．
C．或 D．或
6．已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈(，1)，则实数m的取值范围是
A．(0，) B．(，+∞)
C．(0，)∪(，+∞) D．(，1)∪(1，)
7．已知点，.若椭圆上存在点，使得为等边三角形，则椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
8．若椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于点，则
A． B．
C． D．
9．已知点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且满足，则的面积为
A．1 B．
C．2 D．4
10．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为
A． B．
C． D．
11．已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为过的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
12．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为
A． B．
C． D．
13．已知、为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在四个不同点满足的面积为，则椭圆的离心率的取值范围为
A． B．
C． D．
14．若椭圆的一个焦点坐标为(0，2)，则实数=__________．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与椭圆相切，则椭圆的长轴长是__________．
16．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若为正三角形，则椭圆的离心率为 .
17．如图，A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P在椭圆上， 是面积为4的等腰直角三角形，则b= .
18．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为_________．
19．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为______.
20．设分别为椭圆的右顶点和上顶点，已知椭圆过点，当线段长最小时椭圆的离心率为_______．
21．求适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1）焦点分别为(0，–2)，(0，2)，经过点(4，3);
（2）对称轴为坐标轴，经过点P(–6，0)和Q(0，8).
22．已知椭圆C的方程为.
（1）求k的取值范围；
（2）若椭圆C的离心率，求的值.
23．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆上一点，且，求的面积.
24．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2．
（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；
（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足，求椭圆C的离心率的取值范围．
25．如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点分别为椭圆的右顶点和上顶点，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程．
1．（2017浙江）椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
2．（2018新课标全国Ⅰ文）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A． B．
C． D．
3．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
4．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为
A． B．
C． D．
5．（2017新课标全国Ⅲ文）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B．
C． D．
6．（2017新课标全国Ⅰ文）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
7．（2018新课标全国Ⅱ文）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B．
C． D．
8．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
9．（2019年高考浙江卷）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
10．（2018浙江）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
11．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
12．（2019年高考天津卷文数）设椭圆的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知（O为原点）.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且，求椭圆的方程.
变式拓展
1．【答案】D
【解析】设椭圆的长轴长为，焦距为，则，，
由椭圆定义可知，的周长为，，
，∴解得，故选D.
【名师点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查利用椭圆定义求椭圆的焦点三角形问题，在处理椭圆的焦点与椭圆上一点线段（焦半径）问题，一般要充分利用椭圆定义来求解，属于基础题.解题时，由椭圆的定义知的周长为，可求出的值，再结合、、的关系求出的值，即的值.
2．【答案】C
【解析】因为，所以，
又，所以在直角三角形中，，
因为，所以，
所以椭圆的方程为：.
【名师点睛】本题考查焦半径、椭圆的定义、椭圆的标准方程等知识，考查运算求解能力.在直角三角形中利用勾股定理求，再由椭圆的定义求的值.
3．【答案】
【解析】由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，
所以底角小于等于30°，即，
故椭圆的离心率的取值范围是.
故答案为：.
【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.求解时，由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，即得椭圆的离心率的取值范围.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且，所以，因此，故.所以焦距为2.故选B.
2．【答案】C
【解析】方程表示椭圆，即且，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选C.
【名师点睛】本题考查了椭圆的概念与充要条件的判断，易错点为椭圆中，属于较为基础题.先求得方程表示椭圆的m的取值范围，再利用充分必要条件去判断可得答案.
3．【答案】C
【解析】由椭圆的定义得
，
又，
∴.故选C.
4．【答案】C
【解析】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，
于，，，可得，，
结合，解得，，
所以所求椭圆方程为：，故选C．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．求解时，利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后写出椭圆方程．
5．【答案】D
【解析】由于椭圆的长轴长是短轴长的倍，即有，
又抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，得椭圆经过点，
若焦点在轴上，则，，椭圆方程为；
若焦点在轴上，则，，椭圆方程为.
∴椭圆的标准方程为或．故选
6．【答案】C
【解析】椭圆x2+my2=1的标准方程为.
又<e<1，所以0<.
当椭圆的焦点在x轴上时，a2=1，b2=，则m>;
当椭圆的焦点在y轴上时，a2=，b2=1，则0<m<.
所以实数m的取值范围是0<m<或m>.
【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的，如轴长、焦距、离心率;(2)与坐标系有关的，如顶点坐标、焦点坐标.
7．【答案】C
【解析】过点C作x轴垂线，垂足为D，
根据正三角形性质可知D为A，B的中点，则C点坐标为（1，），
将C点的坐标代入椭圆方程得，解得m＝6，
所以椭圆的离心率为：．
故选C．
【名师点睛】本题主要考查了椭圆方程和离心率的求解，解题的关键是充分利用正三角形的性质，求出C点的坐标．
8．【答案】D
【解析】因为离心率为，所以，
因为过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于点，所以得点，即，
从而
所以，故选D.
【名师点睛】本题考查椭圆离心率以及通经，考查基本分析求解能力，属中档题.根据离心率得关系，再求点坐标，最后根据余弦定理求结果.
9．【答案】A
【解析】因为，所以，
所以.
由题意得，即，
即，解得.
所以的面积.选A．
10．【答案】D
【解析】设椭圆的右焦点为，易知，
由，得，
根据椭圆的定义可得，
所以.
11．【答案】B
【解析】如图，延长交椭圆于点，设椭圆右焦点为，连接.
根据题意，，
所以，
根据椭圆定义，所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以椭圆离心率为，故选B.
【名师点睛】本题考查椭圆的定义，几何性质，余弦定理等，属于中档题.根据椭圆几何性质可把椭圆内每条线段的长度用表示，然后利用余弦定理，在两个三角形里分别表示同一角的余弦，得到关系，求出离心率.
12．【答案】D
【解析】由题意得椭圆的短轴长为，，
解得，
则，
设，则，，
即，
，故选D．
13．【答案】D
【解析】设，，则，若存在四个不同点满足，则，即，解得，，故选D.
【名师点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．
14．【答案】9
【解析】由题意可得m＞5，则椭圆1中的a，b，
所以c，即有2，解得m＝9．
故答案为：9．
【名师点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查焦点坐标的运用，以及运算能力，属于基础题．由题意可得椭圆焦点在y轴上，从而可得2，解方程可得m．
15．【答案】4
【解析】设椭圆的短半轴长为，半焦距为.
由以为直径的圆与椭圆相切，可得，
又由，所以，即椭圆的长轴长为，故选B
【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据以为直径的圆与椭圆相切，得到是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．【答案】
【解析】方法一：e=.
因为为等边三角形，
所以|AF1|∶|F1F2|∶|F2A|=1∶∶2，
所以e=.
方法二：不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0)，F1(c，0)，F2(-c，0)，，
由得|y|=，即|AF1|=|BF1|=，|AB|=.
因为为正三角形，所以·=2c，
得(a2-c2)=2ac，即e2+2e-=0.
又0<e<1，解得e=.
17．【答案】
【解析】已知是等腰直角三角形，而|OB|=a，
过点P作PH⊥OB于点H，则PH=OH=OB=a，
所以其面积S=|OB|×|PH|=×a×a=a2.
故由题意可得a2=4，解得a=4，故P(2，2).
由点P在椭圆上可得，+=1，解得b2=，
所以b=.
18．【答案】
【解析】由题意得．
设椭圆上一点，则，
∴，
又，
∴当时，取得最小值．
【名师点睛】解答圆锥曲线中的最值问题时，可将所求的最值表示成某一参数的表达式，然后再根据不等式或函数的知识求解，由于解题中要涉及复杂的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，适当运用换元等方法进行求解．
19．【答案】
【解析】依题意设椭圆C的方程为，则椭圆C的面积为，
又，解得，.则椭圆C的标准方程为，
故答案为：.
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，一般要结合已知条件求出、、的值，再利用椭圆焦点位置得出椭圆的标准方程，考查运算求解能力，属于中等题.
20．【答案】
【解析】由椭圆过得：，
由椭圆方程可知：，，
，
又（当且仅当，即时取等号），
当时，线段长最小，
，.
本题正确结果为.
【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用基本不等式求解和的最小值，根据等号成立条件可得到椭圆之间的关系，从而使问题得以求解.
21．【答案】（1）+=1；（2）+=1.
【解析】（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0).
方法一:由椭圆的定义知，，
所以a=6.
又c=2，所以b==4，
所以椭圆的标准方程为+=1.
方法二:因为所求椭圆过点(4，3)，所以+=1.
又a2-b2=c2=4，所以a2=36，b2=32，
所以椭圆的标准方程为+=1.
（2）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，
则短半轴长b=6，长半轴长a=8，且短轴、长轴分别在x轴和y轴上，
所以椭圆的标准方程为+=1.
22．【答案】（1）；（2）2或8．
【解析】（1）∵方程表示椭圆，
∴.
（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=，
∴c=，
又，
②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=，
∴c=，
又，
综上，k的值为2或8．
23．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为，
∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为，
∴，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）在中，由余弦定理得
，
又由椭圆的定义得，
∴，
∴，
∴．
【名师点睛】利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值时，可利用定义和余弦定理可求得，再结合进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．
24．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题设，椭圆的焦距，即，
所以，
因为椭圆经过点，
所以，即，
化简、整理得，解得（负值已舍去）.
故求椭圆的标准方程为.
（2）易知，设，于是.①
因为，即，
所以，即.②
联立①②，并注意到，解得.
因为，所以.
于是，即，亦即.
所以，即.
故椭圆的离心率的取值范围是.
【思路点拨】（1）由题意得，代入已知点，可得，的方程，解方程即可得到所求的椭圆方程；
（2）设，运用两点的距离公式，化简整理，即可得到点的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围.
25．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
，，
，解得，
，
故．
（2）设，由（1）知椭圆方程可化简为．①
易求直线的斜率为，
故可设直线的方程为：．②
由①②消去得．
，．
于是的面积
，
．
因此椭圆的方程为，即.
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率以及通过弦长公式求椭圆的相关量，属于一般题.
（1）由可得，计算进而得答案.
（2）设直线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，代入的面积公式计算整理即可.
直通高考
1．【答案】B
【解析】椭圆的离心率，故选B．
2．【答案】C
【解析】由题可得，因为，所以，即，
所以椭圆的离心率，故选C．
【名师点睛】该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.
3．【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．
4．【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在和中，由余弦定理得，
又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
5．【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
整理可得，即即，
从而，
则椭圆的离心率，故选A．
6．【答案】A
【解析】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；
当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，
故的取值范围为，故选A．
7．【答案】D
【解析】在中，，
设，
则，
又由椭圆定义可知，
则，故选D．
【名师点睛】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.
8．【答案】
【解析】由已知可得，
，∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
9．【答案】
【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，
由中位线定理可得，设，可得，
与方程联立，可解得（舍），
又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.
方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，
由中位线定理可得，即，
从而可求得，所以.
【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.
10．【答案】
【解析】设，，
由得，，
所以，
因为，在椭圆上，所以，，
所以，所以，
与对应相减得，，
当且仅当时取最大值．
【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
11．【答案】（1）；（2），a的取值范围为.
【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是.
（2）由题意可知，满足条件的点存在．当且仅当，，，即，①
，②
，③
由②③及得，又由①知，故．
由②③得，所以，从而故.
当，时，存在满足条件的点P．
所以，的取值范围为．
【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.
12．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知有，又由，消去得，解得.
所以，椭圆的离心率为.
（2）由（1）知，，故椭圆方程为.
由题意，，则直线的方程为，
点P的坐标满足消去并化简，得到，解得.
代入到的方程，解得.
因为点在轴上方，所以.
由圆心在直线上，可设.
因为，且由（1）知，故，解得.
因为圆与轴相切，所以圆的半径长为2，
又由圆与相切，得，可得.
所以，椭圆的方程为.
【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.
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