考点49 数系的扩充与复数的引入
（十九）数系的扩充与复数的引入
1．复数的概念
（1）理解复数的基本概念.
（2）理解复数相等的充要条件.
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义.
2．复数的四则运算
（1）会进行复数代数形式的四则运算.
（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
一、复数的概念
二、复数的几何意义
1．复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
（1）复数z=a＋bi 
复平面内的点(a，b∈R)．
（2）复数z=a＋bi(a，b∈R) 
平面向量.
2．复数加、减法的几何意义
（1）复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量不共线，则复数z1＋z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
（2）复数减法的几何意义：复数z1−z2是所对应的复数．
三、复数的代数运算
1．复数的运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则
设，则
①加法：；
②减法：；
③乘法：；
④除法：．
（2）复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有．
（3）复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有，，.
2．常用结论
（1）；=；=.
（2）．
（3）．
（4）．
（5）模的运算性质：①；②；③.
考向一 复数的有关概念
求解与复数概念相关问题的技巧：
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解.
典例1 已知是虚数单位，复数，复数的共轭复数.
（1）若，求实数的值；
（2）若是纯虚数，求.
【答案】（1）4；（2）.
【解析】.
（1）由已知得.
.
（2）由已知得，
是纯虚数，
,解得，
.
【名师点睛】本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.熟记结论：若z=a＋bi(a，b∈R)，则b=0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a=0且b≠0时，z是纯虚数．对于本题，（1）先求出，再根据，求出实数的值；（2）由已知得，再根据是纯虚数求出a的值即得解.
1．设是虚数单位，如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数的值为
A． B．
C． D．
考向二 复数的几何意义
复数的几何意义及应用：
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z=a＋bi(a，b∈R)Z(a，b).
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【注意】|z|的几何意义：令z=x＋yi(x，y∈R)，则|z|=，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1−z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.
典例2 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】,对应点为,位于第二象限.
故选B.
典例3 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，−2＋4i.
试求：
（1）所表示的复数；
（2）对角线所表示的复数；
（3）求B点对应的复数．
【答案】（1）所表示的复数为−3−2i，所表示的复数为；（2）5−2i；（3）1＋6i.
【解析】（1）∵，
∴所表示的复数为.
∵，
∴所表示的复数为.
（2）∵=−，
∴所表示的复数为.
（3）∵=＋=＋，
∴所表示的复数为(3＋2i)＋(−2＋4i)=1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.
【名师点睛】结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．
2．复数，则的共轭复数在复平面内的对应点在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．如果复数满足，那么的最小值是________.
考向三 复数的四则运算
复数代数形式的四则运算是每年高考考查的一个重要考向，常利用复数的加减乘运算求复数，利用复数的相等或除法运算求复数等，题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题，复数代数形式的运算问题常见题型及解题策略：
(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可．
(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简．
(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.
典例4
A．1＋i B．1−i
C．−1＋i D．−1−i
【答案】D
【解析】.
故选D.
典例5 已知为虚数单位，则等于
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于，
则的周期为4，且，
所以原式=.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查复数的计算和的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.对于本题，利用的周期求解即可.
4．若，则
A．−2 B．2
C． D．
1．
A． B．
C．−1 D．1
2．若，则
A． B．
C．−1 D．1
3．设i为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第二象限 D．第四象限
5．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于
A．−2 B．2
C． D．−1
6．已知，，则
A． B．
C．2 D．
7．已知复数的实部为1，且的模长为2，则
A． B．
C． D．
8．设复数在复平面内对应的点为，，若复数的实部与虚部的和为，则
A． B．
C． D．
9．已知a，b∈R，i为虚数单位，(2a+i)(1+3i)=3+bi，则a+b=
A．22 B．−16
C．9 D．−9
10．若复数（）不是纯虚数，则
A． B．
C． D．且
11．已知，，是关于的方程的一个根，则
A． B．
C． D．
12．若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则
A． B．
C． D．
13．设是复数，则下列命题中的假命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．下列命题正确的是
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
15．欧拉公式(为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数的模为
A． B．
C． D．
16．__________．
17．复数的虚部为________.
18．已知复数，为虚数单位，若在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围是___________．
19．若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数=___________．
20．设是复数，表示满足时的最小正整数，是虚数单位，则________.
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设，则
A． B．
C． D．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设，则
A． B．
C． D．
3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若，则
A． B．
C． D．
4．【2019年高考北京卷文数】已知复数，则
A． B．
C． D．
5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设，则
A． B．
C． D．
6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】
A． B．
C． D．
7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】
A． B．
C． D．
8．【2018年高考北京卷文数】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．【2018年高考浙江卷】复数(i为虚数单位)的共轭复数是
A．1+i B．1−i
C．−1+i D．−1−i
10．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．i(1+i)2 B．i2(1-i)
C．(1+i)2 D．i(1+i)
11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】
A． B．
C． D．
12．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】复平面内表示复数的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
13．【2017年高考北京卷文数】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
14．【2019年高考天津卷文数】是虚数单位，则的值为______________．
15．【2019年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则=______________．
16．【2019年高考江苏卷】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是______________．
17．【2018年高考天津卷文数】是虚数单位，复数______________．
18．【2018年高考江苏卷】若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为______________．
19．【2017年高考浙江卷】已知，（i是虚数单位），则______________，______________．
20．【2017年高考天津卷文数】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为______________．
21．【2017年高考江苏卷】已知复数，其中i是虚数单位，则的模是______________．
变式拓展
1．【答案】D
【解析】==，
∵复数的实部与虚部互为相反数，∴，即a=．
故选D．
【名师点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的实部与虚部的概念，属于基础题．求解时，由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由已知条件列出方程，求解即可得答案．
2．【答案】A
【解析】，在复平面内的对应点为，
故选A.
【名师点睛】本题考查复数，属于基础题.求解时，化简，写出共轭复数即可根据复平面的定义选出答案.
3．【答案】
【解析】设，由复数模的三角不等式可得，
所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段，的几何意义为复数对应的点到点的距离，如下图所示：
当时，则取得最小值.
故答案为：.
【名师点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.求解本题时，先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段，的几何意义为复数对应的点到点的距离，利用数形结合思想可得出的最小值.
4．【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，故选C．
【名师点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.求解时，根据共轭复数的性质可知，直接利用复数模的性质即可求解.
考点冲关
1．【答案】A
【解析】，故选A．
【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．由题意利用复数的运算法则计算所给的复数即可.对于此类问题，要熟记下列公式：设，则，.
2．【答案】D
【解析】由.
故选D.
【名师点睛】本题考查复数的基本运算，处理技巧在于变形成除法运算形式.求解时，需对运算公式进行变形，再进行化简即可.
3．【答案】B
【解析】复数是纯虚数，则或，所以“复数是纯虚数”不是“”的充分条件；
当时，复数为，是纯虚数，“复数是纯虚数”是“”的必要条件，
所以“复数是纯虚数”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【名师点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题，直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可．求解时，先求得“复数是纯虚数”时的值，再根据充分、必要条件的判断依据，判断出正确选项.
4．【答案】A
【解析】，所以，故选A．
【名师点睛】本题考查复数运算，共轭复数及其坐标表示.属于基础题.求解时，化简计算出，写出其共轭复数，即可选出答案.
5．【答案】C
【解析】是纯虚数，所以，故选C．
6．【答案】D
【解析】因为且，
所以，所以，
故选D．
【名师点睛】本题考查了复数的基本运算，复数的模，复数相等的概念，属基础题.求解时，先由复数相等的定义得到，再求值.
7．【答案】D
【解析】设z＝1+mi（m∈R），则||＝||，解得m．∴z＝1．故选D．
【名师点睛】本题主要考查复数的定义以及复数模的公式应用.求解时，由已知设z＝1+mi（m∈R），代入，再由模长为2列式求得m值，则z可求．
8．【答案】C
【解析】因为，，复数的实部与虚部的和为，
所以，故选C．
【名师点睛】本题考查复数的四则运算及实部、虚部的概念，属于基础题.根据复数的乘法运算和复数的概念求解.
9．【答案】A
【解析】∵（2a+i）（1+3i）＝3+bi，∴2a﹣3+（6a+1）i＝3+bi，
∴，解得a＝3，b＝19，
∴a+b＝3+19＝22，
故选A．
【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．求解时，直接利用复数的乘法运算及复数相等的条件列式求得a，b的值．
10．【答案】A
【解析】若复数（）是纯虚数，
根据纯虚数的定义有：，
则复数（）不是纯虚数，，
故选A.
【名师点睛】本题考查虚数的分类，属于基础题.求解时，先解出复数（）是纯虚数时的值，即可得出答案.
11．【答案】A
【解析】依题意，复数是关于的方程的一个根，
可得，即，
所以，解得，所以，故选A．
【名师点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解时，由是关于的方程的一个根，代入方程化简得，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.
12．【答案】B
【解析】∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，，∴，
则.
本题选择B选项.
13．【答案】D
【解析】对于A，若，则，所以为真；
对于B，若，则和互为共轭复数，所以为真；
对于C，设，若，则，
，所以为真；
对于D，若，则为真，而，所以为假．
故选D．
14．【答案】B
【解析】选项A中，当时，复数是纯虚数，故错误；
选项B中，时，复数，为纯虚数，故正确；
选项C中，是纯虚数，则，即，得，故错误；
选项D中，没有给出为实数，当，时，也可以是虚数，故错误.
所以选B项.
【名师点睛】本题考查复数的定义和纯虚数的概念，判断命题的正确，属于简单题.求解时，分别对四个选项进行判断，得到正确的选项.
15．【答案】C
【解析】由题意，=cos+isin，
∴，
∴表示的复数的模为．
故选C．
【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．直接由题意可得，再由复数模的计算公式得答案．
16．【答案】1
【解析】，即该复数的模长为1.
故答案为1.
17．【答案】
【解析】，因此，复数的虚部为.
故答案为：.
【名师点睛】本题考查复数的虚部的求解，考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.求解时，利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部.
18．【答案】
【解析】由题得，若在复平面内对应的点位于第一象限，则且，解得，即的取值范围为.
19．【答案】
【解析】因为= ，其为纯虚数，所以，解得=1.故答案为.
20．【答案】4
【解析】∵，∴，
∵表示满足的最小正整数，∴当时满足第一次成立，∴，
故答案为.
直通高考
1．【答案】C
【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得，再求即可．
【解析】方法1：由题可得，所以，故选C．
方法2：由题可得，故选C．
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．
2．【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念写出即可．
【解析】由题可得，所以，故选D．
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误．
3．【答案】D
【解析】由题可得．故选D．
【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
4．【答案】D
【解析】因为，所以，所以，故选D．
【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2=|z1|2=|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．
5．【答案】C
【解析】因为，
所以，故选C．
【方法技巧】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
6．【答案】D
【解析】，故选D．
7．【答案】D
【解析】，故选D．
8．【答案】D
【解析】的共轭复数为，
对应点为，在第四象限，故选D．
【名师点睛】此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分．将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限．
9．【答案】B
【解析】，∴共轭复数为，故选B．
10．【答案】C
【解析】由，可知为纯虚数，故选C．
11．【答案】B
【解析】由题意，故选B．
【名师点睛】（1）首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．
（2）其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．
12．【答案】C
【解析】，则表示复数的点位于第三象限，所以选C．
13．【答案】B
【解析】，
因为对应的点在第二象限，所以，解得，
故实数a的取值范围是，故选B．
14．【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
【答案】
【解析】由题可得．
15．【分析】本题先计算，而后求其模．或直接利用模的性质计算． 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．
【答案】
【解析】由题可得．
16．【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值．
【答案】
【解析】由题可得，
令，解得．
【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
17．【答案】
【解析】由复数的运算法则得．
18．【答案】2
【解析】因为，则，则的实部为．
19．【答案】5 2
【解析】由题意可得，则，解得，则．
20．【答案】
【解析】由题可得为实数，
所以，解得．
【名师点睛】（1）复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件的问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
（2）对于复数，
当时，为虚数；
当时，为实数；
当时，为纯虚数．
21．【答案】
【解析】，故答案为．
【名师点睛】（1）对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．
（2）其次要熟悉复数相关概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．
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