2020年高考各科总复习考点一遍过讲义考点50 坐标系与参数方程-备战2020年高考数学（文）考点一遍过

考点50 坐标系与参数方程

1．坐标系

（1）理解坐标系的作用.

（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.

2．参数方程

（1）了解参数方程，了解参数的意义.

（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.

（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.

一、坐标系

1．极坐标系的概念

在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则或

3．圆的极坐标方程

若圆心为M(ρ₀，θ₀)，半径为r的圆方程为ρ²－2ρ₀ρcos(θ－θ₀)＋ρ－r²＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程

(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；

(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；

(3)当圆心位于，半径为a：ρ＝2asinθ.

4．直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ₀，θ₀)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ₀sin (θ₀－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程

(1)直线过极点：θ＝θ₀和θ＝π－θ₀；

(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；

(3)直线过且平行于极轴：ρsin θ＝b.

二、参数方程

1.直线的参数方程

若直线过(x₀,y₀),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数).这是直线的参数方程,其中参数t有明显的几何意义.

2.圆的参数方程

若圆心在点M₀(x₀,y₀),半径为R,则圆的参数方程为0≤θ≤2π.

3.椭圆的参数方程

若椭圆的中心不在原点,而在点M₀(x₀,y₀),相应的椭圆参数方程为0≤t≤2π.

【解题必备】一、参数方程与普通方程的互化技巧

1.参数方程化为普通方程

基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.

2.普通方程化为参数方程

曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.

二、直线与圆锥曲线的参数方程的应用规律

解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路为:

第一步,先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程;

第二步,根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.

另外,当直线经过点P(x₀,y₀),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时,可以把直线的参数方程设成(t为参数),交点A,B对应的参数分别为t₁,t₂,计算时,把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程,求出t₁+t₂,t₁·t₂,得到|AB|=|t₁–t₂|=.

考向一 平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换．

典例1 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换.

（1）求点经过变换所得的点的坐标；

（2）点经过变换得到点，求点的坐标；

（3）求直线经过变换后所得直线的方程；

（4）求双曲线经过变换后所得曲线的焦点坐标.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】（1）设，由伸缩变换得，

由于，

所以，，即点的坐标为.

（2）设，由伸缩变换，得到，

由于，则，，

所以点的坐标为.

（3）设直线上任意一点.

由（2）可知，将，代入得，所以，

所以直线的方程为.

（4）设曲线上任意一点，将，代入，化简得，

即为曲线的方程，

可得仍是双曲线，且该双曲线的焦点坐标分别为.

【名师点睛】本题主要考查了图形的伸缩变换公式的应用，其中解答中熟记图形的伸缩变换的公式，代入曲线的方程，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

1．已知曲线的参数方程为（为参数），在同一直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线.

（1）求曲线的普通方程；

（2）若点在曲线上，已知点，求直线倾斜角的取值范围.

考向二 极坐标和直角坐标的互化

1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ²＝x²＋y²，tanθ＝(x≠0)．

2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．

典例2 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，它在点处的切线为直线l.

（1）求直线l的直角坐标方程；

（2）设直线l与的交点为P₁，P₂，求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）∵曲线C的极坐标方程为，

∴，

∴曲线C的直角坐标方程为，∴，

又的直角坐标为（2，2），

∴.

∴曲线C在点（2，2）处的切线方程为，即直线l的直角坐标方程为.

（2），

不妨设P₁(1，0)，P₂(0，-2)，则线段P₁P₂的中点坐标

所求直线斜率为k

于是所求直线方程为y+1

化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ+4ρsin θ=-3，即ρ

【名师点睛】这个题目考查了极坐标和直角坐标的互化，涉及中点坐标的计算，导数的几何意义，即函数在某点处的导数值即为在该点处的切线的斜率.求解时，（1）先将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，再由导数的几何意义得到切线的斜率，根据点斜式得到切线方程；（2）联立直线和椭圆得到两点坐标，再由中点坐标公式得到中点坐标，直线斜率为k进而得到直线方程.

2．在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）直线，直线，若，与曲线分别交于异于极点的，两点，求的面积.

考向三 参数方程与普通方程的互化

1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．

2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．

典例3 在平面直角坐标系xOy中，曲线：（是参数），曲线：（是参数），若曲线与相交于A，B两个不同点，则|AB|=_______.

【答案】

【解析】曲线C₁：（t是参数），转化为直角坐标方程为：x﹣y﹣1=0，

曲线C₂：（θ是参数），转化为直角坐标方程为：，

建立方程组： ，得到：3x²﹣4x=0，解得：x=0或.

所以A（0，﹣1），B（），所以|AB|==．

故答案为.

【名师点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．首先把方程转换为直角坐标方程，进一步利用方程组求出A、B的坐标，再求出|AB|的长．

典例4 在直角坐标系中，已知曲线、的参数方程分别为：，：．

（1）求曲线的普通方程；

（2）已知点，若曲线与曲线交于两点，求的取值范围．

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）曲线的普通方程为：，

曲线的普通方程为：，

或：当时，曲线的普通方程为：，

当时，曲线的普通方程为：.

（2）将：代入：，化简整理得：，

设两点对应的参数分别为，

则恒成立，，

，

，

.

【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化及直线参数方程参数几何意义的应用，属于基础题.

（1）由，消参即可得普通方程；

（2）由直线的参数方程与椭圆方程联立，利用直线参数的几何意义，可知，从而得解.

3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(t为参数)．

（1）求曲线的普通方程；

（2）若曲线与曲线交于P，Q两点，且，求的值.

考向四 极坐标方程与参数方程的综合应用

参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决.

典例5 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标．

【答案】（1），；（2）最小值为，点的直角坐标为．

【解析】（1）由可得，即，

故曲线的普通方程为，

由可得，即，即，故曲线的直角坐标方程为．

（2）由题意，可设点的直角坐标为，

因为曲线是直线，

所以的最小值即点到直线的距离的最小值，

易得点到直线的距离为，

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值，最小值为，此时点的直角坐标为．

4．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线l与曲线C相交于M，N两点．

（1）求出曲线C的极坐标方程；

（2）记线段MN的中点为P，求的值．

1．参数方程对应的普通方程为

A． B．

C． D．

2．在平面直角坐标系xOy中，圆C₁：经过伸缩变换后得到曲线C₂，则曲线C₂的方程为

A．4x²+y²＝1 B．x²+4y²＝1

C．1 D．x²1

3．已知曲线的极坐标方程为：，为曲线上的动点，为极点，则的最大值为

A．2 B．4

C． D．

4．已知曲线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：（），曲线与直线相交于两点，则为

A． B．

C． D．

5．在直角坐标系中，曲线的方程为：，直线的参数方程为：（为参数），若直线与曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为

A． B．

C． D．

6．极坐标方程化为直角坐标方程，得__________.

7．在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），为曲线上的动点，直线的方程为：，则点到该直线的距离的最小值为__________.

8．在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为(t为参数)，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线与圆交于B、C两点，则线段BC中点的直角坐标为________.

9．已知直线：(为参数)，曲线：（为参数）．

（1）设与相交于两点，求；

（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值．

10．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程，

（2）设直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围.

11．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；

（2）若直线与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求的值．

12．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设P（0，−1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求.

13．在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求与交点的极坐标；

（2）已知直线，点在曲线上，求点到的距离的最大值.

14．在直角坐标系中，已知曲线（为参数，且），其中．在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线，.

（1）求与的交点的直角坐标；

（2）求证：交点至少有一点在曲线上．

15．在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．

（1）求曲线的参数方程；

（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．

1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．

（1）分别写出，，的极坐标方程；

（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．

4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为．

（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．

5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．

6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

8．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．

9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．

（1）若，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求．

10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．

11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为（t为参数），直线l₂的参数方程为．设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l₃与C的交点，求M的极径．

12．【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．

变式拓展

1．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）

，消去得的普通方程为.

（2）当与圆相切时，（O为坐标原点），

或，

∴直角倾斜角的取值范围为.

【名师点睛】本题考查了参数方程，坐标变换，倾斜角范围，意在考查学生的计算能力和应用能力.求解时，（1）按照坐标变换先得到曲线的参数方程，再化简为普通方程.（2）先计算与圆相切时的斜率，再计算倾斜角的范围.

2．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）曲线的普通方程为，即.

曲线的极坐标方程为.

（2）设，.

把代入，得，

.

把代入，得，

.

.

【名师点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化：，考查极坐标的几何意义，考查三角形面积的求法，属于中档题.求解时，（1）利用普通方程与极坐标方程的转化公式，即可得曲线的极坐标方程；（2）把，分别代入曲线的极坐标方程中，即可得到，的长，，的坐标以及，最后代入三角形面积公式，即可得到的面积.

3．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以其普通方程为即.

（2）设P，Q两点对应的参数分别为，

曲线的参数方程（t为参数）可化为（t为参数），

代入曲线的普通方程，可得

所以

所以，所以，

因为，所以异号，

则.

【名师点睛】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互相转化，以及直线的参数方程中参数的几何意义，联立直线方程与曲线方程时，需正确判断参数的符号，避免出错，属于基础题.（1）消去参数可将曲线的参数方程先化成普通方程；（2）将曲线的参数方程为(t为参数)化成标准的参数方程，再代入曲线的普通方程中，得到P，Q两点对应的参数分别为，此时满足其几何意义，求得解.

4．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），

曲线的普通方程为，

，

，

曲线的极坐标方程为.

（2）联立和，得，

设，则，

由，得.

【名师点睛】本题考查极坐标与参数方程的互化，掌握直角坐标方程与极坐标方程的互化公式，是解题的关键，属于基础题.求解时，（1）消参得，再根据公式化简即可得出答案；（2）联立和得，即，根据代入即可.

考点冲关

1．【答案】D

【解析】因为，所以，

由可得，，代入方程中得，所以普通方程为.

故选D.

【名师点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了余弦函数的取值范围，属于基础题.求解时，根据的取值范围，求出的取值范围，再由代入法消去，可以求出普通方程，而后选出正确答案即可.

2．【答案】C

【解析】因为圆，经过伸缩变换，

所以可得，代入圆，得到.

整理得，即，

故选C项.

【名师点睛】本题考查通过坐标伸缩变换求曲线方程，属于简单题.求解时，根据条件所给的伸缩变换，反解出和的表达式，然后代入到中，从而得到曲线.

3．【答案】D

【解析】因为，所以，，

即.圆心为（1，−2），半径，因为点O到圆上的最大距离等于点O到圆心的距离d加上半径r，且，所以的最大值为，故选D.

【名师点睛】本题主要考查已知点与圆上一点的最大距离的求法.求解时，把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离求得答案.

4．【答案】B

【解析】因为曲线的极坐标方程为：，

所以曲线C的直角坐标方程为，即，这是以（1，1）为圆心，半径的一个圆.

因为直线的极坐标方程为：（），所以直线的直角坐标方程为.因为直线经过圆心（1，1），所以弦AB为直径，且有，故选B.

【名师点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，解决题目的关键是判断出弦AB经过圆点，从而 AB为直径.求解时，把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB过圆心，则.

5．【答案】D

【解析】把代入，得，整理，得，所以，

因为为MN中点，所以，即，得，所以.

故选D.

【名师点睛】求解时，通过联立得到一个关于t的一元二次方程，利用，求斜率k.

6．【答案】

【解析】，，

∴.

【名师点睛】本题主要考查了直线的极坐标方程转化为直角坐标方程.求解时，把变成，变成，可得到直线的直角坐标方程.

7．【答案】

【解析】设点，则点P到直线的距离，当时，d取最小值，.

【名师点睛】本题主要考查用三角函数解决最值问题，要重点掌握.求解时，点P用参数表示，把问题转化为求三角函数的最值来解决.

8．【答案】

【解析】直线的参数方程为(t为参数)，转化为普通方程为：，

圆转化为普通方程为：，

将直线方程代入圆的方程中，整理得，

设交点为，中点坐标为，则，

，

则线段BC中点的直角坐标为.

【名师点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，以及一元二次方程根和系数关系的应用.参数方程转化为直角坐标方程，常用方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，极坐标方程转化为直角坐标方程，常通过转化公式直接代入，或先将已知式子变形，如两边同时平方或同时乘以，再代入公式.本题将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程转化为普通方程，再求解.

9．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）的普通方程为，的普通方程为，

联立方程组，解得交点为，

所以=.

（2）曲线：（为参数）．

设所求的点为，

则到直线的距离.

当时，取得最大值．

【名师点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查坐标变换以及点到直线距离公式，还考查了三角函数最值的求法，属于中档题.求解时，（1）消去直线参数方程的参数，求得直线的普通方程.消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程，联立直线和曲线的方程求得交点的坐标，再根据两点间的距离公式求得.（2）根据坐标变换求得曲线的参数方程，由此设出点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线的距离的最大值.

10．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）将曲线的参数方程消去参数，得.

将及代入上式，得.

（2）依题意有.

将代人曲线的极坐标方程，得.

设，则.

所以.

因为，

所以，

则，

所以的取值范围为.

【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解时，（1）利用三角函数的基本关系式消去参数，即可求得曲线C的普通方程，代入极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求解曲线C的极坐标方程.（2）将代入曲线的极坐标方程，根据极径的几何意义，即可求解.

11．【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）∵，

∴，

∴曲线C的直角坐标方程为．

∵直线l的参数方程为（t为参数），

∴．

∴直线l的极坐标方程为．

（2）将代入曲线C的极坐标方程得，

∴A点的极坐标为．

将代入直线l的极坐标方程得，解得．

∴B点的极坐标为，

∴．

【名师点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．

（1）先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；

（2）将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．

12．【答案】（1）直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为；（2）.

【解析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得直线l的普通方程为.

由，得，则有，即，

则曲线C的直角坐标方程为.

（2）将l的参数方程代入，得，设两根为，，

则，为M，N对应的参数，且，

所以线段MN的中点Q对应的参数为，

所以.

【名师点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了直线参数的几何意义的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求解时，（1）将代入消去参数t可得直线l的普通方程．利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程．（2）将代入得：，利用根与系数的关系及参数的意义可得．

13．【答案】（1）与交点的极坐标为与；（2）点到的距离的最大值为.

【解析】（1）由题意得的直角坐标方程为，的普通方程为.

由，解得或．

∴曲线与的交点为.

∵，

所以与的交点极坐标为，．

（2）由（1）可得圆的圆心到直线的距离为，

又圆的半径为2，

∴点到的距离的最大值为.

【思路点拨】（1）将曲线，的方程分别化为直角坐标方程和普通方程，用解方程组得到两曲线的交点，再化为极坐标方程．

（2）先求出圆心到直线的距离，再根据几何图形求解．

14．【答案】（1），；（2）见解析.

【解析】（1）曲线， ，

可得曲线，，

联立方程组可得，

代入解得或，

可得，.

（2）曲线（为参数，且），可得曲线为过原点的直线，

若倾斜角为，则曲线为过原点和两点．

则交点至少有一点在曲线上．

【名师点睛】本题主要考查极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程及联立方程求交点的问题.求解时，（1）把曲线的极坐标方程变成直角坐标方程，联立方程可求得交点A，B；（2）把曲线转化普通方程，可得为过原点的一条直线，可得结论.

15．【答案】（1）；（2），.

【解析】（1）由得，

将代入，整理得曲线的普通方程为，

设曲线上的点为，变换后的点为，

由题可知坐标变换为，即，

代入曲线的普通方程，整理得曲线的普通方程为，

曲线的参数方程为 (为参数).

（2）设四边形的周长为，设点，

∴，且，，

，，

，

，且当时，取最大值，此时，

∴，，此时.

【名师点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.

（1）先将曲线化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线的普通方程和参数方程；

（2）根据题意，设点，则，利用辅助角公式化简周长的解析式，即可求出最大值及其对应的点的坐标.

直通高考

1．【答案】（1）；的直角坐标方程为；（2）．

【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为．

的直角坐标方程为．

（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）．

C上的点到的距离为．

当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为．

【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．

2．【答案】（1），l的极坐标方程为；

（2）．

【解析】（1）因为在C上，当时，．

由已知得．

设为l上除P的任意一点．在中，，

经检验，点在曲线上．

所以，l的极坐标方程为．

（2）设，在中， 即．

因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．

所以，P点轨迹的极坐标方程为．

【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．

3．【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．

（2）或或或．

【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，．

所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．

（2）设，由题设及（1）知

若，则，解得；

若，则，解得或；

若，则，解得．

综上，P的极坐标为或或或．

【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．

4．【答案】（1）；（2）2．

【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，），B（，），

由余弦定理，得AB=．

（2）因为直线l的方程为，

则直线l过点，倾斜角为．

又，所以点B到直线l的距离为．

【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．

5．【答案】（1）的直角坐标方程为．；（2）的方程为．

【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．

（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．

由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．

综上，所求的方程为．

6．【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）的斜率为．

【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为，

当时，的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

7．【答案】（1）的取值范围是．；（2）点的轨迹的参数方程是为参数，．

【解析】（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）的参数方程为为参数，．

设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．

于是，．

又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是为参数，．

8．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为．

【解析】因为曲线C的极坐标方程为，

所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．

因为直线l的极坐标方程为，

则直线l过A（4，0），倾斜角为，

所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B，则∠OAB=．

连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，

所以．

因此，直线l被曲线C截得的弦长为．

9．【答案】（1），；（2）或．

【解析】（1）曲线的普通方程为．

当时，直线的普通方程为．

由解得或

从而与的交点坐标为，．

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

．

当时，的最大值为．

由题设得，所以；

当时，的最大值为．

由题设得，所以．

综上，或．

【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．

10．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设的极坐标为，M的极坐标为，

由题设知．

由得的极坐标方程．

因此的直角坐标方程为．

（2）设点B的极坐标为，

由题设知，于是的面积

当时，S取得最大值，所以面积的最大值为．

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．

11．【答案】（1）；（2）

【解析】（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l₂的普通方程．

设，由题设得，消去k得．

所以C的普通方程为．

（2）C的极坐标方程为．

联立得．

故，从而．

代入得，所以交点M的极径为．

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

12．【答案】

【解析】直线的普通方程为．

因为点在曲线上，设，

从而点到直线的的距离，

当时，．

因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值．

【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．

 

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