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2010年青海省西宁市中考数学试卷
一、填空题(共12小题,满分30分)
1.(4分)2010的相反数是 ; = .
2.(2分)已知y=2x,则4x2﹣y2的值是 .
3.(2分)《西海都市报》2010年6月7日报道:为重建美好玉树,政府以恢复玉树温室生产增加蔬菜供应量为目标,共投资10 471万元建设保温性能好、抗震能力强的高档次温室.将10 471万元用科学记数法可表示为 元.
4.(4分)根据反比例函数 和一次函数y=2x+1的图象,请写出它们的一个共同点 ;一个不同点 .
5.(2分)“建设大美青海,创建文明城市”,西宁市加快了郊区旧房拆迁的步伐.为了解被拆迁的236户家庭对拆迁补偿方案是否满意,小明利用周末调查了其中的50户家庭,有32户对方案表示满意.在这一抽样调查中,样本容量为 .
6.(2分)将抛物线y=2(x﹣1)2先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 .
7.(2分)要使正六边形旋转后能与自身重合,至少应将它绕中心逆时针方向旋转 度.
8.(2分)汽车刹车距离S(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是S= v2,在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处,发现停放一辆故障车,此时刹车 有危险.
9.(4分)联欢会上,小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室.第16个气球是 颜色气球;这16个气球中出现黄色气球的概率是 .
10.(2分)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,如果AC=14,BD=8,AB=x,那么x的取值范围是 .
11.(2分)如图,已知在直角坐标系中,半径为2的圆的圆心坐标为(3,﹣3),当该圆向上平移 个单位时,它与x轴相切.
12.(2分)如图,将△ABC沿它的中位线MN折叠后,点A落在点A′处,若∠A=28°,∠B=120°,则∠A′NC= 度.
二、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)
13.(3分)计算﹣1﹣2×(﹣3)的结果等于( )
A.5 B.﹣5 C.7 D.﹣7
14.(3分)如图,下列汉字或字母中既是轴对称图形,又是中心对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
15.(3分)如图,图中的几何体中,它的左视图是( )
A. B.
C. D.
16.(3分)下列哪一个函数,其图象与x轴有两个交点( )
A. B.
C. D.
17.(3分)如图是小刚的一张脸,他对妹妹说“如果我用(0,2)表示左眼,用(2,2)表示右眼,那么嘴的位置可以表示成( )
A.(1,0) B.(﹣1,0) C.(﹣1,1) D.(1,﹣1)
18.(3分)如图,在半径为5的⊙O中,若弦AB=8,则△AOB的面积为( )
A.24 B.16 C.12 D.8
19.(3分)西宁市天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时,采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法,若整个小区每户都安装,收整体初装费10000元,再对每户收费500元.某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后,每户平均支付不足1000元,则这个小区的住户数( )
A.至少20户 B.至多20户 C.至少21户 D.至多21户
20.(3分)矩形ABCD中,E,F,M为AB,BC,CD边上的点,且AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,则EM的长为( )
A.5 B. C.6 D.
三、解答题(共8小题,满分66分)
21.(7分)计算:( )﹣1﹣(3.14﹣π)0+0.254×44.
22.(7分)解分式方程:
23.(8分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.
(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):作△ABC的外接圆⊙O,作直径AE,连接BE;
(2)若AB=8,AC=6,AD=5,求直径AE的长.(证明△ABE∽△ADC)
24.(8分)现有分别标有数字﹣1,1,2的3个质地和大小完全相同的小球.若3个小球都装在一个不透明的口袋中,从中随机摸出一个小球后不放回,其标号作为一次函数y=kx+b的系数k.再随机摸出一个,其标号作为一次函数y=kx+b的系数b.
(1)利用树形图或列表法(只选一种),表示一次函数y=kx+b可能出现的所有结果,并写出所有等可能结果;
(2)求出一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率.
25.(8分)自2010年4月1日起,新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》正式实施了.新规定为保障公民的人身安全,对被查酒后驾驶机动车(血液酒精含量超过20毫克/百毫升)的驾驶员加大了处罚力度.某交警大队于4月4日~4月10日这7天共查到12起酒后驾车事件,这12位驾车者血液酒精含量(单位:毫克/百毫升)如下:26,58,29,92,21,43,24,27,36,46,23,31.
(1)请计算这些数据的平均数与极差;
(2)请你运用所学到的统计知识估计新规定实施之后一年内(按365天计算),该交警大队能查到多少起酒后驾车事件?(精确到1起)
(3)该交警大队在新规定实施前的某一周7天内共查到38名司机血液酒精含量超过20毫克/百毫升,平均含量为56毫克/百毫升,请结合相关数据谈谈你的想法.
26.(8分)(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图所示).设计了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由;
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由.
27.(8分)今年年初西南五省的持续干旱,让许多网友感同身受、焦灼不安,更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水.功夫不负有心人,终于有人在山洞C里发现了暗河(如图所示).经勘察,在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A、B两村庄,山洞C位于A村庄南偏东30°方向,且位于B村庄南偏东60°方向.为方便A、B两村庄的村民取水,社会爱心人士准备尽快从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD.现已知A、B两村庄相距6千米.
(1)求这条最近的简易公路CD的长(保留3个有效数字);
(2)每修建1千米的简易公路需费用16000元,请求出修建该简易公路的最低费用(精确到个位).
(本题参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
28.(12分)如图,直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点,tan∠OCB= .
(1)求B点的坐标和k的值;
(2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点.当点A运动过程中,试写出△AOB的面积S与x的函数关系式;
(3)探索:在(2)的条件下:
①当点A运动到什么位置时,△AOB的面积是 ;
②在①成立的情况下,x轴上是否存在一点P,使△POA是等腰三角形?若存在,请写出满足条件的所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.
2010年青海省西宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(共12小题,满分30分)
1.(4分)2010的相反数是 ﹣2010 ; = 1 .
【考点】28:实数的性质.菁优网版权所有
【分析】由于相反数只有符号不同,实数的绝对值和有理数的绝对值一样,所以根据相反数的定义和绝对值的性质求解即可.
【解答】解:2010的相反数是﹣2010;
=|1﹣2|=|﹣1|=1.
【点评】此题主要考查了相反数的定义和绝对值的性质.要注意负数的绝对值是它的相反数.
2.(2分)已知y=2x,则4x2﹣y2的值是 0 .
【考点】54:因式分解﹣运用公式法.菁优网版权所有
【分析】首先运用平方差公式将所求的代数式因式分解,然后再代值计算即可.
【解答】解:∵y=2x,
∴2x﹣y=0,
∴4x2﹣y2,
=4x2﹣y2,
=(2x+y)(2x﹣y),
=(2x+y)×0,
=0.
【点评】本题考查了公式法分解因式,熟记平方差公式结构,整理出(2x﹣y)形式的多项式是解题的关键.
3.(2分)《西海都市报》2010年6月7日报道:为重建美好玉树,政府以恢复玉树温室生产增加蔬菜供应量为目标,共投资10 471万元建设保温性能好、抗震能力强的高档次温室.将10 471万元用科学记数法可表示为 1.0471×108 元.
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于1时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【解答】解:10 471万=10 471×104=1.047 1×108元.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(4分)根据反比例函数 和一次函数y=2x+1的图象,请写出它们的一个共同点 图象都经过第一、三象限 ;一个不同点 一次函数图象是一条直线,反比例函数图象是双曲线 .
【考点】F5:一次函数的性质;G4:反比例函数的性质.菁优网版权所有
【分析】根据两个函数的k值的正负情况和反比例函数图象的性质与一次函数图象的性质解答.
【解答】解:∵3>0,
∴反比例函数图象位于第一、三象限,是双曲线;
∵2>0,
∴一次函数图象经过第一、三象限,是直线;
所以它们的一个共同点是:图象都经过第一、三象限;不同点是:一次函数图象是直线,反比例函数图象是双曲线.
【点评】本题利用反比例函数图象的性质和一次函数图象的性质求解.
5.(2分)“建设大美青海,创建文明城市”,西宁市加快了郊区旧房拆迁的步伐.为了解被拆迁的236户家庭对拆迁补偿方案是否满意,小明利用周末调查了其中的50户家庭,有32户对方案表示满意.在这一抽样调查中,样本容量为 50 .
【考点】V3:总体、个体、样本、样本容量.菁优网版权所有
【分析】总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量,这四个概念时,首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量.
【解答】解:样本容量为50.
【点评】解题要分清具体问题中的总体、个体与样本,关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的,所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目,不能带单位.
6.(2分)将抛物线y=2(x﹣1)2先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 y=2x2 .
【考点】H6:二次函数图象与几何变换.菁优网版权所有
【分析】根据二次函数左加右减,上加下减的平移规律进行解答.
【解答】解:抛物线y=2(x﹣1)2向左平移1个单位,得:y=2(x﹣1+1)2=2x2.
【点评】主要考查的是函数图象的平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.
7.(2分)要使正六边形旋转后能与自身重合,至少应将它绕中心逆时针方向旋转 60 度.
【考点】R3:旋转对称图形.菁优网版权所有
【分析】正六边形的中心与各顶点的距离相等,相邻顶点与中心连线的夹角相等,将圆周六等分,可求旋转角.
【解答】解:根据正六边形的性质可知,相邻的对应点与中心连线的夹角为:360°÷6=60°,
即至少应将它绕中心逆时针方向旋转60°.
【点评】本题考查了图形的旋转变化,学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转,旋转多少度,难度不大,但易错.
8.(2分)汽车刹车距离S(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是S= v2,在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处,发现停放一辆故障车,此时刹车 会 有危险.
【考点】HE:二次函数的应用.菁优网版权所有
【分析】把v值代入解析式求出S,即刹车距离,和80进行比较即可.
【解答】解:把v=100代入S= v2得:
汽车刹车距离s=100>80,因此会有危险.
故答案为:会.
【点评】本题利用求二次函数的值,判断实际问题.
9.(4分)联欢会上,小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室.第16个气球是 黄 颜色气球;这16个气球中出现黄色气球的概率是 .
【考点】X4:概率公式.菁优网版权所有
【分析】列举出所有情况,让出现黄色气球的情况数除以总情况数即为所求的概率.
【解答】解:16个气球的排列顺序为:红、红、红、黄、黄、绿、红、红、红、黄、黄、绿、红、红、红、黄.
故第16个气球是黄颜色气球;
又由于黄气球共有5个,所以这16个气球中出现黄色气球的概率是 .
【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)= .
10.(2分)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,如果AC=14,BD=8,AB=x,那么x的取值范围是 3<x<11 .
【考点】K6:三角形三边关系;L5:平行四边形的性质.菁优网版权所有
【分析】根据平行四边形的性质易知OA=7,OB=4,根据三角形三边关系确定范围.
【解答】解:∵ABCD是平行四边形,AC=14,BD=8,
∴OA= AC=7,OB= BD=4,
∴7﹣4<x<7+4,即3<x<11.
故答案为:3<x<11.
【点评】此题考查了平行四边形的性质及三角形三边关系定理,有关“对角线范围”的题,应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决.
11.(2分)如图,已知在直角坐标系中,半径为2的圆的圆心坐标为(3,﹣3),当该圆向上平移 1或5 个单位时,它与x轴相切.
【考点】D5:坐标与图形性质;MB:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有
【分析】欲求直线和圆有几个公共点,关键是求出圆心到直线的距离d,再与半径r进行比较.
若d<r,则直线与圆相交;若d=r,则直线于圆相切;若d>r,则直线与圆相离.
【解答】解:设圆的半径为r,圆心到直线的距离d,要使圆与x轴相切,必须d=r;
∵此时d=3,
∴圆向上平移1或5个单位时,它与x轴相切.
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定.
12.(2分)如图,将△ABC沿它的中位线MN折叠后,点A落在点A′处,若∠A=28°,∠B=120°,则∠A′NC= 116 度.
【考点】PB:翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有
【分析】先利用内角和定理求∠C,根据三角形的中位线定理可知MN∥BC,由平行线的性质可求∠A′NM、∠CNM,再利用角的和差关系求∠A′NC.
【解答】解:已知∠A=28°,∠B=120°,由三角形的内角和定理可知,
∠C=180°﹣∠A﹣∠B=32°,
∵MN是三角形的中位线,
∴MN∥BC,
∠A′NM=∠C=32°,∠CNM=180°﹣∠C=148°,
∴∠A′NC=∠CNM﹣∠A′NM=148°﹣32°=116°.
【点评】本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等.
二、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)
13.(3分)计算﹣1﹣2×(﹣3)的结果等于( )
A.5 B.﹣5 C.7 D.﹣7
【考点】1G:有理数的混合运算.菁优网版权所有
【分析】按照有理数混合运算的顺序,先乘方再乘除最后加减,有括号的先算括号里面的,计算过程中注意正负符号的变化.
【解答】解:原式=﹣1﹣(﹣6)=﹣1+6=5.
故选:A.
【点评】本题考查的是有理数的混合运算能力.掌握有理数的运算法则及混合运算顺序是解题的关键.
14.(3分)如图,下列汉字或字母中既是轴对称图形,又是中心对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】P3:轴对称图形;R5:中心对称图形.菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:在同一平面内一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这个图形就是轴对称图形.
在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就是中心对称图形.
符合这两个条件的只有第一个田字和第三个H,故选B.
【点评】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义.
轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点.
15.(3分)如图,图中的几何体中,它的左视图是( )
A. B.
C. D.
【考点】U2:简单组合体的三视图.菁优网版权所有
【分析】找到从左面看所得到的图形即可.
【解答】解:从左面看可得到1列正方形的个数为2.
故选:B.
【点评】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.
16.(3分)下列哪一个函数,其图象与x轴有两个交点( )
A. B.
C. D.
【考点】HA:抛物线与x轴的交点.菁优网版权所有
【分析】由题意得,令y=0,看是否解出x值,对A,B,C,D,一一验证从而得出答案.
【解答】解:A、令y=0得, ,移项得, ,方程无实根;
B、令y=0得, ,移项得, ,方程无实根;
C、令y=0得, ,移项得, ,方程无实根;
D、令y=0得, ,移项得, ,方程有两个实根.故选D.
【点评】此题考查二次函数的性质及与一元二次方程根的关系.(利用开口方向和顶点坐标也可解答)
17.(3分)如图是小刚的一张脸,他对妹妹说“如果我用(0,2)表示左眼,用(2,2)表示右眼,那么嘴的位置可以表示成( )
A.(1,0) B.(﹣1,0) C.(﹣1,1) D.(1,﹣1)
【考点】D3:坐标确定位置.菁优网版权所有
【分析】由“左眼”位置点的坐标为(0,2),“右眼”点的坐标为(2,2)可以确定平面直角坐标系中x轴与y轴的位置,从而可以确定“嘴”的坐标.
【解答】解:根据题意,坐标原点是嘴所在的行和左眼所在的列的位置,所以嘴的坐标是(1,0),故选A.
【点评】由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键.
18.(3分)如图,在半径为5的⊙O中,若弦AB=8,则△AOB的面积为( )
A.24 B.16 C.12 D.8
【考点】KQ:勾股定理;M2:垂径定理.菁优网版权所有
【分析】作OC⊥AB于C.根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理求得OC的长,从而求得三角形的面积.
【解答】解:作OC⊥AB于C.
根据垂径定理,得AC=4.
根据勾股定理,得OC=3.
则三角形AOB的面积是 ×8×3=12.
故选:C.
【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理.
19.(3分)西宁市天然气公司在一些居民小区安装天然气与管道时,采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法,若整个小区每户都安装,收整体初装费10000元,再对每户收费500元.某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后,每户平均支付不足1000元,则这个小区的住户数( )
A.至少20户 B.至多20户 C.至少21户 D.至多21户
【考点】C9:一元一次不等式的应用.菁优网版权所有
【分析】根据“x户居民按1000元计算总费用>整体初装费+500x”列不等式求解即可.
【解答】解:设这个小区的住户数为x户.
则1000x>10000+500x,
解得x>20.
∵x是整数,
∴这个小区的住户数至少21户.
故选:C.
【点评】本题考查一元一次不等式的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题列出不等关系式即可求解.注意本题中的住户数是整数,所以在x>20的情况下,至少取21.
20.(3分)矩形ABCD中,E,F,M为AB,BC,CD边上的点,且AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,则EM的长为( )
A.5 B. C.6 D.
【考点】KQ:勾股定理;LB:矩形的性质.菁优网版权所有
【分析】过E作EG⊥CD于G,利用矩形的判定可得,四边形AEGD是矩形,则AE=DG,EG=AD,于是可求MG=DG﹣DM=1,在Rt△EMG中,利用勾股定理可求EM.
【解答】解:过E作EG⊥CD于G,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,
又∵EG⊥CD,
∴∠EGD=90°,
∴四边形AEGD是矩形,
∴AE=DG,EG=AD,
∴EG=AD=BC=7,MG=DG﹣DM=3﹣2=1,
∵EF⊥FM,
∴△EFM为直角三角形,
∴在Rt△EGM中,EM= = = =5 .
故选:B.
【点评】本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识,是基础知识要熟练掌握.
三、解答题(共8小题,满分66分)
21.(7分)计算:( )﹣1﹣(3.14﹣π)0+0.254×44.
【考点】1E:有理数的乘方;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂.菁优网版权所有
【分析】此题涉及到负整数指数幂、零指数幂、乘方三个知识点,在计算时,需要针对每个知识点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得结果.
【解答】解:原式=2﹣1+
=2﹣1+1
=2.
【点评】本题考查实数的综合运算能力,解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算.
22.(7分)解分式方程:
【考点】B3:解分式方程.菁优网版权所有
【分析】本题考查解分式方程的能力,观察方程可得最简公分母是:2(3x﹣1),两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答.
【解答】解:方程两边同乘以2(3x﹣1),
得3(6x﹣2)﹣2=4(2分)
18x﹣6﹣2=4,
18x=12,
x= (5分).
检验:把x= 代入2(3x﹣1):2(3x﹣1)≠0,
∴x= 是原方程的根.
∴原方程的解为x= .(7分)
【点评】(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
23.(8分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.
(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):作△ABC的外接圆⊙O,作直径AE,连接BE;
(2)若AB=8,AC=6,AD=5,求直径AE的长.(证明△ABE∽△ADC)
【考点】N3:作图—复杂作图;S9:相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】(1)由于三角形的外心是三边中垂线的交点,可作△ABC任意两边的垂直平分线,它们的交点即为外接圆的圆心O,确定了圆心即可画出⊙O及直径AE.
(2)由圆周角定理可得:∠C=∠E,∠ABE=∠ADC=90°,由此可证得△ADC∽△ABE,根据所得比例线段即可求得直径AE的长.
【解答】解:(1)正确作出△ABC的外接圆⊙O,
正确作出直径AE;
(2)证明:由作图可知AE为⊙O的直径,
∴∠ABE=90°,(直径所对的圆周角是直角)
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠ABE=∠ADC,
∵ = ,
∴∠E=∠C,
∴△ABE∽△ADC,
∴ ,即 ,
∴AE=9.6.
【点评】解决此题的关键是熟练掌握三角形外心的定义,要熟记此题的作图方法,这在求三角形的外接圆半径(或直径)时,是常用也是主要的辅助线作法.
24.(8分)现有分别标有数字﹣1,1,2的3个质地和大小完全相同的小球.若3个小球都装在一个不透明的口袋中,从中随机摸出一个小球后不放回,其标号作为一次函数y=kx+b的系数k.再随机摸出一个,其标号作为一次函数y=kx+b的系数b.
(1)利用树形图或列表法(只选一种),表示一次函数y=kx+b可能出现的所有结果,并写出所有等可能结果;
(2)求出一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率.
【考点】F5:一次函数的性质;X6:列表法与树状图法.菁优网版权所有
【分析】(1)2次实验,是不放回实验,列举出所有情况即可;
(2)图象不过第四象限,那么在本题中应过一二三象限,此时k>0,b>0.
【解答】解:(1)树形图如下:
;
(2)当k>0,b<0时,图象过一三四象限;当k<0时,图象一定过二四象限.∴共有6种情况,不过第四象限的函数有y=x+2,y=2x+1,所以概率P(图象不在第四象限)= .
【点评】如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)= ,注意本题是不放回实验.
25.(8分)自2010年4月1日起,新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》正式实施了.新规定为保障公民的人身安全,对被查酒后驾驶机动车(血液酒精含量超过20毫克/百毫升)的驾驶员加大了处罚力度.某交警大队于4月4日~4月10日这7天共查到12起酒后驾车事件,这12位驾车者血液酒精含量(单位:毫克/百毫升)如下:26,58,29,92,21,43,24,27,36,46,23,31.
(1)请计算这些数据的平均数与极差;
(2)请你运用所学到的统计知识估计新规定实施之后一年内(按365天计算),该交警大队能查到多少起酒后驾车事件?(精确到1起)
(3)该交警大队在新规定实施前的某一周7天内共查到38名司机血液酒精含量超过20毫克/百毫升,平均含量为56毫克/百毫升,请结合相关数据谈谈你的想法.
【考点】V5:用样本估计总体;W1:算术平均数;W6:极差.菁优网版权所有
【分析】(1)根据平均数和极差的公式求解即可;
(2)根据题意,用365÷7×12即可求解;
(3)答案不唯一,只要意思符合题意即可.
【解答】解:(1)平均数= (26+58+29+92+21+43+24+27+36+46+23+31)=38(毫克/百毫升),
极差=92﹣21=71(毫克/百毫升);
(2)365÷7×12≈626(起);
(3)与新规定实施前相比,抽查到的司机血液酒精平均含量大大减少,说明人们法律意识增强了,但还要提高认识.
【点评】主要考查了平均数,极差的概念和利求频率的方法.要掌握这些基本概念才能熟练解题.
26.(8分)(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图所示).设计了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由;
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由.
【考点】KD:全等三角形的判定与性质;KF:角平分线的性质.菁优网版权所有
【分析】(1)方案(Ⅰ)中判定PM=PN并不能判断P就是∠AOB的角平分线,关键是缺少△OPM≌△OPN的条件,只有“边边”的条件;
方案(Ⅱ)中△OPM和△OPN是全等三角形(三边相等),则∠MOP=∠NOP,所以OP为∠AOB的角平分线;
(2)可行.此时△OPM和△OPN都是直角三角形,可以利用HL证明它们全等,然后利用全等三角形的性质即可证明OP为∠AOB的角平分线.
【解答】解:(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少证明三角形全等的条件,
∵只有OP=OP,PM=PN不能判断△OPM≌△OPN;
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线;
方案(Ⅱ)可行.
证明:在△OPM和△OPN中,
,
∴△OPM≌△OPN(SSS),
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等);
∴OP就是∠AOB的平分线.
(2)当∠AOB是直角时,此方案可行;
∵四边形内角和为360°,∠OMP=∠ONP=90°,∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°,
∵PM=PN,
∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上),
当∠AOB不为直角时,此方案不可行;
因为∠AOB必为90°,如果不是90°,则不能找到同时使PM⊥OA,PN⊥OB的点P的位置.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质,是一个开放性试题,可以提高学生解决实际的能力.
27.(8分)今年年初西南五省的持续干旱,让许多网友感同身受、焦灼不安,更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水.功夫不负有心人,终于有人在山洞C里发现了暗河(如图所示).经勘察,在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A、B两村庄,山洞C位于A村庄南偏东30°方向,且位于B村庄南偏东60°方向.为方便A、B两村庄的村民取水,社会爱心人士准备尽快从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD.现已知A、B两村庄相距6千米.
(1)求这条最近的简易公路CD的长(保留3个有效数字);
(2)每修建1千米的简易公路需费用16000元,请求出修建该简易公路的最低费用(精确到个位).
(本题参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题.菁优网版权所有
【分析】(1)设CD=x.在直角△ACD与直角△BCD中,根据三角函数即可用x表示出AD于BD的长,根据AB=AD﹣BD,即得到关于x的方程.解方程求解;
(2)修建简易公路的最低费用是16000x元,即为求代数式的值的问题.
【解答】解:(1)如图:过C作CD⊥AB于D.
设CD=x,在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠A=30°,
∵ ,
∴ .
同理: .
∵AD﹣BD=6,
∴ .
解得: ≈5.196≈5.20(千米).
(2)5.196×16000=83136(元).
答:这条最近的简易公路CD的长是5.20千米,最低费用是83136元.
【点评】把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键.
28.(12分)如图,直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点,tan∠OCB= .
(1)求B点的坐标和k的值;
(2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点.当点A运动过程中,试写出△AOB的面积S与x的函数关系式;
(3)探索:在(2)的条件下:
①当点A运动到什么位置时,△AOB的面积是 ;
②在①成立的情况下,x轴上是否存在一点P,使△POA是等腰三角形?若存在,请写出满足条件的所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】FI:一次函数综合题.菁优网版权所有
【分析】本题考查一次函数的综合应用,在(1)中需根据OC=1求出B点坐标,再利用待定系数法求出k值;(2)中利用把△AOB的面积表示出来,在根据x与y之间的关系代入整理;(3)代入求值即可,同时在查找等腰三角形的满足P点的坐标时要根据等腰三角形的性质查找.
【解答】解:(1)∵y=kx﹣1与y轴相交于点C,
∴OC=1;
∵tan∠OCB= ,
∴OB= ;
∴B点坐标为: ;
把B点坐标为: 代入y=kx﹣1得:k=2;
(2)∵S= ,y=kx﹣1,
∴S= × (2x﹣1);
∴S= x﹣ ;
(3)①当S= 时, x﹣ = ,
∴x=1,y=2x﹣1=1;
∴A点坐标为(1,1)时,△AOB的面积为 ;
②存在.
满足条件的所有P点坐标为:
P1(1,0),P2(2,0),P3( ,0),P4( ,0).
(注:每题只给出一种解法,如有不同解法请参照评分意见给分)
【点评】本题是函数与三角形相结合的问题,在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题.
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日期:2020/2/1 18:36:02;用户:星光;邮箱:orFmNt9Sl5o9zVVGxqq8R8Yve1Uc@weixin.jyeoo.com;学号:24989655
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