青海省中考真题10-20年青海省中考数学真题2012年青海省中考数学试卷（含解析版）

2012年青海省中考数学试卷

一、填空题：（每空2分，共30分）

1．（4分）﹣ 的相反数是　 　；计算a²•a³=　 　．

2．（4分）分解因式：﹣m²+4m=　 　；不等式组 的解集为　 　．

3．（2分）2012年3月，青海省财政下达农牧区学生营养改善计划补助资金265000000元，用于改善我省农牧区义务教育阶段中小学生的营养状况，该补助资金用科学记数法表示为　 　元．

4．（2分）函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．

5．（2分）如图，直线l₁∥l₂且l₁，l₂被直线l₃所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3=　 　度．

6．（4分）若m，n为实数，且|2m+n﹣1|+ =0，则（m+n）²⁰¹²的值为　 　；分式方程 + = 的解为　 　．

7．（2分）随意抛一粒豆子，恰好落在如图的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子落在黑色方格中的概率是　 　．

8．（2分）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED的度数为　 　度．

9．（2分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是　 　（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．

10．（2分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为　 　m．

11．（2分）观察下列一组图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有　 　个★．

12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）．

 

二、选择题：（每题3分，共24分）

13．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

14．（3分）下列运算中，不正确的是（　　）

A．（ x³y）²= x⁶y² B．2x³÷x²=2x

C．x²•x⁴=x⁶ D．（﹣x²）³=﹣x⁵

15．（3分）甲乙两名射击运动员各进行10次射击练习，成绩均为95环，这两名运动员成绩的方差分别是： =0.6， =0.4，则下列说法正确的是（　　）

A．甲比乙的成绩稳定

B．乙比甲的成绩稳定

C．甲乙两人的成绩一样稳定

D．无法确定谁的成绩更稳定

16．（3分）如图，一次函数y=kx﹣3的图象与反比例函数y= 的图象交A、B两点，其中A点坐标为（2，1），则k，m的值为（　　）

A．k=1，m=2 B．k=2，m=1 C．k=2，m=2 D．k=1，m=1

17．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（　　）

A． B． C． D．

18．（3分）把抛物线y=3x²向右平移1个单位长度后，所得的函数解析式为（　　）

A．y=3x²﹣1 B．y=3（x﹣1）² C．y=3x²+1 D．y=3（x+1）²

19．（3分）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是（　　）

A．（a+ b）元 B．（a﹣ b）元 C．（a+5b）元 D．（a﹣5b）元

20．（3分）如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，如果菜地和青稞地的距离为a千米，小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了b分钟，则a，b的值分别为（　　）

A．1，8 B．0.5，12 C．1，12 D．0.5，8

 

三、（本大题共3小题，21题5分，22题6分，23题8分，共19分）

21．（5分）计算：|﹣5|﹣2cos60°+ + ．

22．（6分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ +3x﹣4，其中x= ．

23．（8分）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．

①求证：CD=AN；

②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

 

四、（本大题共3小题，24题8分，25题7分，26题10分，共25分）

24．（8分）夏都花卉基地出售两种花卉，其中马蹄莲每株3.5元，康乃馨每株5元．如果同一客户所购的马蹄莲数量多于1000株，那么所有的马蹄莲每株还可优惠0.5元．现某鲜花店向夏都花卉基地采购马蹄莲800～1200株、康乃馨若干株，本次采购共用了7000元．然后再以马蹄莲每株4.5元、康乃馨每株7元的价格卖出，问：该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大？

（注：800～1200株表示采购株数大于或等于800株，且小于或等于1200株；利润=销售所得金额﹣进货所需金额）

25．（7分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C

（1）求证：CB∥MD；

（2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．

26．（10分）现代树苗培育示范园要对A、B、C、D四个品种共800株松树幼苗进行成活实验，从中选出成活率高的品种进行推广，通过实验得知，B种松树幼苗成活率为90%，将实验数据绘制成两幅统计图，如图1，图2所示（部分信息未给出）

（1）实验所用的C种松树幼苗的数量为　 　；

（2）试求出B种松树的成活数，并把图2的统计图补充完整；

（3）你认为应选哪一种品种进行推广？试通过计算说明理由．

 

五、（本大题共2小题，27题10题，28题12分）

27．（10分）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：

证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．

∵∠AEF=90°

∴∠FEC+∠AEB=90°

又∵∠EAM+∠AEB=90°

∴∠EAM=∠FEC

∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点

∴AM=EC

又可知△BME是等腰直角三角形

∴∠AME=135°

又∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=135°

∴△AEM≌△EFC（ASA）

∴AE=EF

（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．

（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

 

2012年青海省中考数学试卷

参考答案与试题解析

 

一、填空题：（每空2分，共30分）

1．（4分）﹣ 的相反数是　 　；计算a²•a³=　a⁵　．

【考点】14：相反数；46：同底数幂的乘法．

【专题】11：计算题．

【分析】根据相反数的定义及同底数幂的乘法法则，进行运算即可．

【解答】解：﹣ 的相反数为 ，a²•a³=a²⁺³=a⁵．

故答案为： 、a⁵．

【点评】此题考查了同底数幂的乘法及相反数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握相反数的定义及同底数幂的乘法法则．

2．（4分）分解因式：﹣m²+4m=　﹣m（m﹣4）　；不等式组 的解集为　﹣2＜x≤3　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；CB：解一元一次不等式组．

【分析】（1）提公因式﹣m即可分解；

（2）首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集．

【解答】解：（1）原式=﹣m（m﹣4）；

（2） ，

解①得：x＞﹣2，

解②得：x≤3，

则不等式组的解集是：﹣2＜x≤3．

故答案是：﹣m（m﹣4），﹣2＜x≤3．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止

3．（2分）2012年3月，青海省财政下达农牧区学生营养改善计划补助资金265000000元，用于改善我省农牧区义务教育阶段中小学生的营养状况，该补助资金用科学记数法表示为　2.65×10⁸　元．

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于265000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．

【解答】解：265 000 000=2.65×10⁸．

故答案为：2.65×10⁸．

【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

4．（2分）函数y= 中，自变量x的取值范围是　x≥﹣4且x≠2　．

【考点】E4：函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+4≥0且x﹣2≠0，

解得：x≥﹣4且x≠2．

故答案为：x≥﹣4且x≠2．

【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

5．（2分）如图，直线l₁∥l₂且l₁，l₂被直线l₃所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3=　55　度．

【考点】JA：平行线的性质；KN：直角三角形的性质．

【专题】11：计算题．

【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠3与∠4的和，再根据直角三角形两锐角互余求出∠4，∠3即可求得．

【解答】解：如图，∵l₁∥l₂，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∵∠1=∠2=35°，

∴∠3+∠4=110°，

∵∠P=90°，∠2=35°，

∴∠4=90°﹣35°=55°，

∴∠3=110°﹣55°=55°．

【点评】本题主要利用平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质求解．

6．（4分）若m，n为实数，且|2m+n﹣1|+ =0，则（m+n）²⁰¹²的值为　1　；分式方程 + = 的解为　x=1　．

【考点】16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根；98：解二元一次方程组；B3：解分式方程．

【专题】11：计算题．

【分析】根据几个非负数和的性质得到 ，然后解方程组得到m、n的值．再代入（m+n）²⁰¹²计算即可；

对于分式方程，先去分母得到2（2x﹣1）+2x+1=5，可解得x=1，然后进行检验确定分式方程的解．

【解答】解：∵|2m+n﹣1|+ =0，

∴ ，

解得 ，

∴（m+n）²⁰¹²=（2﹣3）²⁰¹²=1；

方程 + = 两边同乘以（2x+1）（2x﹣1）得，2（2x﹣1）+2x+1=5，

解得x=1，

检验：当x=1时，（2x+1）（2x﹣1）≠0，

所以原方程的解为x=1．

【点评】本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解．也考查了几个非负数和的性质以及解二元一次方程组．

7．（2分）随意抛一粒豆子，恰好落在如图的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子落在黑色方格中的概率是　 　．

【考点】X5：几何概率．

【分析】根据面积法：求出豆子落在黑色方格的面积与总面积的比即可解答．

【解答】解：∵共有15个方格，其中黑色方格占4个，

∴这粒豆子停在黑色方格中的概率是 ，

故答案为： ．

【点评】此题考查了几何概率的求法，利用概率=相应的面积与总面积之比求出是解题关键．

8．（2分）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED的度数为　69　度．

【考点】M5：圆周角定理．

【分析】欲求∠AED，又已知B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，可求∠AOD=138°，再利用圆周角与圆心角的关系求解．

【解答】解：∵B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，

∴∠AOD=138°，

∴∠AED=138°÷2=69°．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

9．（2分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是　∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO　（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．

【考点】KB：全等三角形的判定．

【专题】26：开放型．

【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AE=AD，∠A=∠A，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．

【解答】解：∵∠A=∠A，AE=AD，

添加：∠ADC=∠AEB（ASA），∠B=∠C（AAS），AB=AC（SAS），∠BDO=∠CEO（ASA），

∴△ABE≌△ACD．

故填：∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．

10．（2分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为　12　m．

【考点】SA：相似三角形的应用．

【专题】12：应用题．

【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．

【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，

∴EB∥DC，

∴△ABE∽△ACD，

∴ = ，

∵BE=1.5，AB=2，BC=14，

∴AC=16，

∴ = ，

∴CD=12．

故答案为：12．

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．

11．（2分）观察下列一组图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有　3n+1　个★．

【考点】38：规律型：图形的变化类．

【专题】16：压轴题；2A：规律型．

【分析】把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式．

【解答】解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3=4，

第2个图形五角星的个数是：1+3×2=7，

第3个图形五角星的个数是：1+3×3=10，

第4个图形五角星的个数是：1+3×4=13，

…

依此类推，第n个图形五角星的个数是：1+3×n=3n+1．

故答案为：3n+1．

【点评】本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成两部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．

12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为　 π﹣4　（结果保留π）．

【考点】MO：扇形面积的计算．

【专题】16：压轴题．

【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．

【解答】解：

设各个部分的面积为：S₁、S₂、S₃、S₄、S₅，如图所示，

∵两个半圆的面积和是：S₁+S₅+S₄+S₂+S₃+S₄，△ABC的面积是S₃+S₄+S₅，阴影部分的面积是：S₁+S₂+S₄，

∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．

即阴影部分的面积= π×4+ π×1﹣4×2÷2= π﹣4．

【点评】此题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．

 

二、选择题：（每题3分，共24分）

13．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；

B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．

14．（3分）下列运算中，不正确的是（　　）

A．（ x³y）²= x⁶y² B．2x³÷x²=2x

C．x²•x⁴=x⁶ D．（﹣x²）³=﹣x⁵

【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；4H：整式的除法．

【专题】11：计算题．

【分析】A、根据积的乘方的运算性质进行计算，即可判断；

B、根据单项式除以单项式的法则进行计算，即可判断；

C、同底数幂的乘法运算性质进行计算，即可判断；

D、根据积的乘方的运算性质进行计算，即可判断．

【解答】解：A、（ x³y）²= x⁶y²，正确，故本选项错误；

B、2x³÷x²=2x，正确，故本选项错误；

C、x²•x⁴=x⁶，正确，故本选项错误；

D、（﹣x²）³=﹣x⁶，错误，故本选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查积的乘方的运算性质，单项式除以单项式的法则，同底数幂的乘法运算性质，比较简单．

15．（3分）甲乙两名射击运动员各进行10次射击练习，成绩均为95环，这两名运动员成绩的方差分别是： =0.6， =0.4，则下列说法正确的是（　　）

A．甲比乙的成绩稳定

B．乙比甲的成绩稳定

C．甲乙两人的成绩一样稳定

D．无法确定谁的成绩更稳定

【考点】W7：方差．

【分析】由方差反映了一组数据的波动情况，方差越小，则数据的波动越小，成绩越稳定可以作出判断．

【解答】解：∵S_甲²=0.6，S_乙²=0.4，

则S_甲²＞S_乙²，

可见较稳定的是乙．

故选：B．

【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

16．（3分）如图，一次函数y=kx﹣3的图象与反比例函数y= 的图象交A、B两点，其中A点坐标为（2，1），则k，m的值为（　　）

A．k=1，m=2 B．k=2，m=1 C．k=2，m=2 D．k=1，m=1

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】把A（2，1）代入反比例函数的解析式能求出m，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可．

【解答】解：把A（2，1）代入反比例函数的解析式得：m=xy=2，

把A的坐标代入一次函数的解析式得：1=2k﹣3，

解得：k=2．

故选：C．

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查学生的计算能力，题目较好，难度适中．

17．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（　　）

A． B． C． D．

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出BC的长度，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．

【解答】解：∵CD是斜边AB上的中线，CD=5，

∴AB=2CD=10，

根据勾股定理，BC= = =8，

tanB= = = ．

故选：C．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边应熟练掌握．

18．（3分）把抛物线y=3x²向右平移1个单位长度后，所得的函数解析式为（　　）

A．y=3x²﹣1 B．y=3（x﹣1）² C．y=3x²+1 D．y=3（x+1）²

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【专题】2C：存在型．

【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=3x²向右平移1个单位长度后，所得的函数解析式为y=3（x﹣1）²．

故选：B．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

19．（3分）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是（　　）

A．（a+ b）元 B．（a﹣ b）元 C．（a+5b）元 D．（a﹣5b）元

【考点】32：列代数式．

【专题】16：压轴题．

【分析】首先表示出下调了20%后的价格，然后加上a元，即可得到．

【解答】解：b÷（1﹣20%）+a=a+ b．

故选：A．

【点评】本题考查了列代数式，正确理解题目中的关系是关键．

20．（3分）如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，如果菜地和青稞地的距离为a千米，小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了b分钟，则a，b的值分别为（　　）

A．1，8 B．0.5，12 C．1，12 D．0.5，8

【考点】E6：函数的图象．

【专题】16：压轴题；27：图表型．

【分析】首先弄清横、纵坐标所表示的意义，然后根据各个特殊点来分段分析整个函数图象．

【解答】解：此函数大致可分以下几个阶段：

①0﹣12分种，小刚从家走到菜地；

②12﹣27分钟，小刚在菜地浇水；

③27﹣33分钟，小刚从菜地走到青稞地；

④33﹣56分钟，小刚在青稞地除草；

⑤56﹣74分钟，小刚从青稞地回到家；

综合上面的分析得：由③的过程知，a=1.5﹣1=0.5千米；

由②、④的过程知b=（56﹣33）﹣（27﹣12）=8分钟．

故选：D．

【点评】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

 

三、（本大题共3小题，21题5分，22题6分，23题8分，共19分）

21．（5分）计算：|﹣5|﹣2cos60°+ + ．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式=5﹣2× +2²+1

=5﹣1+4+1

=9．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．

22．（6分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ +3x﹣4，其中x= ．

【考点】6D：分式的化简求值．

【专题】16：压轴题．

【分析】先通分计算括号里的，再计算除法，最后合并，然后把x的值代入计算即可．

【解答】解：原式= ×（x﹣1）²+3x﹣4=（x﹣2）（x﹣1）+3x﹣4=x²﹣3x+2+3x﹣4=x²﹣2，

当x= 时，原式=（ ）²﹣2=7﹣2=5．

【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是注意通分、约分，以及合并同类项．

23．（8分）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．

①求证：CD=AN；

②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质；LC：矩形的判定．

【专题】14：证明题；16：压轴题．

【分析】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；

②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC，再根据等角对等边可得MD=MC，然后证明AC=DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．

【解答】证明：①∵CN∥AB，

∴∠DAC=∠NCA，

在△AMD和△CMN中，

∵ ，

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴AD=CN，

又∵AD∥CN，

∴四边形ADCN是平行四边形，

∴CD=AN；

②∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，

∴∠MCD=∠MDC，

∴MD=MC，

由①知四边形ADCN是平行四边形，

∴MD=MN=MA=MC，

∴AC=DN，

∴四边形ADCN是矩形．

【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系，并由第一问求出四边形ADCN是平行四边形是解题的关键．

 

四、（本大题共3小题，24题8分，25题7分，26题10分，共25分）

24．（8分）夏都花卉基地出售两种花卉，其中马蹄莲每株3.5元，康乃馨每株5元．如果同一客户所购的马蹄莲数量多于1000株，那么所有的马蹄莲每株还可优惠0.5元．现某鲜花店向夏都花卉基地采购马蹄莲800～1200株、康乃馨若干株，本次采购共用了7000元．然后再以马蹄莲每株4.5元、康乃馨每株7元的价格卖出，问：该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大？

（注：800～1200株表示采购株数大于或等于800株，且小于或等于1200株；利润=销售所得金额﹣进货所需金额）

【考点】FH：一次函数的应用．

【专题】121：几何图形问题．

【分析】设采购马蹄莲x株，由于马蹄莲数量大于1000株时，每株马蹄莲降价0.5元，因此需分两种情况讨论即800≤x≤1000和1000＜x≤1200．按照等量关系“采购马蹄莲的花费+采购康乃馨的花费=总花费”“毛利润=鲜花店卖出马蹄莲和康乃馨所获的总金额﹣购进马蹄莲和康乃馨的所需的总金额”，列出函数求得毛利润最大值．

【解答】解：设采购马蹄莲x株、康乃馨y株，利润为w元

①当800≤x≤1000时

得3.5x+5y=7000，y= =1400﹣0.7x

w=（4.5﹣3.5）x+（7﹣5）y

=x+2y=x+2（1400﹣0.7x）=2800﹣0.4x

当x取800时，w有最大值2480；

②当1000＜x≤1200时

得3x+5y=7000，y= =1400﹣0.6x

w=（4.5﹣3）x+（7﹣5）y

=1.5x+2y=1.5x+2（1400﹣0.6x）=2800+0.3x

当x取1200时，w有最大值3160；

综上所述，采用后者方式进货，即采购马蹄莲花去1200×3=3600元；采购康乃馨（7000﹣3600）÷5=680株

答：采购马蹄莲1200株、康乃馨680株时，利润最大为3160元．

【点评】本题考查了一次函数的应用的应用，此题为方程与实际结合的综合类应用题，同学们应学会运用函数来解决实际问题．注意分：800≤马蹄莲数量≤1000株；1000＜马蹄莲数量≤1200株两种情况进行讨论．

25．（7分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C

（1）求证：CB∥MD；

（2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．

【专题】16：压轴题．

【分析】（1）由∠C与∠M是 所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；

（2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得 = ，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM= ，即可求得⊙O的直径．

【解答】（1）证明：∵∠C与∠M是 所对的圆周角，

∴∠BCD=∠M，

又∵∠1=∠C，

∴∠1=∠M，

∴CB∥MD；

（2）解：连接AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵CD⊥AB，

∴ = ，

∴∠A=∠M，

∴sinA=sinM，

在Rt△ACB中，sinA= ，

∵sinM= ，BC=4，

∴ =

解得，AB=6，

即⊙O的直径为6．

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

26．（10分）现代树苗培育示范园要对A、B、C、D四个品种共800株松树幼苗进行成活实验，从中选出成活率高的品种进行推广，通过实验得知，B种松树幼苗成活率为90%，将实验数据绘制成两幅统计图，如图1，图2所示（部分信息未给出）

（1）实验所用的C种松树幼苗的数量为　160株　；

（2）试求出B种松树的成活数，并把图2的统计图补充完整；

（3）你认为应选哪一种品种进行推广？试通过计算说明理由．

【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．

【专题】16：压轴题；27：图表型．

【分析】（1）根据扇形统计图求得2号所占的百分比，再进一步计算其株数；

（2）根据扇形统计图求得3号幼苗的株数，再根据其成活率，进行计算其成活数，再进一步补全条形统计图；

（3）通过计算每一种的成活率，进行比较其大小．

【解答】解：（1）800×（1﹣25%﹣35%﹣20%）=160株

（2）B种松树幼苗数量为800×20%=160株

B种松树的成活数160×90%=144株

补充统计图如图所示：

（3）A种松树苗的成活率为[238÷（800×35%）]×100%=85%

B种松树的幼苗成活率为90%

C种松树幼苗的成活率为[148÷（800×20%）]×100%=92.5%

D种松树苗成活率为[190÷（800×25%）]×100%=95%

所以应选择D种松树品种进行推广．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

 

五、（本大题共2小题，27题10题，28题12分）

27．（10分）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：

证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．

∵∠AEF=90°

∴∠FEC+∠AEB=90°

又∵∠EAM+∠AEB=90°

∴∠EAM=∠FEC

∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点

∴AM=EC

又可知△BME是等腰直角三角形

∴∠AME=135°

又∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=135°

∴△AEM≌△EFC（ASA）

∴AE=EF

（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．

（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．

【专题】16：压轴题；21：阅读型．

【分析】（2）在AB上截取AM=EC，然后证明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角边角”证明△AEM和△EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；

（3）延长BA到M，使AM=CE，然后证明∠BME=45°，从而得到∠BME=∠ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明∠DAE=∠BEA，然后得到∠MAE=∠CEF，再利用“角边角”证明△MAE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．

【解答】（2）探究2，证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，

由（1）知∠EAM=∠FEC，

∵AM=EC，AB=BC，

∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=∠ECF=135°，

∵∠AEF=90°，

∴∠FEC+∠AEB=90°，

又∵∠EAM+∠AEB=90°，

∴∠EAM=∠FEC，

在△AEM和△EFC中， ，

∴△AEM≌△EFC（ASA），

∴AE=EF；

（3）探究3：成立，

证明：延长BA到M，使AM=CE，连接ME，

∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠BME=∠ECF=45°，

又∵AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

又∵∠MAD=∠AEF=90°，

∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，

即∠MAE=∠CEF，

在△MAE和△CEF中，

，

∴△MAE≌△CEF（ASA），

∴AE=EF．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取AM=EC，然后构造出△AEM与△EFC全等是解题的关键．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】16：压轴题．

【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；

（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；

（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．

【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得 ，

解得： ；

所以二次函数的表达式为：y=x²﹣2x﹣3

（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；

设P点坐标为（x，x²﹣2x﹣3），PP′交CO于E

若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；

连接PP′，则PE⊥CO于E，

∵C（0，﹣3），

∴CO=3，

又∵OE=EC，

∴OE=EC=

∴y= ；

∴x²﹣2x﹣3=

解得x₁= ，x₂= （不合题意，舍去），

∴P点的坐标为（ ， ）

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x²﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，

则 ，

解得：

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

则Q点的坐标为（x，x﹣3）；

当0=x²﹣2x﹣3，

解得：x₁=﹣1，x₂=3，

∴AO=1，AB=4，

S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ

= AB•OC+ QP•BF+ QP•OF

=

=

当 时，四边形ABPC的面积最大

此时P点的坐标为 ，四边形ABPC的面积的最大值为 ．

【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．

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