青海省中考真题10-20年青海省中考数学真题2013年青海省中考数学试卷（含解析版）

2013年青海省中考数学试卷

一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）．

1．（4分）﹣7+4的倒数是　 　；（﹣2a²b）²=　 　．

2．（4分）分解因式：x³y﹣2x²y²+xy³=　 　；分式方程 的解是　 　．

3．（2分）2013年4月青海省著名品牌商品推介会签约总金额达7805000000元，该数据用科学记数法表示为　 　元．

4．（4分）已知实数a在数轴上的位置如图1所示，则化简 的结果是　 　；不等式组 的解集是　 　．

5．（2分）在函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．

6．（2分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在点C′、D′的位置上，EC交AD于G，已知∠EFG=56°，那么∠BEG=　 　．

7．（2分）中国象棋一方棋子按兵种不同分布如下：1个“帅”、5个“兵”、“士、象、马、车、炮”各2个，将一方棋子反面朝上放在棋盘上，随机抽取一个棋子是“兵”的概率为　 　．

8．（2分）如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是　 　（不添加任何辅助线）．

9．（2分）如图，在⊙O中直径CD垂直弦AB，垂足为E，若∠AOD=52°，则∠DCB=　 　．

10．（2分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为　 　．

11．（2分）如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD=6米，他与积水的距离BC=1米，他的眼睛距离地面AB=1.5米，则旗杆的高度DE=

米．

12．（2分）用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为　 　（用含n的代数式表示）．

 

二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）．

13．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a²•a³=a⁶ B．

C． D．

14．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

15．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为（　　）

A． B． C． D．

16．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=2x与 的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

17．（3分）几名同学准备参加“大美青海”旅游活动，包租一辆面包车从西宁前往青海湖．面包车的租价为240元，出发时又增加了4名同学，结果每个同学比原来少分担了10元车费．设原有人数为x人，则可列方程（　　）

A． B．

C． D．

18．（3分）如图是一个物体的俯视图，则它所对应的物体是（　　）

A． B．

C． D．

19．（3分）数学老师布置了10道选择题作为课堂练习，课代表将全班答题情况绘制成如图10所示的条形统计图，根据此图可知，每位同学答对的题数所组成样本的中位数和众数分别为（　　）

A．8，8 B．9，8 C．8，9 D．9，9

20．（3分）如图在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，分别以A、B为圆心，以 的长为半径作圆，将直角△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（　　）

A． B．

C． D．

三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题7分，第23题7分，共19分）．

21．（5分）|﹣ |+（ ）^﹣1﹣（2013﹣π）⁰﹣3tan30°．

22．（7分）先化简再求值： ，其中a=3+ ，b=3﹣ ．

23．（7分）如图，已知▱ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．求证：四边形AECF为平行四边形．

 

四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题8分，第26题9分，共26分）．

24．（9分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，从B点测得D点的仰角α为60°，从A点测得D点的仰角β为30°，已知甲建筑物的高度AB=34m，求甲、乙两建筑物之间的距离BC和乙建筑物的高度DC．（结果保留根号）

25．（8分）为了进一步了解某校九年级学生的身体素质，体育老师从该年级各班中随机抽取50名学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出如图表．

表：

组别	次数x	频数	频率
第1组	80≤x＜100	4	0.08
第2组	100≤x＜120	6	0.12
第3组	120≤x＜140	18	0.36
第4组	140≤x＜160	a	b
第5组	160≤x＜180	10	0.2
合计	﹣﹣	50	1

（1）求表中a和b的值：a=　 　；b=　 　．

（2）请将频数分布直方图补充完整：

（3）若在1分钟内跳绳次数大于等于120次认定为合格，则从全年级任意抽测一位同学为合格的概率是多少？

（4）今年该校九年级有320名学生，请你估算九年级跳绳项目不合格的学生约有多少人？

26．（9分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是 的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．

 

五、（本大题共2小题，第27题8分，第28题13分，共21分）．

27．（8分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．

（1）探究1：如图1，点E、F分别在正方形ABCD边BC、CD上，AE⊥BF于点O，小芳看到该图后，发现AE=BF，这是因为∠EAB和∠FBC都是∠ABF的余角，就会由ASA判定得出△ABE≌△BCF．小芳马上联想到正方形的对角线也是互相垂直且相等的（如图2），是不是在一般情况下，正方形内部两条长度大于边长且互相垂直的线段，即使它们不经过正方形的顶点，也会相等呢？

很快她发现结果是成立的，除了通过构造法证明两条线段所在的三角形全等之外，还可以通过平移的方法把图3转化为图1，得到GH=EF，该方法更加简捷；

（2）探究2：小芳进一步思考，如果让两个全等正方形组成矩形ABCD，如图4所示，GH⊥EF于点O，她发现GH=2EF，请你替她完成证明；

（3）探究3：如图5所示，让8个全等正方形组成矩形ABCD，GH⊥EF于点O，请你猜想GH和EF有怎样的数量关系，写在下面：　 　．

28．（13分）如图，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

2013年青海省中考数学试卷

参考答案与试题解析

 

一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）．

1．（4分）﹣7+4的倒数是　 　；（﹣2a²b）²=　4a⁴b²　．

【考点】17：倒数；19：有理数的加法；47：幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据倒数和幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．

【解答】解：﹣7+4=﹣3，倒数为﹣ ；

（﹣2a²b）²=4a⁴b²．

故答案为： ；4a⁴b²．

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．

2．（4分）分解因式：x³y﹣2x²y²+xy³=　xy（x﹣y）²　；分式方程 的解是　x=1　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；B3：解分式方程．

【分析】先提取公因式xy，再根据完全平方公式进行二次分解；

方程两边都乘以（x﹣2），把分式方程转化为整式方程，然后求解，再进行验证即可．

【解答】解：x³y﹣2x²y²+xy³，

=xy（x²﹣2xy+y²），

=xy（x﹣y）²；

方程两边都乘以（x﹣2），把分式方程转化为整式方程得，

x﹣3+x﹣2=﹣3，

解得x=1，

检验：当x=1时，x﹣2≠0，

所以，x=1是原方程方程的解．

故答案为：xy（x﹣y）²；x=1．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

3．（2分）2013年4月青海省著名品牌商品推介会签约总金额达7805000000元，该数据用科学记数法表示为　7.805×10⁹　元．

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将7805000000用科学记数法表示为：7.805×10⁹．

故答案为：7.805×10⁹．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（4分）已知实数a在数轴上的位置如图1所示，则化简 的结果是　1　；不等式组 的解集是　x≤1　．

【考点】29：实数与数轴；CB：解一元一次不等式组．

【分析】根据数轴得到0＜a＜1，由此可以计算绝对值和二次根式；不等组的解集是两个不等式解集的交集．

【解答】解：如图所示，0＜a＜1，则

=1﹣a+a=1；

，

不等式（1）的解集为：x≤1．

不等式（2）的解集为：x＜6，

所以，原不等式组的解集为：x≤1．

故答案是：1；x≤1．

【点评】本题考查了实数与数轴，解一元一次不等式组．根据图示得到a的取值范围是解答第一个空的关键．

5．（2分）在函数y= 中，自变量x的取值范围是　x≥﹣1　．

【考点】E4：函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．

【解答】解：根据题意得：x+1≥0，

解得，x≥﹣1．

【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

6．（2分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在点C′、D′的位置上，EC交AD于G，已知∠EFG=56°，那么∠BEG=　68°　．

【考点】IK：角的计算；PB：翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据平行线的性质求得∠CEF的度数，然后根据折叠的性质可得∠FEG=∠CEF，进而求得∠BEG的度数．

【解答】解：∵长方形ABCD中，AD∥BC，

∴∠CEF=∠EFG=56°，

∴∠CEF=∠FEG=56°，

∴∠BEG=180°﹣∠CEF﹣∠FEG=180°﹣56°﹣56°=68°．

故答案是：68°．

【点评】本题考查了折叠的性质，正确确定折叠过程中出现的相等的角是关键．

7．（2分）中国象棋一方棋子按兵种不同分布如下：1个“帅”、5个“兵”、“士、象、马、车、炮”各2个，将一方棋子反面朝上放在棋盘上，随机抽取一个棋子是“兵”的概率为　 　．

【考点】X4：概率公式．

【分析】让兵的个数除以棋子的总个数即为所求的概率．

【解答】解：∵共有16个棋子，其中有5个兵，

∴抽到兵的概率是 ；

故答案为： ．

【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．

8．（2分）如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是　∠A=∠D　（不添加任何辅助线）．

【考点】KB：全等三角形的判定．

【专题】26：开放型．

【分析】先求出∠ACB=∠DCE，再添加∠A=∠D，由已知条件BC=EC，即可证明△ABC≌△DEC．

【解答】解：添加条件：∠A=∠D；

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，

即∠ACB=∠DCE，

在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△DEC（AAS）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

9．（2分）如图，在⊙O中直径CD垂直弦AB，垂足为E，若∠AOD=52°，则∠DCB=　26°　．

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．

【分析】连接OB，先根据直径CD垂直弦AB得出 = ，故可得出∠BOE=∠AOE，由圆周角定理即可得出结论．

【解答】解：连接OB，

∵直径CD垂直弦AB，

∴ = ，

∴∠BOE=∠AOE=52°，

∴∠DCB= ∠BOE=26°．

答案为：26°．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

10．（2分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为　（﹣b，a）　．

【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．

【专题】16：压轴题．

【分析】根据旋转的性质“旋转不改变图形的大小和形状”以及直角三角形的性质解题．

【解答】解：由图易知A′B′=AB=b，OB′=OB=a，∠A′B′0=∠ABO=90°，

∵点A’在第二象限，

∴A’的坐标为（﹣b，a）．

【点评】需注意旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变．

11．（2分）如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD=6米，他与积水的距离BC=1米，他的眼睛距离地面AB=1.5米，则旗杆的高度DE=　9　米．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】先根据光的反射定律得出∠ACB=∠ECD，再得出Rt△ACB∽Rt△ECD，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．

【解答】解：根据光的反射定律，∠ACB=∠ECD，

∵∠ACB=∠EDC，CD=6米，AB=1.5米，BC=1米，

∴Rt△ACB∽Rt△ECD，

∴ = ，即 = ，解得DE=9．

故答案为：9．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．

12．（2分）用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为　2n+2　（用含n的代数式表示）．

【考点】38：规律型：图形的变化类．

【专题】16：压轴题；2A：规律型．

【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

【解答】解：由图可知：第一个图案有正三角形4个为2×2．第二图案比第一个图案多2个为2×2+2=6个．第三个图案比第二个多2个为2×3+2=8个．那么第n个就有正三角形2n+2个．

【点评】本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个就有正三角形2n+2个．这类题型在中考中经常出现．

 

二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）．

13．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a²•a³=a⁶ B．

C． D．

【考点】46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；75：二次根式的乘除法；78：二次根式的加减法．

【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、二次根式的乘法、同底数幂的除法、二次根式的乘除法等运算，然后选择正确选项．

【解答】解：A、a²•a³=a⁵，原式计算错误，故本选项错误；

B、3 和2 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

C、a²÷a³=a^﹣1= （a≠0），计算正确，故本选项正确；

D、 ÷ = ，原式计算错误，故本选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法、二次根式的乘法、同底数幂的除法、二次根式的乘除法等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．

14．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．

【专题】1：常规题型．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

15．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】T1：锐角三角函数的定义．

【专题】24：网格型．

【分析】根据锐角三角函数的正切是对边比邻边，可得答案．

【解答】解：由正切是对边比邻边，得

tanB= = ，

故选：B．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

16．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=2x与 的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】F4：正比例函数的图象；G2：反比例函数的图象．

【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．

【解答】解：∵y=2x中的2＞0，

∴直线y=2x经过第一、三象限．

∵ 中的﹣1＜0，

∴双曲线 经过第二、四象限，

综上所述，只有D选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查一次函数，正比例函数的图象．注意，反比例函数中系数与图象位置之间关系．

17．（3分）几名同学准备参加“大美青海”旅游活动，包租一辆面包车从西宁前往青海湖．面包车的租价为240元，出发时又增加了4名同学，结果每个同学比原来少分担了10元车费．设原有人数为x人，则可列方程（　　）

A． B．

C． D．

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．

【分析】设原有人数为x人，根据增加之后的人数为（x+4）人，根据增加人数之后每个同学比原来少分担了10元车费，列方程．

【解答】解：设原有人数为x人，根据则增加之后的人数为（x+4）人，

由题意得， ﹣10= ．

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．

18．（3分）如图是一个物体的俯视图，则它所对应的物体是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】U3：由三视图判断几何体．

【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．

【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同，符合这些条件的只有C；

故选：C．

【点评】本题考查了三视图的概念．本题的关键是要考虑到俯视图中圆的直径与长方形的宽的关系．

19．（3分）数学老师布置了10道选择题作为课堂练习，课代表将全班答题情况绘制成如图10所示的条形统计图，根据此图可知，每位同学答对的题数所组成样本的中位数和众数分别为（　　）

A．8，8 B．9，8 C．8，9 D．9，9

【考点】VC：条形统计图；W4：中位数；W5：众数．

【分析】根据众数和中位数的概念求解．

【解答】解：由图可得，答对8道题的人数最多，

故众数为8，

∵共有50名同学，

∴第25和26人答对题目数的平均数为中位数，

即中位数为： =2．

故选：B．

【点评】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

20．（3分）如图在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，分别以A、B为圆心，以 的长为半径作圆，将直角△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（　　）

A． B．

C． D．

【考点】MO：扇形面积的计算．

【分析】根据勾股定理求出AB，则得出圆的半径，分别求出三角形ACB和扇形AEF和扇形BEM的面积和，即可得出答案．

【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB=10，

即两圆的半径是5，

∴阴影部分的面积是S=S_△ACB﹣S_扇形AEF﹣S_扇形BEM

= ×6×8﹣

=24﹣ π．

故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积，扇形的面积的应用，注意：圆心角是n度，半径是r的扇形的面积S= ．

 

三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题7分，第23题7分，共19分）．

21．（5分）|﹣ |+（ ）^﹣1﹣（2013﹣π）⁰﹣3tan30°．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【专题】11：计算题．

【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【解答】解：原式= +5﹣1﹣ =4．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．（7分）先化简再求值： ，其中a=3+ ，b=3﹣ ．

【考点】6D：分式的化简求值．

【专题】11：计算题．

【分析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解，然后把除法运算化为乘法运算后约分得到原式= ，再把a和b的值代入后进行二次根式的混合运算．

【解答】解：原式= ÷

= •

= ，

当a=3+ ，b=3﹣ ，原式= = ．

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

23．（7分）如图，已知▱ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．求证：四边形AECF为平行四边形．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质．

【专题】14：证明题．

【分析】由条件可证明△ABE≌△CDF，可证得AE=CF，且AE∥CF，由平行四边形的判定可证得四边形AECF为平行四边形．

【解答】证明：在▱ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC，

∴∠ABD=∠CDB，

又∵AM⊥BC，CN⊥AD，

∴∠BAM=∠DCN，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，

∴∠AEF=∠CFE，

∴AE∥CF，

∴四边形AECF为平行四边形．

【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行⇔四边形为平行四边形，②两组对边分别相等⇔四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等⇔四边形为平行四边形，④两组对角分别相等⇔四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分⇔四边形为平行四边形．

 

四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题8分，第26题9分，共26分）．

24．（9分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，从B点测得D点的仰角α为60°，从A点测得D点的仰角β为30°，已知甲建筑物的高度AB=34m，求甲、乙两建筑物之间的距离BC和乙建筑物的高度DC．（结果保留根号）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】作AE⊥CD，用BC可以分别表示DE，CD的长，根据CD﹣DE=AB，即可求得BC的长，即可解题．

【解答】解：作AE⊥CD，

∵CD=BC•tanα= BC，DE=BC•tanβ= BC，

∴AB=CD﹣DE= BC，

∴BC=17 m，

CD=BC•tanα= BC=51m．

答：甲、乙两建筑物之间的距离BC为17 m，乙建筑物的高度DC为51m．

【点评】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求的BC的长是解题的关键．

25．（8分）为了进一步了解某校九年级学生的身体素质，体育老师从该年级各班中随机抽取50名学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出如图表．

表：

组别	次数x	频数	频率
第1组	80≤x＜100	4	0.08
第2组	100≤x＜120	6	0.12
第3组	120≤x＜140	18	0.36
第4组	140≤x＜160	a	b
第5组	160≤x＜180	10	0.2
合计	﹣﹣	50	1

（1）求表中a和b的值：a=　12　；b=　0.24　．

（2）请将频数分布直方图补充完整：

（3）若在1分钟内跳绳次数大于等于120次认定为合格，则从全年级任意抽测一位同学为合格的概率是多少？

（4）今年该校九年级有320名学生，请你估算九年级跳绳项目不合格的学生约有多少人？

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；X4：概率公式．

【分析】（1）用总数减去其他小组的频数即可求得a的值，用频数除以样本容量即可求得频数b；

（2）根据求得的第四小组的频数补全统计图即可；

（3）用合格的人数除以总人数即可求得合格的概率；

（4）用学生总数乘以不合格的频率即可求得不合格的人数．

【解答】解：（1）a=50﹣4﹣6﹣18﹣10=12；

b=12÷50=0.24．

（2）直方图为：

（3）全年级任意抽测一位同学为合格的概率为：P_（合格）=1﹣0.08﹣0.12=0.80；

（4）九年级跳绳项目不合格的学生约有320×（0.08+0.12）=64（人）．

【点评】此题考查了频数分布直方图，关键是读懂统计图，能从统计图中获得有关信息，列出算式．

26．（9分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是 的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．

【考点】KQ：勾股定理；MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．

【专题】152：几何综合题．

【分析】（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥EF即可．

（2）先根据勾股定理求出CF的长，再根据相似三角形的判定和性质求出⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OD交于AB于点G．

∵D是 的中点，OD为半径，

∴AG=BG．

∵AO=OC，

∴OG是△ABC的中位线．

∴OG∥BC，

即OD∥CE．

又∵CE⊥EF，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，

∴CF=10．

设半径OC=OD=r，则OF=10﹣r，

∵OD∥CE，

∴△FOD∽△FCE，

∴ ，

∴ = ，

∴r= ，

即：⊙O的半径为 ．

【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质．

 

五、（本大题共2小题，第27题8分，第28题13分，共21分）．

27．（8分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．

（1）探究1：如图1，点E、F分别在正方形ABCD边BC、CD上，AE⊥BF于点O，小芳看到该图后，发现AE=BF，这是因为∠EAB和∠FBC都是∠ABF的余角，就会由ASA判定得出△ABE≌△BCF．小芳马上联想到正方形的对角线也是互相垂直且相等的（如图2），是不是在一般情况下，正方形内部两条长度大于边长且互相垂直的线段，即使它们不经过正方形的顶点，也会相等呢？

很快她发现结果是成立的，除了通过构造法证明两条线段所在的三角形全等之外，还可以通过平移的方法把图3转化为图1，得到GH=EF，该方法更加简捷；

（2）探究2：小芳进一步思考，如果让两个全等正方形组成矩形ABCD，如图4所示，GH⊥EF于点O，她发现GH=2EF，请你替她完成证明；

（3）探究3：如图5所示，让8个全等正方形组成矩形ABCD，GH⊥EF于点O，请你猜想GH和EF有怎样的数量关系，写在下面：　GH=8EF　．

【考点】LO：四边形综合题；S9：相似三角形的判定与性质．

【专题】2B：探究型．

【分析】（2）平移FE至DE′，平移GH至AH′，根据平移的性质可得：FE=DE′，GH=AH′，FE∥DE′，GH∥AH′，易证Rt△BAH′∽Rt△ADE′，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．

（3）借鉴（2）中的解题经验可得 = = =8，则有GH=8EF．

【解答】（2）证明：平移FE至DE′，平移GH至AH′，如图4．

根据平移的性质可得：FE=DE′，GH=AH′，FE∥DE′，GH∥AH′，

∴四边形OPQR为平行四边形．

∵GH⊥EF，即∠POR=90°，

∴平行四边形OPQR为矩形，

∴∠AQE′=∠PQR=90°，

∴∠QAE′+∠QE′A=90°．

又∵∠ADE′+∠DE′A=90°，

∴∠ADE′=∠QAE′．

又∵∠DAE′=∠ABH′=90°，

∴Rt△BAH′∽Rt△ADE′，

∴ = =2，

∴ = =2，

∴GH=2EF．

（3）猜想：GH=8EF．

解：平移FE至DE′，平移GH至AH′，如图5．

根据平移的性质可得：FE=DE′，GH=AH′，FE∥DE′，GH∥AH′，

∴四边形OPQR为平行四边形．

∵GH⊥EF，即∠POR=90°，

∴平行四边形OPQR为矩形，

∴∠AQE′=∠PQR=90°，

∴∠QAE′+∠QE′A=90°．

又∵∠ADE′+∠DE′A=90°，

∴∠ADE′=∠QAE′．

又∵∠DAE′=∠ABH′=90°，

∴Rt△BAH′∽Rt△ADE′，

∴ = =8，

∴ = =8，

∴GH=8EF．

故答案为：GH=8EF．

【点评】本题考查了平移的性质、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，突出了对基本活动经验的考查．

28．（13分）如图，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）根据抛物线过A（2，0）及原点可设y=a（x﹣2）x，然后根据抛物线y=a（x﹣2）x过B（3，3），求出a的值即可；

（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=﹣1右侧，进而可求出D横坐标为：﹣1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；

（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．

【解答】解：（1）根据抛物线过A（2，0）及原点，可设y=a（x﹣2）（x﹣0），

又∵抛物线y=a（x﹣2）x过B（3，3），

∴3（3﹣2）a=3，

∴a=1，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）x=x²﹣2x；

（2）①若OA为对角线，则D点与C点重合，点D的坐标应为D（1，﹣1）；

②若OA为平行四边形的一边，则DE=OA，∵点E在抛物线的对称轴上，

∴点E横坐标为1，

∴点D 的横坐标为3或﹣1，代入y=x²﹣2x得D（3，3）和D（﹣1，3），

综上点D坐标为（1，﹣1），（3，3），（﹣1，3）．

（3）∵点B（3，3）C（1，﹣1），

∴△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，

①如图1，若△PMA∽△COB，设PM=t，则AM=3t，

∴点P（2﹣3t，t），

代入y=x²﹣2x得（2﹣3t）²﹣2（2﹣3t）=t，

解得t₁=0（舍）， ，

∴ ；

②如图2，若△PMA∽△BOC，

设PM=3t，则AM=t，点P（2﹣t，3t），代入y=x²﹣2x得（2﹣t）²﹣2（2﹣t）=3t，

解得t₁=0（舍），t₂=5，

∴P（﹣3，15）

综上所述，点P的坐标为 或（﹣3，15）．

【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

AI创作