青海省中考真题10-20年青海省中考数学真题2015年青海省中考数学试卷（含解析版）

2015年青海省中考数学试卷

一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）

1．（4分）﹣ 的绝对值是　 　， 的算术平方根是　 　．

2．（4分）4x•（﹣2xy²）＝　 　；分解因式：xy²﹣4x＝　 　．

3．（2分）已知关于x的一元二次方程2x²﹣3mx﹣5＝0的一个根是﹣1，则m＝　 　．

4．（2分）我省具有发展太阳能光伏发电产业得天独厚的条件．截止2015年，我省光伏并网发电容量将超过5000000千瓦，该数字用科学记数法可以表示为　 　千瓦．

5．（2分）如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若∠1＝58°，则∠2＝　 　．

6．（2分）若实数m，n满足（m﹣1）²+ ＝0，则（m+n）⁵＝　 　．

7．（2分）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是　 　（结果保留π）．

8．（2分）若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB＝2，则点A关于原点对称的点的坐标为　 　．

9．（2分）如图，点O为 所在圆的圆心，∠BOC＝112°，点D在BA的延长线上，AD＝AC，则∠D＝　 　．

10．（2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　 　（只需写一个，不添加辅助线）．

11．（2分）在一个不透明的袋子中装有红白两种颜色的球（形状大小质地完全相同）共25个，其中白球有5个．每次从中随机摸出一个球，并记下颜色后放回，那么从袋子中随机摸出一个红球的概率是　 　．

12．（4分）如图是一组有规律的图案，图案1是由4个 组成的，图案2是由7个 组成的，那么图案5是由　 　个 组成的，依此，第n个图案是由　 　个 组成的．

二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）。

13．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．x⁷÷x⁴＝x¹¹ B．（a³）²＝a⁵ C．2 +3 ＝5 D． ÷ ＝

14．（3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（　　）

A．5 B．6 C．12 D．16

15．（3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则 等于（　　）

A． B． C． D．

16．（3分）甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（　　）

A． ＝ B． ＝

C． ＝ D． ＝

17．（3分）如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

18．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学最近五次数学成绩统计如表，如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加即将举行的中学生数学竞赛，那么应选（　　）

	甲	乙	丙	丁
平均数	80	85	85	80
方差	42	42	54	59

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

19．（3分）已知一次函数y＝2x﹣3与反比例函数y＝﹣ ，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

20．（3分）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE＝DF，则∠BDN的度数是（　　）

A．105° B．115° C．120° D．135°

三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题7分，第23题8分，共20分）

21．（5分）计算： +（π﹣2015）⁰﹣| ﹣2|+2sin60°．

22．（7分）先化简再求值： ，其中 ．

23．（8分）如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部11.4米的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED＝60°，∠BED＝45°．小明的观测点与地面的距离EF为1.6米．

（1）求建筑物BC的高度；

（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．

参考数据： ≈1.41， ≈1.73．

四、（本大题共3小题，第24题8分，第25题8分，第26题8分，共24分）

24．（8分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．

25．（8分）某玩具商计划生产A、B两种型号的玩具投入市场，初期计划生产100件，生产投入资金不少于22400元，但不超过22500元，且资金要全部投入到生产这两种型号的玩具．假设生产的这两种型号玩具能全部售出，这两种玩具的生产成本和售价如表：

型号	A	B
成本（元）	200	240
售价（元）	250	300

（1）该玩具商对这两种型号玩具有哪几种生产方案？

（2）该玩具商如何生产，就能获得最大利润？

26．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．

（1）求证：AM＝AC；

（2）若AC＝3，求MC的长．

五、（本大题共2小题，第27题9分，第28题13分，共22分）

27．（9分）为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次接受调查的总人数是　 　人，并把条形统计图补充完整；

（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是　 　，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是　 　；

（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．

28．（13分）如图，二次函数y＝ax²+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）判断△BCM的形状，并说明理由；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2015年青海省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）

1．（4分）﹣ 的绝对值是　 　， 的算术平方根是　 　．

【考点】22：算术平方根；28：实数的性质．

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；根据算术平方根的定义进行解答．

【解答】解：﹣ 的绝对值是 ， 的算术平方根是 ，

故答案为： ；

【点评】本题考查了算术平方根的定义、绝对值的定义．注意一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．

2．（4分）4x•（﹣2xy²）＝　﹣8x²y²　；分解因式：xy²﹣4x＝　x（y+2）（y﹣2）　．

【考点】49：单项式乘单项式；55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】4x•（﹣2xy²）：根据单项式与单项式相乘的法则，把系数相乘作为积的系数，相同的字母相乘作为积的因式，只在一个单项式中含有的字母也作为积的一个因式计算即可；xy²﹣4x：只需先提得公因子x，然后再运用平方差公式展开即可

【解答】解：4x•（﹣2xy²），

＝4×（﹣2）•（x•x）•y²，

＝﹣8x²y²．

xy²﹣4x＝x（y²﹣4）＝x（y+2）（y﹣2）．

故答案为：﹣8x²y²，x（y+2）（y﹣2）．

【点评】本题考查了单项式与单项式的乘法，提公因式法与公式法的综合运用，关键是对平方差公式的掌握．

3．（2分）已知关于x的一元二次方程2x²﹣3mx﹣5＝0的一个根是﹣1，则m＝　1　．

【考点】A3：一元二次方程的解．

【分析】设一元二次方程2x²﹣3mx﹣5＝0的另一个根a，利用根与系数的关系先求出a，再得利用根与系数的关系先求出m即可．

【解答】解：∵设一元二次方程2x²﹣3mx﹣5＝0的另一个根a，

∴a×（﹣1）＝﹣ ，解得a＝ ，

∴ +（﹣1）＝ ，解得m＝1．

故答案为：1．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是灵活运用根与系数的关系．

4．（2分）我省具有发展太阳能光伏发电产业得天独厚的条件．截止2015年，我省光伏并网发电容量将超过5000000千瓦，该数字用科学记数法可以表示为　5×10⁶　千瓦．

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：5000000千瓦用科学记数法可以表示为5×10⁶千瓦，

故答案为：5×10⁶

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．（2分）如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若∠1＝58°，则∠2＝　32°　．

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】由平行线的性质得出∠3＝∠1＝58°，由垂直的定义得出∠MPQ＝90°，即可得出∠2的度数．

【解答】解：如图所示：

∵a∥b，∴∠3＝∠1＝58°，

∵PM⊥l，

∴∠MPQ＝90°，

∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣58°＝32°；

故答案为：32°．

【点评】本题考查了平行线的性质、垂线的定义、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．

6．（2分）若实数m，n满足（m﹣1）²+ ＝0，则（m+n）⁵＝　﹣1　．

【考点】1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根．

【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而可求出（m+n）⁵的值．

【解答】解：由题意知，

m，n满足（m﹣1）²+ ＝0，

∴m＝1，n＝﹣2，

∴（m+n）⁵＝（1﹣2）⁵＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．

7．（2分）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是　 　（结果保留π）．

【考点】MO：扇形面积的计算．

【专题】16：压轴题．

【分析】阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1的扇形．

【解答】解：根据图示知，∠1+∠2＝180°﹣90°﹣45°＝45°，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2＝135°，

∴阴影部分的面积应为：S＝ ＝ ．

故答案是： ．

【点评】本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．

8．（2分）若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB＝2，则点A关于原点对称的点的坐标为　（﹣1，﹣1）　．

【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．

【分析】过点A作AD⊥OB于点D，根据等腰直角三角形的性质求出OD及AD的长，故可得出A点坐标，再由关于原点对称的点的坐标特点即可得出结论．

【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，

∵△AOB是等腰直角三角形，OB＝2，

∴OD＝AD＝1，

∴A（1，1），

∴点A关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣1）．

故答案为（﹣1，﹣1）．

【点评】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．

9．（2分）如图，点O为 所在圆的圆心，∠BOC＝112°，点D在BA的延长线上，AD＝AC，则∠D＝　28°　．

【考点】KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理．

【分析】由AD＝AC，可得∠ACD＝∠ADC，由∠BAC＝∠ACD+∠ADC＝2∠D，可得∠BAC的度数，由∠D＝ ∠BAC即可求解．

【解答】解：∵AD＝AC，

∴∠ACD＝∠ADC，

∵∠BAC＝∠ACD+∠ADC＝2∠D，

∴∠BAC＝ ∠BOC＝ ×112°＝56°，

∴∠D＝ ∠BAC＝28°．

故答案为：28°．

【点评】本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质，解题的关键是找出∠D与∠BOC的关系．

10．（2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　AB＝DE　（只需写一个，不添加辅助线）．

【考点】KB：全等三角形的判定．

【专题】26：开放型．

【分析】求出BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．

【解答】解：AB＝DE，

理由是：∵BF＝CE，

∴BF+FC＝CE+FC，

∴BC＝EF，

∵AB∥DE，

∴∠ABC＝∠DEF，

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

故答案为：AB＝DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．

11．（2分）在一个不透明的袋子中装有红白两种颜色的球（形状大小质地完全相同）共25个，其中白球有5个．每次从中随机摸出一个球，并记下颜色后放回，那么从袋子中随机摸出一个红球的概率是　 　．

【考点】X4：概率公式．

【分析】根据袋中共有25个球，每个球被摸到的机会是均等的，利用概率公式即可解答．

【解答】解：∵袋子中装有20个红球和5个白球，

∴根据概率公式，从袋子中摸出一个红球的概率P＝ ＝ ；

故答案为： ．

【点评】此题考查了概率公式：如果一个随机事件有以下特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等，则可用概率公式计算．

12．（4分）如图是一组有规律的图案，图案1是由4个 组成的，图案2是由7个 组成的，那么图案5是由　16　个 组成的，依此，第n个图案是由　3n+1　个 组成的．

【考点】38：规律型：图形的变化类．

【专题】16：压轴题；2A：规律型．

【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多3个基础图形，然后写出第5个和第n个图案的基础图形的个数即可．

【解答】解：由图可得，第1个图案基础图形的个数为4，

第2个图案基础图形的个数为7，7＝4+3，

第3个图案基础图形的个数为10，10＝4+3×2，

…，

第5个图案基础图形的个数为4+3（5﹣1）＝16，

第n个图案基础图形的个数为4+3（n﹣1）＝3n+1．

故答案为：16，3n+1．

【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多3个基础图形”是解题的关键．

二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）。

13．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．x⁷÷x⁴＝x¹¹ B．（a³）²＝a⁵ C．2 +3 ＝5 D． ÷ ＝

【考点】47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；75：二次根式的乘除法；78：二次根式的加减法．

【分析】利用同底数幂的除法，幂的乘方，二次根式的加减法，乘除法运算法则运算即可．

【解答】解：A．x⁷÷x⁴＝x³，故此选项错误；

B．（a³）²＝a⁶，故此选项错误；

C.2 +3 ，不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；

D. ＝ ，此选项正确；

故选：D．

【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，二次根式的加减法，乘除法运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．

14．（3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（　　）

A．5 B．6 C．12 D．16

【考点】K6：三角形三边关系．

【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．

【解答】解：设第三边的长为x，

∵三角形两边的长分别是4和10，

∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．

15．（3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则 等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．

【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，那么 ＝ ；由AE：ED＝2：1可设ED＝k，得到AE＝2k，BC＝3k；得到 ＝ ，即可解决问题．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，

∴ED∥BC，BC＝AD，

∴△DEF∽△BCF，

∴ ＝ ，

设ED＝k，则AE＝2k，BC＝3k；

∴ ＝ ＝ ，

故选：A．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．

16．（3分）甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（　　）

A． ＝ B． ＝

C． ＝ D． ＝

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．

【分析】根据题意设出未知数，根据甲所用时间＝乙所用时间列出分式方程即可．

【解答】解：设甲每天完成x个零件，则乙每天完成（x﹣4）个，

由题意得， ＝ ，

故选：A．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

17．（3分）如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【考点】U2：简单组合体的三视图．

【专题】11：计算题．

【分析】从上面看几何体，得到俯视图即可．

【解答】解：如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是 ．

故选：C．

【点评】此题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的试图．

18．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学最近五次数学成绩统计如表，如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加即将举行的中学生数学竞赛，那么应选（　　）

	甲	乙	丙	丁
平均数	80	85	85	80
方差	42	42	54	59

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【考点】W1：算术平均数；W7：方差．

【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛．

【解答】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．

故选：B．

【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

19．（3分）已知一次函数y＝2x﹣3与反比例函数y＝﹣ ，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象．

【专题】31：数形结合．

【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系进行判断．

【解答】解：一次函数y＝2x﹣3经过第一、三、四象限，反比例函数y＝﹣ 的图象分布在第二、四象限．

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝ 的图象为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限，当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．

20．（3分）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE＝DF，则∠BDN的度数是（　　）

A．105° B．115° C．120° D．135°

【考点】R2：旋转的性质．

【专题】16：压轴题．

【分析】根据等腰三角形的性质和 特殊直角三角形的性质即可得到结果．

【解答】解：∵DE＝DF，∠EDF＝30°，

∴∠DFC＝ （180°﹣∠EDF）＝75°，

∵∠C＝45°，

∴∠BDN＝∠DFC+∠C＝75°+45°＝120°，

故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题7分，第23题8分，共20分）

21．（5分）计算： +（π﹣2015）⁰﹣| ﹣2|+2sin60°．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】根据特殊角的三角函数值、0指数幂、绝对值的定义解答．

【解答】解：原式＝9+1﹣（2﹣ ）+2×

＝8+2 ．

【点评】本题考查了实数的运算，涉及特殊角的三角函数值、0指数幂、绝对值等知识，是基础题．

22．（7分）先化简再求值： ，其中 ．

【考点】6D：分式的化简求值．

【专题】2B：探究型．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式＝ ×

＝ ×

＝a﹣2，

当a＝2+ 时，原式＝2+ ﹣2＝ ．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

23．（8分）如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部11.4米的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED＝60°，∠BED＝45°．小明的观测点与地面的距离EF为1.6米．

（1）求建筑物BC的高度；

（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．

参考数据： ≈1.41， ≈1.73．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】（1）先过点E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角为45°得BD＝ED＝FC＝11.4，DC＝EF＝1.6，从而求出BC；

（2）由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为60°可求出AD，则AB＝AD﹣BD．

【解答】解：（1）根据题意得：EF⊥FC，ED∥FC，

∴四边形CDEF是矩形，

∵∠BED＝45°，

∴∠EBD＝45°，

∴BD＝ED＝FC＝11.4，

∴BC＝BD+DC＝BD+EF＝11.4+1.6＝13，

答：建筑物BC的高度为13m；

（2）∵∠AED＝60°，

∴AD＝ED•tan60°

≈11.4×1.73≈19.7，

∴AB＝AD﹣BD＝19.7﹣11.4＝8.3，

答：旗杆AB的高度约为8.3m．

【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．

四、（本大题共3小题，第24题8分，第25题8分，第26题8分，共24分）

24．（8分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．

【考点】L9：菱形的判定．

【专题】14：证明题．

【分析】首先根据平行四边形的判定方法，判断出四边形ADCE是平行四边形；然后判断出AE＝CE，即可判断出四边形ADCE是菱形，据此解答即可．

【解答】证明：∵AB∥DC，CE∥DA，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD＝∠CAE，

又∵CE∥DA，

∴∠ACE＝∠CAD，

∴∠ACE＝∠CAE，

∴AE＝CE，

又∵四边形ADCE是平行四边形，

∴四边形ADCE是菱形．

【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

25．（8分）某玩具商计划生产A、B两种型号的玩具投入市场，初期计划生产100件，生产投入资金不少于22400元，但不超过22500元，且资金要全部投入到生产这两种型号的玩具．假设生产的这两种型号玩具能全部售出，这两种玩具的生产成本和售价如表：

型号	A	B
成本（元）	200	240
售价（元）	250	300

（1）该玩具商对这两种型号玩具有哪几种生产方案？

（2）该玩具商如何生产，就能获得最大利润？

【考点】CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．

【分析】（1）设该厂生产A型玩具x件，则生产B型玩具100﹣x件，由题意可得：22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，求解即得；

（2）计算出各种生产方案所获得的利润即得最大利润方案．

【解答】解：（1）设该厂生产A型玩具x件，则生产B型玩具（100﹣x）件，

由“该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元”和表中生产成本可得：

22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，

37.5≤x≤40，

∵x为整数，

∴x取值为38、39、40．

故有三种生产方案．

即：第一种方案：生产A型号玩具38件，生产B号玩具62件；

第二种方案：生产A号玩具39件，生产B号玩具61件；

第三种方案：生产A号玩具40件，生产B号玩具60件．

（2）三种方案获得的利润分别为：

第一种方案：38×（250﹣200）+62×（300﹣240）＝5620；

第二种方案：39×（250﹣200）+61×（300﹣240）＝5610；

第三种方案：40×（250﹣200）+60×（300﹣240）＝5600．

故生产A号玩具38台，生产B号玩具62台的方案获得利润最大．

【点评】本题考查了一次函数的应用一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．

26．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．

（1）求证：AM＝AC；

（2）若AC＝3，求MC的长．

【考点】MC：切线的性质．

【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC＝120°，得到∠OCA的度数，根据切线的性质求出∠M的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；

（2）作AG⊥CM于G，根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出CG，得到答案．

【解答】（1）证明：连接OA，

∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM＝90°，

∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴∠AOM＝60°，∴∠M＝30°，

∴∠OCA＝∠M，

∴AM＝AC；

（2）作AG⊥CM于G，

∵∠OCA＝30°，AC＝3，∴AG＝ ，

由勾股定理的，CG＝ ，

则MC＝2CG＝3 ．

【点评】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．

五、（本大题共2小题，第27题9分，第28题13分，共22分）

27．（9分）为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次接受调查的总人数是　300　人，并把条形统计图补充完整；

（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是　29.3%　，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是　24°　；

（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．

【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．

【专题】16：压轴题．

【分析】（1）根据上学方式为“骑自行”的学生数除以所占的百分比即可求出调查的学生总数；根据总学生数求出上学方式为“步行”的学生数，补全条形统计图即可；

（2）由 ×100%可以求得在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比；同理求得“其他方式”所占的百分比，进而求得“其他方式”所在扇形的圆心角度数；

（3）根据题意画出树状图，再根据概率公式计算即可．

【解答】解：（1）接受调查的总人数是： ＝300（人），

则步行上学的人数为：300﹣54﹣126﹣12﹣20＝88（人）．

故答案是：300；

（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是： ×100%≈29.3%；

“其他方式”所在扇形的圆心角度数是：360°× ×100%＝24°．

故答案是：29.3%；24°；

（3）画树状图：

由图可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女有12种结果；

则P_{（一男一女）＝} ＝ ．

【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．概率公式P（m）＝ ．

28．（13分）如图，二次函数y＝ax²+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）判断△BCM的形状，并说明理由；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】16：压轴题．

【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；

（2）根据B、C、M的坐标，可求得△BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；

（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax²+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴ ，

解得： ，

则抛物线解析式为y＝x²﹣2x﹣3；

（2）△BCM为直角三角形，理由为：

对于抛物线解析式y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）²﹣4，即顶点M坐标为（1，﹣4），

令x＝0，得到y＝﹣3，即C（0，﹣3），

根据勾股定理得：BC＝3 ，BM＝2 ，CM＝ ，

∵BM²＝BC²+CM²，

∴△BCM为直角三角形；

（3）若∠APC＝90°，即P点和O点重合，如图1，

连接AC，

∵∠AOC＝∠MCB＝90°，且 ，

∴Rt△AOC∽Rt△MCB，

∴此时P点坐标为（0，0）．

若P点在y轴上，则∠PAC＝90°，如图2，过A作AP₁⊥AC交y轴正半轴于P₁，

∵Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCM，

∴ ＝ ，

即 ＝ ，

∴点P₁（0， ）．

若P点在x轴上，则∠PCA＝90°，如图3，过C作CP₂⊥AC交x轴正半轴于P₂，

∵Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCM，

∴ ＝ ，

即 ＝ ，AP₂＝10，

∴点P₂（9，0）．

∴符合条件的点有三个：O（0，0），P₁（0， ），P₂（9，0）．

【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O是符合要求的P点，是解决此题的突破口．

 

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