青海省中考真题10-20年青海省中考数学真题2016年青海省中考数学试卷（含解析版）

2016年青海省中考数学试卷

一、填空题（本大题共12小题，每空2分，共30分）

1．（4分）﹣3的相反数是　 　； 的立方根是　 　．

2．（4分）分解因式：2a²b﹣8b＝　 　，计算：8x⁶÷4x²＝　 　．

3．（2分）据科学计算，我国广阔的陆地每年从太阳得到的能量相当于燃烧1248000000000000千克的煤所产生的能量，该数字用科学记数法表示为　 　千克．

4．（2分）函数y＝ 的自变量x的取值范围是　 　．

5．（2分）如图，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1＝50°，则∠2＝　 　．

6．（2分）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线，若∠B＝71°，则∠BAC＝　 　．

7．（2分）如图，直线y＝ x与双曲线y＝ 在第一象限的交点为A（2，m），则k＝　 　．

8．（2分）如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO＝45cm，CO＝5cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的面积为　 　cm²（结果保留π）．

9．（2分）已知一个围棋盒子中装有7颗围棋子，其中3颗白棋子，4颗黑棋子，若往盒子中再放入x颗白棋子和y颗黑棋子，从盒子中随机取出一颗白棋子的概率为 ，则y与x之间的关系式是　 　．

10．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝　 　．

11．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝　 　．

12．（4分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，那么第4个图形中的x＝　 　，一般地，用含有m，n的代数式表示y，即y＝　 　．

二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

13．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a³+a²＝2a⁵ B．（﹣ab²）³＝a³b⁶

C．2a（1﹣a）＝2a﹣2a² D．（a+b）²＝a²+b²

14．（3分）以下图形中对称轴的数量小于3的是（　　）

A． B． C． D．

15．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

16．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x²﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（　　）

A．8 B．10 C．8或10 D．12

17．（3分）在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的（　　）

A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数

18．（3分）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（　　）

A． ﹣ ＝4 B． ＝4

C． ＝4 D． ＝4

19．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（　　）

A． B． C． D．

20．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂，…，按照此规律继续下去，则S₉的值为（　　）

A．（ ）⁶ B．（ ）⁷ C．（ ）⁶ D．（ ）⁷

三、解答题(本大题共3小题，第21题5分，第22题6分，第23题7分，共18分）

21．（5分）计算：﹣3²+6cos45°﹣ +| ﹣3|

22．（6分）先化简，后求值：（x﹣ ）÷ ，其中x＝2 ．

23．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：

（1）DE＝BF；

（2）四边形DEBF是平行四边形．

四、（本大题共3小题，第24题8分，第25题9分，第26题9分，共26分）

24．（8分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．

（参考数据：sin22°≈ ，cos22° ，tan22 ）

25．（9分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．

（1）求证：∠BME＝∠MAB；

（2）求证：BM²＝BE•AB；

（3）若BE＝ ，sin∠BAM＝ ，求线段AM的长．

26．（9分）我省某地区为了了解2016年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向：A．读普通高中；B．读职业高中；C．直接进入社会就业；D．其他（如出国等）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（如图1，如图2）

（1）填空：该地区共调查了　 　名九年级学生；

（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；

（3）若该地区2016年初中毕业生共有3500人，请估计该地区今年初中毕业生中读普通高中的学生人数；

（4）老师想从甲，乙，丙，丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表的方法求选中甲同学的概率．

五、（本大题共2小题，第27题10分，第28题12分，共22分）

27．（10分）如图1，2，3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形，BE和CD相交于点O．

（1）在图1中，求证：△ABE≌△ADC．

（2）由（1）证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图1中∠BOC＝120°，请你探索在图2中，∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．

（3）填空：在上述（1）（2）的基础上可得在图3中∠BOC＝　 　（填写度数）．

（4）由此推广到一般情形（如图4），分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想得∠BOC的度数为　 　（用含n的式子表示）．

28．（12分）如图1（注：与图2完全相同），二次函数y＝ x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；

（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．

2016年青海省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12小题，每空2分，共30分）

1．（4分）﹣3的相反数是　3　； 的立方根是　 　．

【考点】14：相反数；24：立方根．

【专题】17：推理填空题．

【分析】根据求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，以及求一个数的立方根的方法求解即可．

【解答】解：﹣3的相反数是3；

∵ ＝ ，

∴ 的立方根是 ．

故答案为：3、 ．

【点评】此题主要考查了立方根的求法，以及相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．

2．（4分）分解因式：2a²b﹣8b＝　2b（a+2）（a﹣2）　，计算：8x⁶÷4x²＝　2x⁴　．

【考点】4H：整式的除法；55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】通过提取公因式法进行因式分解；单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．

【解答】解：2a²b﹣8b＝2b（a+2）（a﹣2）；

8x⁶÷4x²＝2x⁴．

故答案是：2b（a+2）（a﹣2）；2x⁴．

【点评】本题考查了整式的整除，提公因式法与公式法的综合运用．熟练掌握运算性质是解题的关键．

3．（2分）据科学计算，我国广阔的陆地每年从太阳得到的能量相当于燃烧1248000000000000千克的煤所产生的能量，该数字用科学记数法表示为　1.248×10¹⁵　千克．

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将1248000000000000用科学记数法表示为1.248×10¹⁵．

故答案为：1.248×10¹⁵．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（2分）函数y＝ 的自变量x的取值范围是　﹣3≤x＜2或x＞2　．

【考点】E4：函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．

【解答】解：函数y＝ 有意义，得

．

解得﹣3≤x＜2或x＞2，

故答案为：﹣3≤x＜2或x＞2．

【点评】本题考查了函数值变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

5．（2分）如图，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1＝50°，则∠2＝　65°　．

【考点】JA：平行线的性质．

【专题】11：计算题．

【分析】先根据平行线的性质得∠ABC+∠BCD＝180°，根据对顶角相等得∠ABC＝∠1＝50°，则∠BCD＝130°，再利用角平分线定义得到∠ACD＝ ∠BCD＝65°，然后根据平行线的性质得到∠2的度数．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

而∠ABC＝∠1＝50°，

∴∠BCD＝130°，

∵CA平分∠BCD，

∴∠ACD＝ ∠BCD＝65°，

∵AB∥CD，

∴∠2＝∠ACD＝65°．

故答案为65°．

【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

6．（2分）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线，若∠B＝71°，则∠BAC＝　38°　．

【考点】JA：平行线的性质；KF：角平分线的性质．

【分析】先用平行线求出∠EAD，再用角平分线求出∠EAC，最后用邻补角求出∠BAC．

【解答】解：∵AD∥BC，∠B＝71°，

∴∠EAD＝∠B＝71°，

∵AD是∠EAC的平分线，

∴∠EAC＝2∠EAD＝2×71°＝142°，

∴∠BAC＝38°，

故答案为38°．

【点评】此题是三角形外角性质的题目，主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的意义，解本题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的意义．

7．（2分）如图，直线y＝ x与双曲线y＝ 在第一象限的交点为A（2，m），则k＝　2　．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】先把A（2，m）代入直线y＝ x得出m的值，故可得出A点坐标，再代入双曲线y＝ ，求出k的值即可．

【解答】解：∵直线y＝ x与双曲线y＝ 在第一象限的交点为A（2，m），

∴m＝ ×2＝1，

∴A（2，1），

∴k＝xy＝2×1＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解答此类题目时要先求出已知点的坐标，再代入含有未知数的函数解析式．

8．（2分）如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO＝45cm，CO＝5cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的面积为　500π　cm²（结果保留π）．

【考点】MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．

【分析】易证三角形AOC与三角形A′OC′全等，故刮雨刷AC扫过的面积等于扇形AOA′的面积减去扇形COC′的面积．

【解答】解：∵OA＝OA′，OC＝OC′，AC＝A′C′

∴△AOC≌△A′OC′

∴刮雨刷AC扫过的面积＝扇形AOA′的面积﹣扇形COC′的面积＝ ×π＝500π（cm²），

故答案为：500π．

【点评】本题主要考查了根据扇形面积公式计算扇形面积的能力，解题时注意利用面积相等将图形转化为熟悉的面积．

9．（2分）已知一个围棋盒子中装有7颗围棋子，其中3颗白棋子，4颗黑棋子，若往盒子中再放入x颗白棋子和y颗黑棋子，从盒子中随机取出一颗白棋子的概率为 ，则y与x之间的关系式是　y＝3x+5　．

【考点】X4：概率公式．

【分析】根据从盒子中随机取出一颗白棋子的概率为 列出关系式，进而可得y与x之间的关系式．

【解答】解：由题意，得 ＝ ，

化简，得y＝3x+5．

故答案为y＝3x+5．

【点评】此题主要考查了概率的求法，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．

10．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝　40°　．

【考点】M5：圆周角定理．

【分析】根据直径所对的圆周角为直角求出∠ACB＝90°，得到∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等得到答案．

【解答】解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，又∠CAB＝50°，

∴∠ABC＝40°，

∴∠ADC＝∠ABC＝40°，

故答案为：40°．

【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角和同弧所对的圆周角相等是解题的关键．

11．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝　4.8　．

【考点】L8：菱形的性质．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得解．

【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，

∵AC＝8，BD＝6，

∴OA＝ AC＝ ×8＝4，OB＝ BD＝ ×6＝3，

在Rt△AOB中，AB＝ ＝5，

∵DH⊥AB，

∴菱形ABCD的面积＝ AC•BD＝AB•DH，

即 ×6×8＝5•DH，

解得DH＝4.8，

故答案为：4.8．

【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键．

12．（4分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，那么第4个图形中的x＝　63　，一般地，用含有m，n的代数式表示y，即y＝　m（n+1）　．

【考点】37：规律型：数字的变化类；38：规律型：图形的变化类．

【分析】观察给定图形，发现右下的数字＝右上数字×（左下数字+1），依此规律即可得出结论．

【解答】解：观察，发现规律：3＝1×（2+1），2+1＝3，15＝3×（4+1），3+1＝4，35＝5×（6+1），5+1＝6，

∴x＝7×（8+1）＝63，y＝m（n+1）（其中n＝m+1）．

故答案为：63；m（n+1）．

【点评】本题考查了规律型中的图形的变化类以及数字的变化类，解题的关键是找出变换规律“右下的数字＝右上数字×（左下数字+1）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据图形中数字的变化找出变化规律是关键．

二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

13．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a³+a²＝2a⁵ B．（﹣ab²）³＝a³b⁶

C．2a（1﹣a）＝2a﹣2a² D．（a+b）²＝a²+b²

【考点】4I：整式的混合运算．

【分析】直接利用合并同类项、积的乘方与幂的乘方的性质与整式乘法的知识求解即可求得答案．

【解答】解：A、a³+a²，不能合并；故本选项错误；

B、（﹣ab²）³＝﹣a³b⁶，故本选项错误；

C、2a（1﹣a）＝2a﹣2a²，故本选项正确；

D、（a+b）²＝a²+2ab+b²，故本选项错误．

故选：C．

【点评】此题考查了合并同类项、积的乘方与幂的乘方的性质与整式乘法．注意掌握符号与指数的变化是解此题的关键．

14．（3分）以下图形中对称轴的数量小于3的是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】P3：轴对称图形．

【分析】根据对称轴的概念求解．

【解答】解：A、有4条对称轴；

B、有6条对称轴；

C、有4条对称轴；

D、有2条对称轴．

故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

15．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．

【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以求出原不等式组的解集，从而可以解答本题．

【解答】解：

由①，得x＞﹣3，

由②，得x≤2，

故原不等式组的解集是﹣3＜x≤2，

故选：C．

【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．

16．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x²﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（　　）

A．8 B．10 C．8或10 D．12

【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．

【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是4和2，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是4，底是2，然后可以求出三角形的周长．

【解答】解：x²﹣6x+8＝0

（x﹣4）（x﹣2）＝0

∴x₁＝4，x₂＝2，

由三角形的三边关系可得：

腰长是4，底边是2，

所以周长是：4+4+2＝10．

故选：B．

【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系求出三角形的周长．

17．（3分）在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的（　　）

A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数

【考点】WA：统计量的选择．

【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．

【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．

故选：D．

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．

18．（3分）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（　　）

A． ﹣ ＝4 B． ＝4

C． ＝4 D． ＝4

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．

【分析】设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h，根据“乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达”可列方程．

【解答】解：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h，

根据题意，可得： ﹣ ＝4，

故选：B．

【点评】本题主要考查分式方程的应用，理解题意抓住相等关系并以此列出方程是关键．

19．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【考点】E7：动点问题的函数图象．

【专题】16：压轴题．

【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象．

【解答】解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；

当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；

当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小；

当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；

当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小；

故选：B．

【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在不同的线段上△ABP的面积S与时间t的关系是解题的关键．

20．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂，…，按照此规律继续下去，则S₉的值为（　　）

A．（ ）⁶ B．（ ）⁷ C．（ ）⁶ D．（ ）⁷

【考点】KQ：勾股定理．

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S₂+S₂＝S₁，写出部分S_n的值，根据数的变化找出变化规律“S_n＝（ ）^n﹣3”，依此规律即可得出结论．

【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．

∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，

∴DE²+CE²＝CD²，DE＝CE，

∴S₂+S₂＝S₁．

观察，发现规律：S₁＝2²＝4，S₂＝ S₁＝2，S₃＝ S₂＝1，S₄＝ S₃＝ ，…，

∴S_n＝（ ）^n﹣3．

当n＝9时，S₉＝（ ）^9﹣3＝（ ）⁶，

故选：A．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“S_n＝（ ）^n﹣3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S_n的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．

三、解答题(本大题共3小题，第21题5分，第22题6分，第23题7分，共18分）

21．（5分）计算：﹣3²+6cos45°﹣ +| ﹣3|

【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】本题涉及负指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式＝﹣9+6× ﹣2 +3﹣

＝﹣9+3 ﹣2 +3﹣

＝﹣6．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值等考点的运算．

22．（6分）先化简，后求值：（x﹣ ）÷ ，其中x＝2 ．

【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】先计算括号内减法、同时将除法转化为乘法，再约分即可化简，最后代入求值即可．

【解答】解：原式＝ ×

＝ ×

＝ ，

当x＝2+ 时，

原式＝

＝

＝ ．

【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的混合运算顺序是解题的关键．

23．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：

（1）DE＝BF；

（2）四边形DEBF是平行四边形．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质．

【专题】14：证明题．

【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE＝BF．

（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AD＝CB，

∴∠DAE＝∠BCF，

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF，

∴DE＝BF．

（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，

∴∠ADE＝∠CBF，

∵∠DEF＝∠DAE+∠ADE，∠BFE＝∠BCF+∠CBF，

∴∠DEF＝∠BFE，

∴DE∥BF，

又∵DE＝BF，

∴四边形DEBF是平行四边形．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

四、（本大题共3小题，第24题8分，第25题9分，第26题9分，共26分）

24．（8分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．

（参考数据：sin22°≈ ，cos22° ，tan22 ）

【考点】T8：解直角三角形的应用．

【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°＝ ，求出即可；

（2）利用Rt△AME中，cos22°＝ ，求出AE即可

【解答】解：（1）如图，

过点E作EM⊥AB，垂足为M．

设AB为x．

Rt△ABF中，∠AFB＝45°，

∴BF＝AB＝x，

∴BC＝BF+FC＝x+25，

在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝x﹣2，

tan22°＝ ，

则 ＝ ，

解得：x＝20．

即教学楼的高20m．

（2）由（1）可得ME＝BC＝x+25＝20+25＝45．

在Rt△AME中，cos22°＝ ．

∴AE＝ ≈ ＝48m，

即A、E之间的距离约为48m

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°＝ 是解题关键

25．（9分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．

（1）求证：∠BME＝∠MAB；

（2）求证：BM²＝BE•AB；

（3）若BE＝ ，sin∠BAM＝ ，求线段AM的长．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）由切线的性质得出∠BME+∠OMB＝90°，再由直径得出∠AMB＝90°，利用同角的余角相等判断出结论；

（2）由（1）得出的结论和直角，判断出△BME∽△BAM，即可得出结论，

（3）先在Rt△BEM中，用三角函数求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函数和勾股定理计算即可．

【解答】解：（1）如图，连接OM，

∵直线CD切⊙O于点M，

∴∠OMD＝90°，

∴∠BME+∠OMB＝90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AMB＝90°．

∴∠AMO+∠OMB＝90°，

∴∠BME＝∠AMO，

∵OA＝OM，

∴∠MAB＝∠AMO，

∴∠BME＝∠MAB；

（2）由（1）有，∠BME＝∠MAB，

∵BE⊥CD，

∴∠BEM＝∠AMB＝90°，

∴△BME∽△BAM，

∴ ，

∴BM²＝BE•AB；

（3）由（1）有，∠BME＝∠MAB，

∵sin∠BAM＝ ，

∴sin∠BME＝ ，

在Rt△BEM中，BE＝ ，

∴sin∠BME＝ ＝ ，

∴BM＝6，

在Rt△ABM中，sin∠BAM＝ ，

∴sin∠BAM＝ ＝ ，

∴AB＝ BM＝10，

根据勾股定理得，AM＝8．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直径，相似三角形的性质和判定，三角函数，解本题的关键是判断出，△BME∽△BAM．

26．（9分）我省某地区为了了解2016年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向：A．读普通高中；B．读职业高中；C．直接进入社会就业；D．其他（如出国等）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（如图1，如图2）

（1）填空：该地区共调查了　200　名九年级学生；

（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；

（3）若该地区2016年初中毕业生共有3500人，请估计该地区今年初中毕业生中读普通高中的学生人数；

（4）老师想从甲，乙，丙，丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表的方法求选中甲同学的概率．

【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．

【分析】（1）根据统计图可以得到本次调查的九年级学生数；

（2）根据题目中的数据可以得到统计图中未知的数据，从而可以解答本题；

（3）根据统计图中的数据可以估计该地区今年初中毕业生中读普通高中的学生人数；

（4）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得选中甲同学的概率．

【解答】解：（1）该地区调查的九年级学生数为：110÷55%＝200，

故答案为：200；

（2）B去向的学生有：200﹣110﹣16﹣4＝70（人），

C去向所占的百分比为：16÷200×100%＝8%，

补全的统计图如右图所示，

（3）该地区今年初中毕业生中读普通高中的学生有：3500×55%＝1925（人），

即该地区今年初中毕业生中读普通高中的学生有1925人；

（4）由题意可得，

P（甲）＝ ，

即选中甲同学的概率是 ．

【点评】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

五、（本大题共2小题，第27题10分，第28题12分，共22分）

27．（10分）如图1，2，3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形，BE和CD相交于点O．

（1）在图1中，求证：△ABE≌△ADC．

（2）由（1）证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图1中∠BOC＝120°，请你探索在图2中，∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．

（3）填空：在上述（1）（2）的基础上可得在图3中∠BOC＝　72°　（填写度数）．

（4）由此推广到一般情形（如图4），分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想得∠BOC的度数为　 　（用含n的式子表示）．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）根据等边三角形证明AB＝AD，AC＝AE，再利用等式性质得∠DAC＝∠BAE，根据SAS得出△ABE≌△ADC；

（2）根据正方形性质证明△ABE≌△ADC，得∠BEA＝∠DCA，再由正方形ACEG的内角∠EAC＝90°和三角形外角和定理得∠BOC＝90°；

（3）根据正五边形的性质证明：△ADC≌△ABE，再计算五边形每一个内角的度数为108°，由三角形外角定理求出∠BOC＝72°；

（4）根据正n边形的性质证明：△ADC≌△ABE，再计算n边形每一个内角的度数为180°﹣ ，由三角形外角定理求出∠BOC＝ ．

【解答】证明：（1）如图1，∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，

即∠DAC＝∠BAE，

∴△ABE≌△ADC；

（2）如图2，∠BOC＝90°，理由是：

∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，

∴∠BAE＝∠DAC，

∴△ADC≌△ABE，

∴∠BEA＝∠DCA，

∵∠EAC＝90°，

∴∠AMC+∠DCA＝90°，

∵∠BOC＝∠OME+∠BEA＝∠AMC+∠DCA，

∴∠BOC＝90°；

（3）如图3，同理得：△ADC≌△ABE，

∴∠BEM＝∠DCA，

∵∠BOC＝∠BEM+∠OME＝∠DCA+∠AMC，

∵正五边形ACIGE，

∴∠EAC＝180°﹣ ＝108°，

∴∠DCA+∠AMC＝72°，

∴∠BOC＝72°；

故答案为：72°；

（4）如图4，∠BOC的度数为 ，理由是：

同理得：△ADC≌△ABE，

∴∠BEA＝∠DCA，

∵∠BOC＝∠BEA+∠OME＝∠DCA+∠AMC，

∵正n边形AC…E，

∴∠EAC＝180°﹣ ，

∴∠DCA+∠AMC＝180°﹣（180﹣ ）°，

∴∠BOC＝ ．

【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形、等边三角形、正四边形等图形的性质，关键是利用正n边形各边相等证明两三角形全等，运用了类比的方法，同时还要熟练掌握正n边形每一个内角的求法：可以利用外角和求，也可以利用内角和求；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和列式并综合对顶角相等分别得出结论．

28．（12分）如图1（注：与图2完全相同），二次函数y＝ x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；

（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）将A，B点坐标代入函数y＝ x²+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式；

（2）由解析式先求得点D、C坐标，再根据S_△ACD＝S_梯形AOMD﹣S_△CDM﹣S_△AOC，列式计算即可；

（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、E对称，则AP＝EP，AQ＝EQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t表示E点坐标，又E在二次函数的图象上，所以代入即可求t，进而E可表示．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴ ，

解得： ，

∴y＝ x²﹣ x﹣4；

（2）过点D作DM⊥y轴于点M，

∵y＝ x²﹣ x﹣4＝ （x﹣1）²﹣ ，

∴点D（1，﹣ ）、点C（0，﹣4），

则S_△ACD＝S_梯形AOMD﹣S_△CDM﹣S_△AOC

＝ ×（1+3）× ﹣ ×（ ﹣4）×1﹣ ×3×4

＝4；

（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣ ，﹣ ）．理由如下

如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F，

∵AP＝AQ＝t，AP＝EP，AQ＝EQ

∴AP＝AQ＝QE＝EP，

∴四边形AQEP为菱形，

∵FQ∥OC，

∴ ＝ ＝ ，

∴ ＝ ＝

∴AF＝ t，FQ＝ t•

∴Q（3﹣ t，﹣ t），

∵EQ＝AP＝t，

∴E（3﹣ t﹣t，﹣ t），

∵E在二次函数y＝ x²﹣ x﹣4上，

∴﹣ t＝ （3﹣ t）²﹣ （3﹣ t）﹣4，

∴t＝ ，或t＝0（与A重合，舍去），

∴E（﹣ ，﹣ ）．

【点评】本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，熟练地运用数形结合是解决问题的关键．

 

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