青海省中考真题10-20年青海省中考数学真题2019年青海省中考数学试卷（含解析版）

2019年青海省中考数学试卷

一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）

1．（4分）﹣5的绝对值是　 　； 的立方根是　 　．

2．（4分）分解因式：ma²﹣6ma+9m＝　 　；分式方程 ＝ 的解为　 　．

3．（2分）世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有0.000000006米的晶体管，该数用科学记数法表示为　 　米．

4．（2分）某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为　 　．

5．（2分）如图，P是反比例函数y＝ 图象上的一点，过点P向x轴作垂线交于点A，连接OP．若图中阴影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为　 　．

6．（2分）如图，在直角坐标系中，已知点A（3，2），将△ABO绕点O逆时针方向旋转180°后得到△CDO，则点C的坐标是　 　．

7．（2分）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为　 　米．（结果保留根号）

8．（2分）一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是3个红珠子，4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是　 　．

9．（2分）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压　 　cm．

10．（2分）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y值等于　 　．

11．（2分）如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为　 　．

12．（4分）如图，将图1中的菱形剪开得到图2，图中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，图中共有7个菱形；如此剪下去，第5图中共有　 　个菱形……，第n个图中共有　 　个菱形．

二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）

13．（3分）下面几何体中，俯视图为三角形的是（　　）

A． B．

C． D．

14．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含30°角的三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°

15．（3分）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（　　）

A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g

16．（3分）为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表，这组数据的中位数和众数为（　　）

每周做家务的时间（h）	0	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
人数（人）	2	2	6	8	12	13	4	3

A．2.5和2.5 B．2.25和3 C．2.5和3 D．10和13

17．（3分）如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20°，再沿直线前进10米，又向左转20°，……，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是（　　）

A．150米 B．160米 C．180米 D．200米

18．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l₁、l₂与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为（　　）

A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2

19．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝6，则 的长为（　　）

A． B． C．2 π D．2π

20．（3分）大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

三、（本大题共3小题，第21题5分，第2题5分，第23题8分，共18分）

21．（5分）计算：（ ﹣1）⁰+（﹣ ）^﹣1+| ﹣1|﹣2cos45°

22．（5分）化简求值：（ +m﹣2）÷ ；其中m＝ +1

23．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形．

四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题8分，第26题9分，共26分）

24．（9分）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．

（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；

（2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？

25．（8分）如图，在⊙O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AE⊥CD于点E．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若AE＝2，sin∠ADE＝ ，求⊙O的半径．

26．（9分）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表，图）：

血型统计表

血型	A	B	AB	O
人数		10	5

（1）本次随机抽取献血者人数为　 　人，图中m＝　 　；

（2）补全表中的数据；

（3）若这次活动中该校有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？

（4）现有4个自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．

五、（本大题共2小题，第27题10分，第28题12分，共22分）

27．（10分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝ ①

这是中国古代数学的瑰宝之一．

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝ （周长的一半），则S＝ ②

（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；

（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；

（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝ ，S为三角形面积，则S＝pr．

28．（12分）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；

（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）

2019年青海省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）

1．（4分）﹣5的绝对值是　5　； 的立方根是　 　．

【分析】分别根据绝对值的定义、立方根的定义即可求解．

【解答】解：﹣5的绝对值是5；

的立方根是 ．

故答案为：5， ．

【点评】此题主要考查了实数的定义及有关性质，要求学生熟悉立方根、绝对值的相关概念和性质．

2．（4分）分解因式：ma²﹣6ma+9m＝　m（a﹣3）²　；分式方程 ＝ 的解为　x＝﹣6　．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：原式＝m（a²﹣6a+9）＝m（a﹣3）²；

去分母得：3x＝2x﹣6，

解得：x＝﹣6，

经检验x＝﹣6是分式方程的解．

故答案为：m（a﹣3）²；x＝﹣6

【点评】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．（2分）世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有0.000000006米的晶体管，该数用科学记数法表示为　6×10^﹣9　米．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000000006＝6×10^﹣9．

故答案为：6×10^﹣9

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10^﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4．（2分）某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为　10%　．

【分析】设平均每次降价的百分比是x，则第一次降价后的价格为60×（1﹣x）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1﹣x）×（1﹣x）元，从而列出方程，然后求解即可．

【解答】解：设平均每次降价的百分比是x，根据题意得：

60（1﹣x）²＝48.6，

解得：x₁＝0.1＝10%，x₂＝1.9（不合题意，舍去），

答：平均每次降价的百分比是10%；

故答案为：10%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）²＝b．

5．（2分）如图，P是反比例函数y＝ 图象上的一点，过点P向x轴作垂线交于点A，连接OP．若图中阴影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为　y＝ 　．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积＝ |k|，再根据图象所在象限求出k的值即可．

【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，

△PAO面积等于 |k|，

即 |k|＝1，

k＝±2，

由于函数图象位于第一、三象限，则k＝2，

∴反比例函数的解析式为y＝ ；

故答案为：y＝ ．

【点评】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．该知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

6．（2分）如图，在直角坐标系中，已知点A（3，2），将△ABO绕点O逆时针方向旋转180°后得到△CDO，则点C的坐标是　（﹣3，﹣2）　．

【分析】根据中心对称的性质解决问题即可．

【解答】解：由题意A，C关于原点对称，

∵A（3，2），

∴C（﹣3，﹣2），

故本答案为（﹣3，﹣2）．

【点评】本题考查中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

7．（2分）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为　4 ﹣4　米．（结果保留根号）

【分析】在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题．

【解答】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，

∴CM＝MB•tan30°＝12× ＝4 ，

在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，

∴∠MAD＝∠MDA＝45°，

∴MD＝AM＝4米，

∴CD＝CM﹣DM＝（4 ﹣4）米，

故答案为：4 ﹣4．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型．

8．（2分）一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是3个红珠子，4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是　 　．

【分析】每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子12个，其中红珠子3个，可以直接应用求概率的公式．

【解答】解：因为每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子12个，其中红珠子3个，

所以第10次摸出红珠子的概率是 ＝ ．

故答案是： ．

【点评】本题考查了概率的意义，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．

9．（2分）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压　50　cm．

【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．

【解答】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；

易知：△ACM∽△BCN；

∴ ＝ ，

∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，

∴ ＝ ，即AM＝5BN；

∴当BN≥10cm时，AM≥50cm；

故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm．

故答案为：50．

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．

10．（2分）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y值等于　﹣2　．

【分析】由题意输入x＝1然后平方得x²，然后再﹣ 小于0，乘以1+ ，可得y的值．

【解答】解：当x＝1时，x²﹣ ＝1﹣ ＜0，

∴y＝（1﹣ ）（1+ ）＝1﹣3＝﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题型．

11．（2分）如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为　1　．

【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积＝S_△CEB，进而得出答案．

【解答】解：如图所示：连接BE，

可得，AE＝BE，∠AEB＝90°，

且阴影部分面积＝S_△CEB＝ S_△ABC＝ S_{正方形ABCD}＝ ×2×2＝1

故答案为1

【点评】本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形，属于中考常考题型．

12．（4分）如图，将图1中的菱形剪开得到图2，图中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，图中共有7个菱形；如此剪下去，第5图中共有　13　个菱形……，第n个图中共有　3n﹣2　个菱形．

【分析】观察图形可知，每剪开一次多出3个菱形，然后写出前4个图形中菱形的个数，根据这一规律写出第n个图形中的菱形的个数的表达式；

【解答】解：（1）第1个图形有菱形1个，

第2个图形有菱形4＝1+3个，

第3个图形有菱形7＝1+3×2个，

第4个图形有菱形10＝1+3×3个，

…，

第n个图形有菱形1+3（n﹣1）＝（3n﹣2）个，

当n＝5时，3n﹣2＝13，

故答案为：13，（3n﹣2）．

【点评】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．

二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）

13．（3分）下面几何体中，俯视图为三角形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】利用从上面看到的图叫做俯视图判断即可．

【解答】解：A、俯视图为矩形；

B、俯视图为圆（带有圆心）；

C、俯视图为圆；

D、俯视图为三角形；

故选：D．

【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键．

14．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含30°角的三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°

【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．

【解答】解：如图，过A点作AB∥a，

∴∠1＝∠2，

∵a∥b，

∴AB∥b，

∴∠3＝∠4＝30°，

而∠2+∠3＝45°，

∴∠2＝15°，

∴∠1＝15°．

故选：A．

【点评】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

15．（3分）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（　　）

A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g

【分析】根据图可得：3块巧克力的重＝2个果冻的重；1块巧克力的重+1个果冻的重＝50克，由此可设出未知数，列出方程组．

【解答】解：设每块巧克力的重x克，每个果冻的重y克，由题意得：

，

解得： ．

故选：C．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的相等关系，列出方程组．

16．（3分）为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表，这组数据的中位数和众数为（　　）

每周做家务的时间（h）	0	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
人数（人）	2	2	6	8	12	13	4	3

A．2.5和2.5 B．2.25和3 C．2.5和3 D．10和13

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

【解答】解：表中数据为从小到大排列，第25个，第26个数都是2.5，故中位数是2.5；

数据3小时出现了13次最多为众数．

故选：C．

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

17．（3分）如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20°，再沿直线前进10米，又向左转20°，……，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是（　　）

A．150米 B．160米 C．180米 D．200米

【分析】多边形的外角和为360°，每一个外角都为20°，依此可求边数，再求多边形的周长．

【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为20°，

∴多边形的边数为360°÷20°＝18，

∴小莉一共走了：18×10＝180（米）．

故选：C．

【点评】本题考查了多边形的外角与内角，利用多边形外角和除以一个外角得出多边形的边数是解题关键．

18．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l₁、l₂与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为（　　）

A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．

【解答】解：∵AD∥BE∥CF，

∴ ＝ ，即 ＝ ，

∴EF＝3.6，

∴DF＝EF+DE＝3.6+1.2＝4.8，

故选：B．

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

19．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝6，则 的长为（　　）

A． B． C．2 π D．2π

【分析】连接OC，根据等边三角形的性质得到∠BOC＝80°，根据弧长公式计算即可．

【解答】解：连接OC，

∵OA＝OC，∠CAO＝60°，

∴△AOC为等边三角形，

∴∠AOC＝60°，

∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝140°﹣60°＝80°，

则 的长＝ ＝ ，

故选：B．

【点评】本题考查的是弧长的计算，等边三角形的判定和性质，掌握弧长公式：l＝ 是解题的关键．

20．（3分）大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】由于原来水位较低，乌鸦沉思一会后才想出办法，说明将在沉思的这段时间内水位没有变化，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，由此即可作出判断．

【解答】解：∵乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，

∴排除C，

∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，

∴排除A，

∵乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，

∴排除B，

∴D正确．

故选：D．

【点评】本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．

三、（本大题共3小题，第21题5分，第2题5分，第23题8分，共18分）

21．（5分）计算：（ ﹣1）⁰+（﹣ ）^﹣1+| ﹣1|﹣2cos45°

【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝1﹣3+ ﹣1﹣2×

＝1﹣3+ ﹣1﹣

＝﹣3．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

22．（5分）化简求值：（ +m﹣2）÷ ；其中m＝ +1

【分析】先化简分式，然后将m的值代入求值．

【解答】解：原式＝（ ）÷

＝ •

＝ ，

当m＝ +1时，

原式＝ ＝ ．

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．

23．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形．

【分析】（1）由“AAS”可证△AFE≌△DBE；

（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形的性质可得AD＝CD，即可得四边形ADCF是菱形．

【解答】证明：（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE

∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，

∴AE＝DE，BD＝CD

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）

（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，

∴AF＝CD，且AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝ BC＝CD，

∴四边形ADCF是菱形．

【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明AD＝CD是本题的关系．

四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题8分，第26题9分，共26分）

24．（9分）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．

（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；

（2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？

【分析】（1）设安排x辆大型车，则安排（30﹣x）辆中型车，根据30辆车调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各运输方案；

（2）根据总运费＝单辆车所需费用×租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．

【解答】解：（1）设安排x辆大型车，则安排（30﹣x）辆中型车，

依题意，得： ，

解得：18≤x≤20．

∵x为整数，

∴x＝18，19，20．

∴符合题意的运输方案有3种，方案1：安排18辆大型车，12辆中型车；方案2：安排19辆大型车，11辆中型车；方案3：安排20辆大型车，10辆中型车．

（2）方案1所需费用为：900×18+600×12＝23400（元），

方案2所需费用为：900×19+600×11＝23700（元），

方案3所需费用为：900×20+600×10＝24000（元）．

∵23400＜23700＜24000，

∴方案1安排18辆大型车，12辆中型车所需费用最低，最低费用是23400元．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

25．（8分）如图，在⊙O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AE⊥CD于点E．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若AE＝2，sin∠ADE＝ ，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OA，如图，利用△AOB的中位线得到CD∥OA．则可判断AO⊥AE，即可证得结论；

（2）连接OD，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，再在Rt△AED中利用正弦定义计算出AD＝3，接着证明∠OAD＝∠ADE．从而在Rt△OAD中有sin∠OAD＝ ，设OD＝2x，则OA＝3x，利用勾股定理可计算出AD＝ x，从而得到 x＝3，然后解方程求出x即可得到⊙O的半径长．

【解答】（1）证明：连接OA，如图，

∵点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，

∵DC∥OA，即EC∥OA，

∵AE⊥CD，

∴AE⊥AO，

∴AE是⊙O的切线；

（2）解：连接OD，如图，

∵AD＝CD，

∴OD⊥AB，

∴∠ODA＝90°，

在Rt△AED中，sin∠ADE＝ ＝ ，

∴AD＝3，

∵CD∥OA，

∴∠OAD＝∠ADE．

在Rt△OAD中，sin∠OAD＝ ，

设OD＝2x，则OA＝3x，

∴AD＝ ＝ x，

即 x＝3，解得x＝ ，

∴OA＝3x＝ ，

即⊙O的半径长为 ．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用以及解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键．

26．（9分）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表，图）：

血型统计表

血型	A	B	AB	O
人数	12	10	5	23

（1）本次随机抽取献血者人数为　50　人，图中m＝　20　；

（2）补全表中的数据；

（3）若这次活动中该校有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？

（4）现有4个自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．

【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；

（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；

（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数；

（4）画出树状图，根据概率公式即可得到结果．

【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%＝50（人），

所以m＝ ×100＝20；

故答案为50，20；

（2）O型献血的人数为46%×50＝23（人），

A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23＝12（人），

血型	A	B	AB	O
人数	12	10	5	23

故答案为12，23；

（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率＝ ＝ ，

1300× ＝312，

估计这1300人中大约有312人是A型血；

（4）画树状图如图所示，

所以P_{（两个O型）}＝ ＝ ．

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图．

五、（本大题共2小题，第27题10分，第28题12分，共22分）

27．（10分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝ ①

这是中国古代数学的瑰宝之一．

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝ （周长的一半），则S＝ ②

（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；

（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；

（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝ ，S为三角形面积，则S＝pr．

【分析】（1）由公式①得：S＝ ＝10 ，由②得：p＝ ＝10，S＝ ＝10 ；

（2）求出2p＝a+b+c，把①中根号内的式子可化为： （ab+ ）（ab﹣ ）＝ （a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）＝ ×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），即可得出结论；

（3）连接OA、OB、OC，S＝S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC，由三角形面积公式即可得出结论．

【解答】解：（1）由①得：S＝ ＝10 ，

由②得：p＝ ＝10，

S＝ ＝10 ；

（2）公式①和②等价；推导过程如下：

∵p＝ ，

∴2p＝a+b+c，

①中根号内的式子可化为：

（ab+ ）（ab﹣ ）

＝ （2ab+a²+b²﹣c²）（2ab﹣a²﹣b²+c²）

＝ [（a+b）²﹣c²][c²﹣（a﹣b）²]

＝ （a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）

＝ ×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）

＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），

∴ ＝ ；

（3）连接OA、OB、OC，如图所示：

S＝S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC＝ rc+ rb+ ra＝（ ）r＝pr．

【点评】本题考查了三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键．

28．（12分）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；

（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）

【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x²﹣6x+5），即可求解；

（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，即可求解；

（3）S_{四边形OEBF}＝OB×y_E＝5×y_E＝12，则y_E＝ ，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．

【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x²﹣6x+5），

则5a＝4，解得：a＝ ，

抛物线的表达式为：y＝ （x²﹣6x+5）＝ x²﹣ x+4，

函数的对称轴为：x＝3，

顶点坐标为（3，﹣ ）；

（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得： ，

解得： ，

直线BC的表达式为：y＝﹣ x+4，

当x＝3时，y＝ ，

故点P（3， ）；

（3）存在，理由：

四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，

则S_{四边形OEBF}＝OB×|y_E|＝5×|y_E|＝12，

点E在第四象限，故：则y_E＝﹣ ，

将该坐标代入二次函数表达式得：

y＝ （x²﹣6x+5）＝﹣ ，

解得：x＝2或4，

故点E的坐标为（2，﹣ ）或（4，﹣ ）．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（2），求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．

 

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