武威市2020年初中毕业、高中招生考试
数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列实数是无理数的是( )
A. -2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据无理数的定义(无理数是指无限不循环小数)判断即可．
【详解】解：-2是负整数，是分数，=3是整数，都是有理数.开方开不尽，是无理数.
故选:D.
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.若，则的补角的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据补角的定义即可得．
【详解】
的补角的度数是
故选：B．
【点睛】本题考查了补角的定义，熟记定义是解题关键．
3.若一个正方形的面积是12，则它的边长是( )
A. B. 3 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为a，
故a²=12，
∴a=±，又边长大于0
∴边长a=．
故选：A.
【点睛】本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题．
4.下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解．
【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往右边看，熟练三视图的概念即可求解.
5.下列各式中计算结果为的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，即可解答．
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B 不是同类项，不能合并，不符合题意；
C．=x6,符合题意；
D. =x10,不符合题意；
故选:C.
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法，解决本题的关键是熟记合并同类项，同底数幂的乘法、除法的法则．
6.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为( )
A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米
【答案】A
【解析】
【分析】
根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
7.已知是一元二次方程的一个根，则的值为( )
A. -1或2 B. -1 C. 2 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值
【详解】解：把x=1代入得：
=0，
，
解得：m1=2，m2=﹣1
∵是一元二次方程，
∴ ，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
8.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
如图(见解析)，先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
9.如图，是圆上一点，是直径，，，点在圆上且平分弧，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由是圆O的直径，可得∠A=∠D=90°，又在圆上且平分弧，则∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC长，从而可求DC的长.
【详解】解：∵是圆O的直径，
∴∠A=∠D=90°.
又在圆上且平分弧，
∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.
在Rt△ABC中，，，根据勾股定理，得BC==2.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CD==.
故选:D.
【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10.如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为( )
A. B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图(见解析)，先根据函数图象可知，再设正方形的边长为，从而可得，然后根据线段中点的定义可得，最后在中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案．
【详解】如图，连接AE
由函数图象可知，
设正方形ABCD的边长为，则
四边形ABCD是正方形
，
是的中点
则在，由勾股定理得：
因此有
解得
则
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出是解题关键．
二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分)
11.如果盈利100元记作+100元，那么亏损50元记作__________元．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正数与负数的意义即可得．
【详解】由正数与负数的意义得：亏损50元记作元
故答案为：．
【点睛】本题考查了正数与负数的意义，掌握理解正数与负数的意义是解题关键．
12.分解因式：__________
【答案】
【解析】
【分析】
提取公因式，即可得解.
【详解】
故答案为：.
【点睛】此题主要考查对分解因式的理解，熟练掌握，即可解题.
13.暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价．原价：_________元
【答案】200
【解析】
【分析】
设原价为x元，根据八折优惠，现价为160元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原价．
【详解】解：设原价为x元.
根据题意，得0.8x=160.
解得x=200.
∴原价为200元.
故答案为：200.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“现价=原价×折扣”，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．
14.要使分式有意义，则x应满足条件____．
【答案】x≠1．
【解析】
【分析】
当分式的分母不为零时，分式有意义，即x−1≠0．
【详解】当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1．
故答案为：x≠1．
【点睛】本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．
15.在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球(每个球除颜色外其余都与红球相同)，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有_____个．
【答案】17
【解析】
【分析】
根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，
∵假设有x个红球，
∴＝0.85，
解得：x＝17，
经检验x＝17是分式方程的解，
∴口袋中有红球约有17个．
故答案为：17．
【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
16.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为__________．
【答案】(7,0)
【解析】
【分析】
根据B点横坐标与A点横坐标之差和E点横坐标与D点横坐标之差相等即可求解．
【详解】解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为：，
由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与B、A两点横坐标之差相等，
设E点横坐标为a，
则a-6=1，∴a=7，
∴E点坐标为(7,0) ．
故答案为：(7,0) ．
【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键.
17.若一个扇形的圆心角为，面积为，则这个扇形的弧长为__________ (结果保留)
【答案】
【解析】
【分析】
先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得．
【详解】设扇形的半径为
则
解得或(不符题意，舍去)
则这个扇形的弧长为
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键．
18.已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】
当时，
当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
三、解答题(一)：本大题共5个小题,共26分．
19.计算：
【答案】．
【解析】
【分析】
先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键．
20.解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】-2x<3，解集在数轴上表示见解析.
【解析】
【分析】
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【详解】解：
解不等式①，得x<3.
解不等式②，得x-2.
所以原不等式组解集为-2x<3.
在数轴上表示如下：
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
21.如图，在中，是边上一点，且．
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点．
(2)连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．
【答案】(1)①作图见解析，②作图见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即可；
(2)根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明是的中位线，根据中位线的性质可得答案．
【详解】解：(1)如图，①即为所求作的的角平分线，
②过的垂线是所求作的线段的垂直平分线．
(2)如图，连接，
平分
由作图可知：
是的中位线，
【点睛】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
22.图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑(图②)最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：
| 课题 | 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 | |||
| 测量示意图 |  |
如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上． | ||
| 测量数据 | 的度数 | 的度数 | 的长度 | 仪器()的高度 |
| 5米 | 米 | |||
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度(结果保留一位小数)．(参考数据：，，，，，)
【答案】
【解析】
【分析】
如图，延长交于，设 利用锐角三角函数表示，再表示，再利用锐角三角函数列方程求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长交于，
由题意得：
设
由
由
经检验：符合题意，
“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为
【点睛】本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键．
23.2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一，截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙月牙泉景区：E：张掖七彩舟霞景区，张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．
(1)张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？
(2)若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从，，，四个景区中任选两个景区去旅游，求选，两个景区的概率(要求画树状图或列表求概率)．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
(1) 张帆一家共有5种可能的选择方式，由此即可出选择景区E的概率为；
(2) 画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选到A，D两个景区的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：(1)由题意可知：张帆一家共有5种可能的选择方式，
故选择张掖七彩丹霞景区的概率为，
故答案为．
(2)由题意知，画出树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中选到A，C两个景区的结果数为2，
∴所以选到A，C两个景区概率=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件的概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数m，然后利用概率公式计，即可求出事件A的概率．
四、解答题(二)：本大题共5个小题,共40分．
24.习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”，兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”，近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片，下图是根据兰州市环境保护局公布的2013-2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．
请结合统计图解答下列问题：
(1)2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了 天；
(2)这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天；
(3)求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；
(4)《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达80%以上，试计算2020年(共366天)兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．
【答案】(1)26;(2)254；(3)261；(4)293.
【解析】
【分析】
(1)用2019年全年空气质量优良天数减去2013年全年空气质量优良天数即可；
(2)把这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答；
(3)根据平均数的求解方法列式计算即可得解．
(4)用366乘以80%，即可解答．
【详解】解：(1)由折线图可知2019年全年空气质量优良天数为296，2013年全年空气质量优良天数为270，
296-270=26，
故2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26天；
故答案为：26.
(2)这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：213，233，250，254，270，296，313，
所以中位数是254；
故答案为：254；
(3)这七年的全年空气质量优良天数的平均数=261天；
(4)36680%=292.8(天).
所以2020年(共366天)兰州市空气质量优良天数至少需要293天才能达标.
【点睛】本题考查了折线统计图，要理解中位数的定义，以及算术平均数的求解方法，能够根据计算的数据进行综合分析，熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算是解题的关键．
25.通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：
| … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | |
| … | 6 | 3 | 2 | 1.5 | 1.2 | 1 | … |
(1)当 时，；
(2)根据表中数值描点，并画出函数图象；
(3)观察画出图象，写出这个函数的一条性质： ．
【答案】(1)3；(2)见解析；(3)函数图像与轴无限接近，但没有交点．
【解析】
【分析】
(1)观察列表即可得出答案；
(2)依照表格中的数据描出各个点，然后利用光滑的曲线连接各点即可；
(3)观察函数图像，写出一条符合函数图像的性质即可．
【详解】解：(1)通过观察表格发现：当时，，
故答案为：3；
(2)如下图：
(3)观察第(2)问中的图像可以得出一个结论：函数图像与轴无限接近，但没有交点；
【点睛】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象中读取相关的信息．
26.如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
(1)求的度数；
(2)若，求圆的半径．
【答案】(1)的度数为；(2)圆O的半径为2．
【解析】
【分析】
(1)如图(见解析)，设，先根据等腰三角形的性质得出，再根据圆的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得的度数，最后根据圆周角定理即可得；
(2)如图(见解析)，设圆O的半径为，先根据圆周角定理得出，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】(1)如图，连接OA
设
，
AE是圆O的切线
，即
在中，由三角形的内角和定理得：
即
解得
则由圆周角定理得：
故的度数为；
(2)如图，连接AD
设圆O的半径为，则
BD是圆O的直径
由(1)可知，
则在中，
在中，由勾股定理得：，即
解得或(不符题意，舍去)
则圆O的半径为2．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题(2)，通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键．
27.如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．
(1)求证：≌．
(2)若，，求正方形边长．
【答案】(1)证明见解析；(2)正方形的边长为6．
【解析】
【分析】
(1)先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
(2)设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】(1)由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在和中，
；
(2)设正方形的边长为x，则
由旋转的性质得：
由(1)已证：
又四边形ABCD是正方形
则在中，，即
解得或(不符题意，舍去)
故正方形的边长为6．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题(2)，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)若，求点的坐标；
(3)连接，求面积最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)；(2)(，)；(3)面积的最大值是8；点的坐标为(，)．
【解析】
【分析】
(1)由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
(2)由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
(3)先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为(，)，则点D为(，)，求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】解：(1)在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为(0，)，
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为(，0)，点B为(，0)，
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
(2)由题意，∵，点C为(0，)，
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为(，)；
(3)设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为(，)，则点D为(，)，
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为(，)．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．
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