参考答案
一、选择题：(共10个小题，每小题4分，共40分)本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上
1．的绝对值是
A． B．3 C． D．
解：的绝对值是：3．
故选：．
2．我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
解：．
故选：．
3．如图，直线，，则
A． B． C． D．
解：直线，
，
，
．
故选：．
4．一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是
A．9 B．10 C．11 D．12
解：这组数据的平均数为，
故选：．
5．已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长为
A．3 B．2 C．4 D．5
解：和的周长分别为30和15，
和的周长比为，
，
，即，
解得，，
故选：．
6．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是
A． B． C． D．
解：根据数轴可得：，，且，
则，，，．
故选：．
7．已知等边三角形一边上的高为，则它的边长为
A．2 B．3 C．4 D．
解：根据等边三角形：三线合一，
设它的边长为，可得：，
解得：，(舍去)，
故选：．
8．如图，在矩形中，，，动点沿折线从点开始运动到点，设点运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是
A． 
B． 
C． 
D． 
解：由题意当时，
，
当时，
．
故选：．
9．已知、、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于
A．7 B．7或6 C．6或 D．6
解：当或时，即，
方程为，
解得：，
当时，即△，
解得：，
综上所述，的值等于6或7，
故选：．
10．如图，正方形的边长为4，点在边上，，，点在射线上，且，过点作的平行线交的延长线于点，与相交于点，连接、、．下列结论：①的面积为；②的周长为8；③；其中正确的是
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
解：如图，在正方形中，，，，
，
，
，
，
．
，
．
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，，，
，
，故①正确；
过点作于，交于，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
同理：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
的周长为，故②正确；
，
，
，
，
，故③错误，
正确的有①②，
故选：．
二、填空题：(本题共8个小题，每小题4分，共32分)
11．因式分解： ．
解：原式．
故答案为：．
12．方程的解是 ．
解：方程，
移项得：，
解得：．
故答案为：．
13．已知点在反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
解：反比例函数的图象上一点的坐标为，
，
反比例函数解析式为，
故答案为：．
14．函数中，自变量的取值范围是 ．
解：
解得．
15．从，，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于 ．
解：画树状图如下
共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有和这2种结果，
该点在第三象限的概率等于，
故答案为：．
16．设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 7或17 ．
解：分两种情况：
①当在，之间时，如图：
与的距离是，与的距离是，
与的距离为．
②当在，同侧时，如图：
与的距离是，与的距离是，
与的距离为．
综上所述，与的距离为或．
故答案为：7或17．
17．如图，在矩形中，，将向内翻析，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ．
解：由折叠可得，，，，，，
，
，
又，，
△△，
，
，
△中，，
，
故答案为：．
18．观察下列等式：
；
；
；
；
已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，，，，若，则 (结果用含的代数式表示)．
解：，
．
故答案为：．
三、解答题：(本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程)
19．(1)计算：．
(2)先化简，再求值：，自选一个值代入求值．
解：(1)原式
；
(2)原式
，
当时，原式．
20．如图，，，．求证：．
【解答】证明：，
，
，
，
在和中，，
．
21．某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
(1)求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据)；
(2) 36 ， ；
(3)若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？
解：(1)该校参加这次问卷调查的学生有：(人，
选择篮球的学生有：(人，
补全的条形统计图如右图所示；
(2)，
，
故答案为：36，16；
(3)(人，
答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320人．
22．如图，一艘船由西向东航行，在处测得北偏东方向上有一座灯塔，再向东继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的周围内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
解：过点作，垂足为．如图所示：
根据题意可知，，
，
，
，
在中，，，，
，
，
这艘船继续向东航行安全．
四、(满分12分)
23．某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
(1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
(2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
解：(1)设每一个篮球的进价是元，则每一个排球的进价是元，依题意有
，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元；
(2)设文体商店计划购进篮球个，总利润元，则
，
依题意有，
解得且为整数，
为整数，
随的增大而增大，
时，最大，这时，
(个．
故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润，最大利润是5550元．
五、(满分12分)
24．如图，是的直径，为上一点，连接，于点，是直径延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【解答】(1)证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
(2)解：，
，
设，，
，，
，
，
，
．
六、(满分14分)
25．如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为，求关于的函数表达式(指出自变量的取值范围)和的最大值；
(3)点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标．
解：(1)将、代入，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
(2)过点作轴，交于点，如图1所示．
当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入，得：
，解得：，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，面积取最大值，最大值为．
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
．
(3)存在点、点使得，且与相似．
如图2，，当点位于点上方，过点作轴于点，
，，
，
若与相似，则与相似，
设，，
，，
当时，，
，
解得，，
，
此时，
，
当时，，
，
解得，
，，
此时．
如图3，当点位于点的下方，
过点作轴于点，
设，，
，，
同理可得：或，与相似，
解得或，
，或，
此时点坐标为或．
综合以上得，，或，，或，，或，，使得，且与相似．
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