荆州市2020年初中学业水平考试数学试题
一、选择题
1.有理数的相反数是( )
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由相反数的定义可得答案．
【详解】解：的相反数是
故选A．
【点睛】本题考查的是相反数的定义，及求一个数的相反数，掌握以上知识是解题的关键．
2.下列四个几何体中，俯视图与其他三个不同的是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何体俯视图的判断方法判断即可.
【详解】如图，棱锥的俯视图是三角形，圆柱、球的俯视图是都是圆,圆锥的俯视图是有圆心的圆，
故选：A.
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的判断方法是解答的关键.
3.在平面直角坐标系中，一次函数的图象是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可.
【详解】∵一次函数y=x+1，其中k=1，b=1
∴图象过一、二、三象限
故选：D.
【点睛】此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握，即可解题.
4.将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．
【详解】解：如图所示：
将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，
，，
，，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的翻折变换，，熟记平行线的性质是解题的关键．
5.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是( )
A. -=20 B. -=20 C. -= D. =
【答案】C
【解析】
【分析】
根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】由题意可得，
-=，
故选：C．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
6.若x为实数，在的“”中添上一种运算符号(在＋，－，×，÷中选择)后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意填上运算符计算即可．
【详解】A.,结果为有理数;
B. ,结果为有理数;
C.无论填上任何运算符结果都不为有理数;
D.,结果为有理数;
故选C．
【点睛】本题考查实数的运算,关键在于牢记运算法则．
7.如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①；②；③；④，只选其中一个添加，不能确定的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，
①添加，
，
②添加，，
，
，
③添加，
不能确定；
④添加，
，
故选：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
8.如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的值，再根据勾股定理可得的值，进而可得点的坐标．
【详解】解：如图，过A点作轴于D点，
的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为．
，
，
为的中点，
，
，
，
则点的坐标为：，．
故选：．
【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9.定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若(k为实数) 是关于x的方程，则它的根的情况是( )
A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】
将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.
【详解】解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
10.如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，
在Rt△BDC中，cos∠BDC=
由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC=
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握勾股定理的应用，圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
二、填空题
11.若，则a，b，c大小关系是_______．(用<号连接)
【答案】
【解析】
【分析】
分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，再比较大小即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，绝对值的运算，有理数的大小比较，掌握以上知识是解题的关键．
12.若单项式与是同类项，则的值是_______________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得．
【详解】由同类项的定义得：
解得
则
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键．
13.已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．
【答案】线段的垂直平分线的性质
【解析】
【分析】
利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．
【详解】解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．考查线段的垂直平分线的性质，确定圆的条件，掌握作图的原理是解题的关键．
14.若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只(摘B先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
画树状图得出所有的结果有3种，再找出最后一只摘到B的结果数为2，由概率公式即可得出答案．
【详解】解：依题意，画树状图如图：
共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，
∴最后一只摘到B的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．画出树状图是解题的关键．
15.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的，其中，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了_______km．
【答案】24
【解析】
【分析】
过点作，设，则，，在中，根据勾股定理得到，进一步求得，再根据三角函数可求，可得，，，从而求解．
【详解】解：过点作，
设，
∵，
∴，，
在中，，
，
地在正中位置，
，
又∵，
，
∴，
∴，
小张某天沿路线跑一圈，他跑了．
故答案为：24．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16.我们约定：为函数关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数)，则这个函数图象上整交点的坐标为____________．
【答案】或或
【解析】
【分析】
将关联数为代入函数得到：，由题意将y=0和x=0代入即可．
【详解】解：将关联数为代入函数得到：
，
∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数)，
∴y=0，即，
因式分解得，
又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，
即
∴m=1，
∴，
与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，
即坐标为或，
与y轴交点即x=0解得y=2，
即坐标为，
∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；
故答案为：或或．
【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．
三、解答题
17.先化简，再求值：其中a是不等式组的最小整数解；
【答案】，
【解析】
【分析】
先利用分式的混合运算法则化简分式，再解不等式组的解集求出最小整数解，代入即可解之．
【详解】解：原式=，
解不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴a的最小值为2
∴原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值、解一元一次不等式组的解集，熟练掌握分式的混合运算法则，会求一元一次不等式组的整数解是解答的关键．
18.阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程(提示：可以用换元法解方程)，
解：设，则有，
原方程可化为：，
续解：
【答案】，．
【解析】
【分析】
利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解．
【详解】续解：，
，
解得，(不合题意，舍去)，
，
，，
，
经检验都是方程的解．
【点睛】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．
19.如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
(1)求证：；
(2)若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．
(2)利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
【详解】(1)证明：由旋转性质得：
是等边三角形
所以
∴；
(2)依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键．
20.6月26日是“国际禁毒日”某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩(满分为100分)，收集数据为：七年级90，95，95，80，85，90，85，90，85，100；八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90；
整理数据：
分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
(1)请直接写出表格中的值
(2)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；
(3)该校七八年级共600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”估计这两个年级共多少名学生达到“优秀”？
【答案】(1)；(2)八年级成绩较好，理由见解析；(3)390人
【解析】
【分析】
(1)通过八年级抽取人数10人，即可得到a，根据中位数、平均数、众数的定义得到b、c、d；
(2)由于中位数和众数相同，通过分析平均数和方差即可得到答案；
(3)根据抽取的人中，不低于90分的比例即可得到两个年级共多少名学生达到“优秀”．
【详解】解：(1)，
七年级成绩按从小到大顺序排列为80，85，85，85，90，90，90，95，95，100，
∴中位数，
，
八年级成绩90出现次数最多，因此众数，
∴；
(2)七八年级成绩的众数和中位数相同，但是八年级的平均成绩比七年级的高，且从方差看，八年级的成绩更稳定，综上八年级成绩较好．
(3)七年级抽取的10人中，不低于90分的有6人，
八年级抽取的10人中，不低于90分的有7人，
(人)
所以两个年级共390名学生达到“优秀”．
【点睛】本题考查了中位数、众数、方差、平均数，以及样本估计总体，审清题中数据并了解基本的定义是解题的关键．
21.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图像，如图1
①列表；下表是x与y的几组对应值，其中；
②描点：根据表中各组对应值(x，y)在平面直角坐标系中描出了各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；
(2)通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________；
(3)①观察发现：如图2，若直线y=2交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于点C，则；
②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则；
③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则；
【答案】(1)①1，②见解析，③见解析；(2)①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；(3)①4，②4，③2k
【解析】
【分析】
(1)根据表格中的数据的变化规律得出当时，，而当时，，求出的值；补全图象；
(2)根据(1)中的图象，得出两条图象的性质；
(3)由图象的对称性，和四边形的面积与的关系，得出答案．
【详解】解：(1)当时，，而当时，，
，
故答案：1；补全图象如图所示：
(2)根据(1)中的图象可得：①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
(3)如图，
①由，两点关于轴对称，由题意可得四边形是平行四边形，且，
②同①可知：，
③，
故答案为：4，4，．
【点睛】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
22.如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时．
(1)求证：
(2)求AD的长；
(3)求的值．
【答案】(1)见解析；(2)12；(3)
【解析】
【分析】
(1)由矩形的性质得出∠B=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，证得∠EGC=∠GFH，则可得出结论；
(2)由面积关系可得出GH：AH=2：3，由折叠的性质得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，则可得出答案；
(3)由勾股定理求出DG=16，设DF=FH=x，则GF=16-x，由勾股定理得出方程，解出x=6，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】(1)证明：因为四边形ABCD是矩形
所以
，
(2)解：
(3)解：在直角三角形ADG中，
由折叠对称性知，
解得：x=6，
所以：HF=6
在直角三角形GHF中，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23.为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：(单位：吨)
(1)求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？
(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
(3)当每吨运费降低m元，(且m为整数)，按(2)中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值．
【答案】(1)200吨，300吨；(2)，甲厂200吨全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；(3)10．
【解析】
【分析】
(1)设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；
(2)根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
(3)根据题意以及(2)结论可得y=-4x+11000-500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．
【详解】解：(1)设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨；
则
解得：
答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
(2)如图，甲、乙两厂调往两地的数量如下：
当x=240时运费最小
所以总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨．
(3)由(2)知：
当x=240时， ，
所以m的最小值为10．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解．
24.如图1，在平面直角坐标系中，，以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO的延长线于C，连接AB，BC，过O作ED//BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．
(1)求证：BC是半圆O的切线；
(2)试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；
(3)如图2，若抛物线经过点D，且顶点为E，求此抛物线的解析式；点P 是此抛物线对称轴上的一动点，以E，D，P为顶点的三角形与相似，问抛物线上是否存在点Q，使得，若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)平行四边形，见解析；(3)抛物线的解析式为，存在，Q点的横坐标为或或或
【解析】
【分析】
(1)证得OE是△ABC的中位线，求得点E的坐标，分别求得AB、AC、BC的长，利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，从而证明结论；
(2)求得BC=OD=OA=，利用平行四边形的判定定理可证得OBCD是平行四边形；
(3)证明Rt△ODNRt△OEM，求得点D的坐标，利用待定系数法可求得此抛物线的解析式；分△PED△OAB和△DEP△OAB两种情况讨论，利用相似三角形的性质求得PE的长，再根据三角形的面积公式即可求得Q点的横坐标．
【详解】(1)如图1，
设AB与y轴交于点M，则AM=2，OM=1，AB=5，
则OA=OC，
∵OE∥BC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AE=AB=，BC=2EO，
∴点E的坐标为(，)，ME=，OM=1，
∴OE=，
∴BC=2OE=，
∵，
是直角三角形，
即，
所以BC是半圆的O的切线；
(2)四边形OBCD是平行四边形，
由图知： BC=OD=OA=，
∵OD∥BC，
∴四边形OBCD是平行四边形；
(3)①由(2)知：OD=OA=，
E为AB的中点，过点D作轴，则DN//ME，
∴Rt△ODNRt△OEM，
∴，
∴，
∴，，
∴点D的坐标为(，)，
∵抛物线经过点D(，)，且顶点为E(，)，
∴设此抛物线的解析式为，
则
∴，
∴此抛物线的解析式为，
即，
如图，设抛物线对称轴交AC于F，
由(1)知：∠AOE=∠ACB=90，∠AEF=90，
∴∠OEF+∠AEO=90，∠A+∠AEO=90，
∴∠OEF=∠A，
∵以E，D，P为顶点的三角形与相似，
∴分△PED△OAB和△DEP△OAB两种情况讨论，
当△PED△OAB时，ED=OE+OD=
，即，
∴，
∵，
设点Q到PE的距离为h，
∴，即，
∴，
∴点Q的横坐标为或；
当△DEP△OAB时，ED=OE+OD=
，即，
∴，
∵，
设点Q到PE的距离为，
∴，即，
∴，
∴点Q的横坐标为或；
∴符合条件的Q点的横坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用．
评论0