湖南省怀化市2020年中考数学真题
一、选择题(每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上)
1.下列数中，是无理数的是( )
A. B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式求解即可．
【详解】解：-3，0，是有理数，是无理数．
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项，进而可得答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，所以本选项计算错误，不符合题意；
B、，所以本选项计算正确，符合题意；
C、，所以本选项计算错误，不符合题意；
D、，所以本选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法和乘法以及积的乘方等运算法则，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是关键．
3.《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数。本题小数点往左移动到的后面，所以
【详解】解：万
故选
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4. 若一个多边形内角和为1080°，则这个多边形的边数为【 】
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
多边形内角和定理．
【分析】设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°(n﹣2)，即可得方程180(n﹣2)=1080，
解此方程即可求得答案：n=8．故选C．
5.如图，已知直线，被直线所截，且，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据对顶角相等可得∠1的度数，再根据平行线的性质可得的度数．
【详解】解：∵＝40°，
∴∠1＝＝40°，
∵a∥b，
∴＝∠1＝40°，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了对顶角相等和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
6.小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的( )
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，结合该公司所有员工工资的情况，从统计量的角度分析可得答案．
【详解】解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全面的了解中间员工的工资水平， 故最应该关注的数据是中位数，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的含义，以及在实际情境中统计意义，掌握以上知识是解题的关键．
7.在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为( )
A. 3 B. C. 2 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．
【详解】∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED，
∴DE=BE=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
8.已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得方程的判别式△=0，进而可得关于k的方程，解方程即得答案．
【详解】解：由题意，得：，解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键．
9.在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
分析】
根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面积.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，对角线、相交于点，
∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD，
∴,
∴矩形的面积为,
故选：C
【点睛】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的；面积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键.
10.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为( )
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
观察图像得到两个交点的横坐标，再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段，从而可得答案．
【详解】解：由图像可得：两个交点的横坐标分别是：
所以：当时，
，
故选D．
【点睛】本题考查的是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式，掌握数型结合的方法是解题的关键．
二、填空题(请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)
11.代数式有意义，则x的取值范围是__．
【答案】x＞1
【解析】
【分析】
根据被开方式大于零列式解答即可.
【详解】解：由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为x＞1．
【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.若因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】
应用提取公因式法，公因式x，再运用平方差公式，即可得解.
【详解】解：
【点睛】此题主要考查运用提公因式进行因式分解，平方差公式的运用，熟练掌握即可解题.
13.某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为_________分．
【答案】72
【解析】
【分析】
根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．
【详解】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为(分)
故答案为：72．
【点睛】本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键．
14.如图，在和中，，，，则________º．
【答案】130
【解析】
【分析】
证明△ABC≌△ADC即可．
【详解】∵，，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠D=∠B=130°，
故答案为：130．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．
15.如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是________(结果保留)．
【答案】24π cm²
【解析】
【分析】
根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是4÷2=2cm，高是6cm，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：2π×2=4π(cm)，
∴这个圆柱的侧面积是4π×6=24π(cm²)．
故答案为：24π cm²．
【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．
16.如图，，，，…，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，…，都在反比例函数的图象上，点，，，…，，都在轴上，则的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
【详解】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC=60°，
∴，B1C= OC，
设OC的长度为x，则B1的坐标为()，代入函数关系式可得：，
解得，x=1或x=-1(舍去)，
∴OA1=2OC=2，
∴A1(2，0)
设A1D的长度为y，同理，B2D为y，B2的坐标表示为，
代入函数关系式可得，
解得：y=或y=(舍去)
∴A1D=，A1A2=，OA2=
∴A2(，0)
设A2E的长度为z，同理，B3E为z，B3的坐标表示为，
代入函数关系式可得，
解得：z=或z=(舍去)
∴A2E=，A2A3=，OA3=
∴A3(，0)，
综上可得：An(，0)，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形类规律探索、反比例函数的性质、等边三角形的性质、求解一元二次方程和解直角三角形，灵活运用各类知识求出A1、A2、A3的坐标是解题的关键．
三、解答题
17.计算：
【答案】
【解析】
【分析】
按照公式、特殊角的三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号进行运算，最后计算加减即可．
【详解】解：原式=
.
故答案为
【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂、负指数幂公式、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质等．
18.先化简，再求值：，然后从，0，1中选择适当的数代入求值．
【答案】，1．
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入求值即可．
【详解】原式
．
∵x+1≠0且x-1≠0且x+2≠0，
∴x≠-1且x≠1且x≠-2，
当时，分母不为0，代入：
原式．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，注意运算顺序为：先算乘除，再算加减，有括号先算括号内的；另外本题选择合适的数时要注意选择的数不能使分母为0．
19.为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
(1)本次被抽查的学生共有_____________名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为___________度；
(2)请你将条形统计图补全；
(3)若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
(4)本次调查中抽中了七(1)班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
【答案】(1)50，72；(2)见解析；(3)96名；(4)．
【解析】
【分析】
(1)用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统计图中A类的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中A类所占扇形的圆心角的度数；
(2)用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图；
(3)用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；
(4)先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：(1)本次被抽查的学生共有：20÷40%=50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；
故答案为：50，72；
(2)B类人数是：50－10－8－20=12名，补全条形统计图如图所示：
(3)名，
答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；
(4)所有可能的情况如下表所示：
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率．
【点睛】本题是统计与概率类综合题，主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
20.如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．(已知：，结果保留整数)
【答案】27米
【解析】
【分析】
设CB=CD=x，根据tan30°=即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，AB=20，∠DAB=30°，∠C=90°，∠DBC=45°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴设CB=CD=x，
tan30°==，
解得x=10+10≈10×1.732+10=27.32≈27，
∴CD=27，
答：CD的高度为27米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，构造直角三角形是解题关键．
21.定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
(1)下面四边形是垂等四边形的是____________(填序号)
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
(2)图形判定：如图1，在四边形中，∥，，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且，证明：四边形是垂等四边形．
(3)由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径．
【答案】(1)④；(2)证明过程见解析；③4
【解析】
【分析】
(1)根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；
(2)根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；
(3)过点O作，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理即可得到答案．
【详解】(1)①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形对角线相等但不垂直；③菱形的对角线互相垂直但不相等；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
(2)∵，，
∴AC∥DE，
又∵∥，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
又∵，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=DE，
∴BD=AC，
∴四边形是垂等四边形．
(3)如图，过点O作，
∵四边形是垂等四边形，
∴AC=BD，
又∵垂等四边形的面积是24，,根据垂等四边形的面积计算方法得：
，
又∵，
∴，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD=r，DE=，
∴，
∴的半径为4．
【点睛】本题主要考查了四边形性质与圆的垂径定理应用，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的关键．
22.某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
(1)设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
(2)若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【答案】(1)y=-100x+10000；(2)共有四种采购方案：①甲型电脑12台，乙型电脑8台，②甲型电脑13台，乙型电脑7台，③甲型电脑14台,乙型电脑6台，④甲型电脑15台，乙型电脑5台，采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【解析】
【分析】
(1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
(2)根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由(1)的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x=12代入函数解析式求出结果即可.
【详解】(1)由题意得：y=(2000-1600)x+(3000-2500)(20-x)=-100x+10000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y=-100x+10000；
(2)由题意得： ，
解得，
∵x为正整数，
∴x=12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑12台，乙型电脑8台，
②甲型电脑13台，乙型电脑7台，
③甲型电脑14台,乙型电脑6台，
④甲型电脑15台，乙型电脑5台，
∵y=-100x+10000，且-100<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y有最大值，
即x=12时，y最大值=，
∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键.
23.如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且．
(1)求证：是⊙O的切线．
(2)分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【解析】
【分析】
(1)连接OC，∠CAD=∠D=30°，由OC=OA，进而得到∠OCA=∠CAD=30°，由三角形外角定理得到∠COD=∠A+∠OCA=60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD=90°即可证明；
(2)证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE=CG，CF=CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．
【详解】解：(1)连接OC，如下图所示：
∵CA=CD，且∠D=30°，
∴ ∠CAD=∠D=30°，
∵ OA=OC，
∴ ∠CAD=∠ACO=30°，
∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°，
∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°，
∴ OC⊥CD，
∴ CD是⊙O的切线．
(2)连接BC，如下图所示：
∵∠COB=60°，且OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，∠CBG=60°，
又CG⊥AD，∴∠CGB=90°，
∴∠GCB=∠CGB-∠CBG=30°，
又∠GCD=60°，
∴CB是∠GCD的角平分线，且BF⊥CD，BG⊥CG，
∴BF=BG，
又BC=BC，
∴△BCG≌△BCF，
∴CF=CG.
∵∠D=30°，AE⊥ED，∠E=90°，
∴∠EAD=60°，
又∠CAD=30°，
∴AC是∠EAG角平分线，且CE⊥AE，CG⊥AB
∴CE=CG，
∵∠E=∠BFC=90°，∠EAC=30°=∠BCF，
∴△AEC∽△CFB，
∴，即，
又，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等，属于中考常考题型，熟练掌握切线性质、角平分线性质是解决此题的关键.
24.如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
(1)求点C及顶点M的坐标．
(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接求面积的最大值及此时点N的坐标．
(3)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
(4)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (0,-3)，(1,-4)；(2) ，()；(3) G点坐标存在，为(2，-3)或(4，5)或(-2，1)；(4) P点坐标存在，为或．
【解析】
【分析】
(1)令抛物线解析式中x=0即可求出C点坐标，由公式即可求出顶点M坐标；
(2)如下图所示，过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N()，求出BC解析式，进而得到Q点坐标，最后根据即可求解；
(3)设D点坐标为(1,t)，G点坐标为()，然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；
(4)连接AC，由CE=CB可知∠B=∠E，求出MC的解析式，设P(x,-x-3)，然后根据△PEO相似△ABC，分成和讨论即可求解.
【详解】解：(1)令中x=0，此时y=-3，故C点坐标为(0,-3)，
又二次函数的顶点坐标为，代入数据解得M点坐标为，
故答案为：C点坐标为(0，-3)， M点坐标为(1，-4)；
(2) 过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如下图所示：
令中y=0，解得B(3,0)，A(-1,0)，
设直线BC的解析式为：，代入C(0,-3)，B(3,0)，
∴，解得，即直线BC的解析式为：，
设N点坐标为()，故Q点坐标为，其中，
则
，其中分别表示Q,C,B三点的横坐标，
且，，
故，其中，
当时，有最大值为，
此时N的坐标为()，
故答案为：有最大值为，N的坐标为()；
(3) 设D点坐标为(1,t)，G点坐标为()，且B(3,0)，C(0,-3)
分类讨论：
情况①：当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：
线段DG的中点坐标为，即，
线段BC的中点坐标为，即，
此时DG的中点与BC的中点为同一个点，
故，解得，
检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为(2，-3)；
情况②：当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：
线段DB的中点坐标为，即，
线段GC的中点坐标为，即，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
故，解得，
检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为(4，5)；
情况③：当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：
线段DC的中点坐标为，即，
线段GB的中点坐标为，即，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
故，解得，
检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为(-2，1)；
综上所述，G点坐标存在，为(2，-3)或(4，5)或(-2，1)；
(4) 连接AC，OP，如下图所示，
设MC的解析式为：y=kx+m，代入C(0,-3)，M(1，-4)
即，解得
∴MC的解析式为：，令，求得E点坐标为(-3,0)，
∴OE=OB=3，且OC=OC，
∴CE=CB，即∠B=∠E，
设P(x,-x-3)，又∵P点在线段EC上，∴-3<x<0，
则，，
由题意知：△PEO相似△ABC，
分类讨论：
情况①：
∴，解得，满足-3<x<0，此时P的坐标为；
情况②：
∴，解得，满足-3<x<0，此时P的坐标为．
综上所述，P点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、平行四边形的存在性问题、相似三角形的性质和判定等，综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题.
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