湖南省张家界市2020年中考数学
一、选择题
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据倒数的定义解答即可．
【详解】解：∵×2020=1，
∴的倒数是2020．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：
故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可
【详解】解：A、，故原式错误；
B、，故原式错误；
C、，故原式错误；
D、，故原式正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4.下列采用的调查方式中，不合适的是( )
A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查．
B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查．
C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查．
D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
【详解】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，
了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，
了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，
了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，
故选B．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5.如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：，
∴列出方程：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【详解】解：x2－6x+8=0
(x－4)(x－2)=0
解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
8.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则的面积为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
【详解】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，
∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
连接OA、OB，如下图所示：
则
．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论．
二、填空题
9.因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据公式法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握公式法并灵活应用是解题的关键．
10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为___________元．
【答案】2.11×108
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
【详解】211000000的小数点向左移动8位得到2.11，
所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，
故答案为：2.11×108．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.如图，的一边为平面镜，，一束光线(与水平线平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度．
【答案】76°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．
【详解】解：∵DC∥OB，
∴∠ADC=∠AOB=38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，
∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，
故答案为：76°．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．
12.新学期开学，刚刚组建的七年级(1)班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．
【详解】全班共有学生30+24=54(人)，
其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=．
13.如图，正方形的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点B落在对角线上，则阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】
如下图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC=，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x，则EP=BP=，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．
【详解】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP,如下图所示，
∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB=CN=EC=，
又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴△PEC≌△PBC(HL)，
∴PB=PE，
又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP=x，则EP=BP=，
∵MP+BP=MB，
∴，解得，
∴BP=，
∴阴影部分的面积=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长.
14.观察下面的变化规律：
，……
根据上面的规律计算：
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
【详解】由题干信息可抽象出一般规律：(均为奇数，且)．
故．
故答案：．
【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．
三、解答题
15.计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．
详解】
【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．
16.如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点．
(1)求证：；
(2)若，连接，求四边形的周长．
【答案】(1)证明过程见解析；(2)25
【解析】
【分析】
(1)根据矩形的性质可得，，，即可证的两个三角形全等；
(2)设，根据已知条件可得，由(1)可推得,可得ED=EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；
【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在△DOE和△BOF中，
，
∴．
(2)由(1)可得，，，
∴四边形BFDE是平行四边形，
在△EBO和△EDO中，
，
∴，
∴，
∴四边形BFDE是菱形，
根据，设，可得，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴四边形的周长=．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．
17.先化简，再求值：，其中．
【答案】，1．
【解析】
【分析】
括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．
【详解】
=
=
=
=，
当时，原式==1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了二次根式的运算，分式的约分，分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩(成绩取整数)分为“A：69分及以下，B：70~79分，C：80~89分，D：90~100分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图：
D组成绩的具体情况是：
| 分数(分) | 93 | 95 | 97 | 98 | 99 |
| 人数(人) | 2 | 3 | 5 | 2 | 1 |
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)D组成绩的中位数是_________分；
(3)假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上(含80分)为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？
【答案】(1)见解析；(2)97；(3)690人．
【解析】
【分析】
(1)用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；
(2)D组共有13人，把数据按照从小到大(从大到小)的顺序排列，找到中间第七个数据即可；
(3)用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．
【详解】解：(1)∵随机抽取40名学生，根据条形统计图可以得出：A为5人，B为12人，D为13人，
∴C的人数为：，
补全条形统计图如下图：
(2)D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列：
93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99
第七个数据为中位数，是97，
故答案为：97；
(3)80分以上的是C、D两组，共有10+13=23人，所占的比列为：23÷40=0.575
所以1200名学生中80分以上的人数有：1200×0.575=690(人)，
故答案为：690人．
【点睛】本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．
19.今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．
【答案】第一批购进的消毒液的单价为10元．
【解析】
【分析】
设第一批购进的消毒液的单价为x元，根据两次购买到的数量相等可列出方程求解．
【详解】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，
根据题意可得：，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
答：第一批购进的消毒液的单价为10元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题中等量关系列出方程，分式方程要记得验根．
20.阅读下面材料：
对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．
根据上面的材料回答下列问题：
(1)______；
(2)当时，求x的取值范围．
【答案】(1)﹣1 ；(2)x≥
【解析】
【分析】
(1)比较大小，即可得出答案；
(2)根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围．
【详解】解：(1)由题意得﹣1
故答案为：﹣1；
(2)由题意得：
3(2x－3)≥2(x+2)
6x－9≥2x+4
4x≥13
X≥
∴x的取值范围为x≥．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为，继续飞行到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为，已知“南天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？(参考数据：，，)
【答案】安全
【解析】
【分析】
设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．
【详解】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD=，
∴AD=．
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=，
∴BD=．
∵AD-BD=AB，
∴-=9×6，
∴x=162，
∵162>150，
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
22.如图，在中，，以为直径作，过点C作直线交的延长线于点D，使．
(1)求证：为的切线；
(2)若平分，且分别交于点，当时，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)EF=．
【解析】
【分析】
(1)如图，连接OC，欲证明CD是的切线，只需求得∠OCD=；
(2)由角平分线及三角形外角性质可得，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF长．
【详解】 
(1)证明：如图，连接OC
∵为的直径
∴，即∠A+∠ABC=
又∵OC=OB
∴∠ABC=∠OCB
∵
∴∠BCD+∠OCB=，即∠OCD=
∵OC是圆O的半径
∴CD是的切线．
(2)解：∵平分
∴∠CDE=∠ADE
又∵
∴，即∠CEF=∠CFE
∵∠ACB=，
∴CE=CF=2
∴EF=
【点睛】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．
23.如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
(3)在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)的为直角三角形，理由见解析；(3)存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1()，M2(，)．
【解析】
【分析】
(1)先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
(2)先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
(3)作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【详解】解：(1)∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为(0,5)
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为(5,0)
∴解得
∴该抛物线的解析式为
(2)的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A(1,0)，B(5,0)
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为(5,0), B的坐标为(5,0)
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
(3)如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N(3，2)
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为()
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为()；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2(a，-a+5)
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为(，)．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1()，M2(，)．
【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
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