2020年各科中考真题2020年江苏省扬州市中考数学试题（教师版含解析）

扬州市2020年初中毕业、升学统一考试数学试题

说明：

1．本试卷共6页，包含选择题(第1题~第8题，共8题)、非选择题(第9题~第28题，共20题)两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号．

3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答、非选择题在指定位置用0．5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．

4．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

一、选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)

1.实数3的相反数是( )

A. B. C. 3 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据相反数的定义判断即可．

【详解】3的相反数是﹣3．

故选A．

【点睛】本题考查相反数的定义，关键在于牢记相反数基础知识．

2.下列各式中，计算结果为的是( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘方和除法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则即可求解．

【详解】A．，不符合题意

B．，不符合题意

C．，不符合题意

D．，符合题意

故选：D

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母部分保持不变．

3.在平面直角坐标系中，点所在的象限是( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．

【详解】∵x²＋2＞0，

∴点P(x²＋2，−3)所在的象限是第四象限．

故选：D．

【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．

4.“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的定义逐项判断即得答案．

【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；

D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，属于基础概念题型，熟知轴对称图形的概念是解题关键．

5.某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如下尚不完整的调查问卷：

调查问卷 ________年________月________日 你平时最喜欢的一种体育运动项目是( )(单选) A． B． C． D．其他运动项目

准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是( )

A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ②④⑤

【答案】C

【解析】

【分析】

在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中找到三个互不包含，互不交叉的项目即可．

【详解】解：∵①室外体育运动，包含了②篮球和③足球，

⑤球类运动，包含了②篮球和③足球，

∴只有选择②③④，调查问卷的选项之间才没有交叉重合，

故选：C．

【点睛】本题考查收集调查数据的过程与方法，理解题意，准确掌握收集数据的方法是解题的关键．

6.如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为( )

A. 100米 B. 80米 C. 60米 D. 40米

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．

【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，

∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，

∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．

故选：B．

【点睛】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关键．

7.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．

【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，

∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，

∴在Rt△ACB中，AB=

根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，

∴=，

故选A．

【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．

8.小明同学利用计算机软件绘制函数(a、b为常数)的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足( )

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图像过二、四象限可判断a的取值，根据x在负半轴的图像，可判断b的取值．

【详解】∵图像过二、四象限

∴a＜0，

∵x在负半轴时，图像不连续

∴b＜0

故选D．

【点睛】此题主要考查函数图像的综合判断，解题的关键是熟知函数图像与变量之间的关系．

二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)

9.2020年6月23日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据6500000用科学记数法表示为________．

【答案】6.5×10⁶

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】解：6500000用科学记数法表示应为：6.5×10⁶，
故答案为：6.5×10⁶．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

10.分解因式：______．

【答案】

【解析】

【分析】

先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．

【详解】原式=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．

11.代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据二次根式的非负性计算即可得到结果．

【详解】由题可得：，

即，

解得：．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，准确理解非负性的含义是解题的关键．

12.方程的根是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用直接开平方法解方程.

【详解】解：

，

∴，

故答案为：.

【点睛】此题考查一元二次方程的解法：直接开平方法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.

13.圆锥底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为________．

【答案】4

【解析】

【分析】

根据圆锥的底面半径可以求出底面周长即为展开后的弧长,侧面积即为展开后扇形的面积,再根据扇形的面积公式求出扇形的半径即为圆锥的母线．

【详解】∵底面半径为3,

∴底面周长=2×3π=6π．

∴圆锥的母线=．

故答案为:4．

【点睛】本题考查圆锥与扇形的结合,关键在于理解圆锥周长是扇形弧长,圆锥母线是扇形半径．

14.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．

【答案】

【解析】

【分析】

竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10-x)尺，利用勾股定理解题即可．

【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10-x)尺，
根据勾股定理得：x²+3²=(10-x)²，

解得：；

故答案为：．

【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．

15.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码(绿码)示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________．

【答案】24

【解析】

【分析】

求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可；

【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm，

∴正方形二维码的面积为，

∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，

∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%，

∴黑色部分的面积约为：，

故答案为．

【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键．

16.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长________cm．

【答案】

【解析】

【分析】

根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．

【详解】解：如图：作BD⊥AC于D

由正六边形，得
∠ABC=120°，AB=BC=a，
∠BCD=∠BAC=30°．
由AC=3，得CD=．
cos∠BCD==，即，
解得a=，
故答案为：．

【点睛】本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数．

17.如图，在中，按以下步骤作图：

①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．

②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F．

③作射线BF交AC于点G．

如果，，的面积为18，则的面积为________．

【答案】

【解析】

【分析】

由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GH⊥BC,GM⊥AB，可得GM=GH

,然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得GH，最后运用三角形的面积公式解答即可．

【详解】解：由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线

过G作GH⊥BC,GM⊥AB

∴GM=GH

∵S_△ABC=S_△ABG+ S_△BCG=18

∴,

∵，，

∴,解得：GH=

∴的面积为．

故答案为．

【点睛】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．

18.如图，在中，，，，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造，连接EG，则EG的最小值为________．

【答案】9．

【解析】

【分析】

连接FC，作DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，进一步得出DM=，EO=，过C作CH⊥AB于H，可求出CH=，根据题意，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，故可得EN=CH=，代入EO=求出EO即可得到结论．

【详解】解：连接FC，交EG于点O，过点D作DM//FC，交EG于点M，如图所示，

∵

∴

∵DM//FC，

∴△DEM∽△FEO，

∴，

∵DM//FC，

∴△DMN∽△CON，

∴,

∵四边形ECGF是平行四边形，

∴CO=FO，

∴

∴,

∴,

过点C作CH⊥AB于点H，

在Rt△CBH，∠B=60︒，BC=8，

∴CH=BCsin60︒=4，

根据题意得，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，

∴EN=CH=4，

∴EO=,

∴EG=2EO=9．

故答案为：9．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

三、解答题(本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

19.计算或化简：

(1)

(2)

【答案】(1)；(2)1

【解析】

【分析】

(1)先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算法则对各项进行化简计算，再进行加减计算即可；

(2)先将除法变为乘法，根据分式的乘法运算法则进行计算即可．

【详解】解：(1)

(2)

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算和分式的混合运算，解题的关键是要熟练掌握运算法则．

20.解不等式组，并写出它的最大负整数解．

【答案】不等式组的解集为x≤−5；最大负整数解为-5

【解析】

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案．

【详解】解不等式x＋5≤0，得x≤−5，

解不等式，得：x≤−3，

则不等式组的解集为x≤−5，

所以不等式组最大负整数解为−5．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21.扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)本次调查的样本容量是________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为________；

(2)补全条形统计图；

(3)学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．

【答案】(1)500；108；(2)见解析；(3)估计该校需要培训的学生人数为200人

【解析】

【分析】

(1)根据条形统计图中A项为150人，扇形统计图中A项为30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算360°的30%即360°×30%即可；

(2)根据扇形统计图中B选项占40%，求出条形统计图中B选项的人数，补全条形统计图即可；

(3)抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为×100%，由此估计2000名学生所占的百分比也为×100%，进而求出该校需要培训的学生人数．

【详解】解：(1)150÷30%=500(人)，

360°×30%=108°，

故答案为：500；108；

(2)500×40%=200(人)，补全条形统计图如下：

(3)×100%×2000=200(人)

∴估计该校需要培训的学生人数为200人．

【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体等知识，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的之间的关系是解题的关键．

22.防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．

(1)小明从A测温通道通过的概率是________；

(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．

【答案】(1) ;(2) ．

【解析】

【分析】

(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是．

(2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可．

【详解】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是，

故答案为：．

(2)由题意画出树状图：

由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率=．

【点睛】本题考查概率计算和树状图的画法，关键在于理解题意，由图得出相关概率．

23.如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．

商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：

李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高．

王师傅：甲商品比乙商品的数量多件．

请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．

【答案】每件元，进货单见解析．

【解析】

【分析】

设乙的进价每件为元，分别表示乙的数量，甲的数量，利用数量关系列方程解方程即可．

【详解】解：设乙的进价每件为元，乙的数量为件，

则甲的进价为每件元，甲的数量为件，所以：

 

 

，

经检验：是原方程的根，

 

所以：乙商品的进价为每件元．

所以：进货单如下：

商品	进价(元/件)	数量(件)	总金额
甲
乙

【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握列分式方程解应用题是解题的关键．

24.如图，的对角线AC，BD相交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE．

(1)若，求EF的长；

(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由．

【答案】(1)3；(2)菱形，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)只要证明即可得到结果；

(2)先判断四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直且平分证明是菱形，即可得到结论；

【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，

∴，OA=OC，

又∵，

∴，

在△AOE和△COF中，

，

∴．

∴FO=EO，

又∵，

∴．

故EF的长为3．

(2)由(1)可得，，四边形ABCD是平行四边形，

∴，FC∥AE，

∴四边形AECF是平行四边形，

又，OE=OF，OA=OC，

∴平行四边形AECF是菱形．

【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键．

25.如图，内接于，，点E在直径CD的延长线上，且．

(1)试判断AE与的位置关系，并说明理由；

(2)若，求阴影部分的面积．

【答案】(1)AE与⊙O相切，理由见详解；(2)．

【解析】

【分析】

(1)利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；

(2)连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据，即可求出阴影部分的面积．

【详解】(1)AE与⊙O相切，理由如下：

连接AO，

∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；

(2)连接AD，则，

∴∠DAC=90°，

∴CD为⊙O的直径，

在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，

∴，

∴，

∴，∠AOD=60°，

∴

∴．

【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．

26.阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y满足①，②，求和的值．

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．

解决问题：

(1)已知二元一次方程组，则________，________；

(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

(3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．

【答案】(1)-1，5；(2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；(3)-11

【解析】

【分析】

(1)已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；

(2)设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据(1)中“整体思想”，即可求解；

(3)根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值．

【详解】(1)

①-②，得x-y=-1

①+②，得3x+3y=15

∴x+y=5

故答案为：-1，5

(2)设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则

①×2，得40x+6y+4z=64③

③-②，得x+y+z=6

∴5(x+y+z)=30

∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元

答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元

(3)∵

∴①，②，

∴②-①，得③

∴④

①+②，得⑤

⑤-④，得

∴

故答案为：-11

【点睛】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合“整体思想”求代数式的值．

27.如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且，OC平分，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．

(1)求证：；

(2)如图2，若，求的值；

(3)当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．

【答案】(1)见详解；(2)；(3)

【解析】

【分析】

(1)先由三角形外角得出∠BOD=∠DAO+∠ODA，然后根据OA=OD，OC平分∠BOD得出∠DAO=∠ODA，∠COD=∠COB，可得∠COD=∠ODA，即可证明；

(2)先证明△BOG≌△DOG，得出∠ADB=∠OGB=90°，然后证明△AFO∽△AED，得出∠AOD=∠ADB=90°，，根据勾股定理得出AD=2，即可求出答案；

(3)先设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG==，BC===CD，然后得出四边形ABCD的周长=4+2x+4，令=t≥0，即x=2-t²，可得四边形ABCD的周长=-2(t-1)²+10，得出x=2-t²=1，即AD=2，然后证明△ADF≌△COF，得出DF=OF=OD=1，根据△ADO是等边三角形，得出∠DAE=30°，可得，求出DE=，即可得出答案．

【详解】(1)由三角形外角可得∠BOD=∠DAO+∠ODA，

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ODA，

∵OC平分∠BOD，

∴∠COD=∠COB，

∴∠COD=∠ODA，

∴OC∥AD；

(2)∵OC平分，

∴∠COD=∠COB，

在△BOG与△DOG中，

∴△BOG≌△DOG，

∴∠BGO=∠DGO=90°，

∵AD∥OC，

∴∠ADB=∠OGB=90°，∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，

∵DE=DF，

∴∠DFE=∠DEF，

∵∠DFE=∠AFO，

∴∠AFO=∠DEF，

∴△AFO∽△AED，

∴∠AOD=∠ADB=90°，，

∵OA=OD=2，

∴根据勾股定理可得AD=2，

∴=；

(3)∵OA=OB，OC∥AD，

∴根据三角形中位线可设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG==，

∴BC===CD，

∴四边形ABCD的周长=AB+AD+DC+BC

=4+2x+2

=4+2x+4

令=t≥0，即x=2-t²，

∴四边形ABCD的周长=4+2x+4

=4+2(2-t²)+4t

=-2t²+4t+8

=-2(t-1)²+10，

当t=1时，四边形ABCD的周长取得最大值，最大值为10，

此时x=2-t²=1，

∴AD=2，

∵OC∥AD，

∴∠ADF=∠COF，∠DAF=∠OCF，

∵AD=OC=2，

∴△ADF≌△COF

∴DF=OF=OD=1，

∵AD=OC=OA=OD，

∴△ADO是等边三角形，

由(2)可知∠DAF=∠OAF，∠ADE=90°，

∴在Rt△ADE中，∠DAE=30°，

∴，

∴DE=，

∴=．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的性质，涉及的知识点比较复杂，综合性较强，灵活运用这些知识点是解题关键．

28.如图，已知点、，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”

(1)当时．

①求线段AB所在直线的函数表达式．

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．

(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．

【答案】(1)①；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当时，有最大值；当时，有最小值；(2)或；

【解析】

【分析】

(1)①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；

②由①得直线AB为，则，利用二次函数的性质，即可求出答案；

(2)根据题意，求出直线AB的直线为，设点P为(x，)，则得到，由二次函数的性质，得到对称轴，即可求出n的取值范围．

【详解】解：(1)当时，点B(5，1)，

①设直线AB为，则

，解得：，

∴；

②不完全同意小明的说法；理由如下：

由①得，

设点P为(x，)，由点P在线段AB上则

，

∴；

∵，

∴当时，有最大值；

当时，有最小值；

∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在的位置时k值最大．

(2)∵、，

设直线AB为，则

，解得：，

∴，

设点P为(x，)，由点P在线段AB上则

，

则对称轴为：；

∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．

即k在中，k随x的增大而增大；

当时，有

∴，解得：，

∴不等式组的解集为：；

当时，有

∴，解得：，

∴综合上述，n的取值范围为：或．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．

 

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