2020年各科中考真题2020年辽宁省营口市中考数学试卷（教师版含解析）

参考答案

一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分)

1．﹣6的绝对值是(　　)

A．6 B．﹣6 C． D．﹣

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值．

解：|﹣6|＝6，

故选：A．

2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是(　　)

A． B． C． D．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

解：从上面看易得俯视图：

．

故选：C．

3．下列计算正确的是(　　)

A．x²•x³＝x⁶ B．xy²﹣ xy²＝ xy²

C．(x+y)²＝x²+y² D．(2xy²)²＝4xy⁴

【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则分别进行计算后，可得到正确答案．

解：A、x²•x³＝x⁵，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、xy²﹣ xy²＝ xy²，原计算正确，故此选项符合题意；

C、(x+y)²＝x²+2xy+y²，原计算错误，故此选项不符合题意；

D、(2xy²)²＝4xy⁴，原计算错误，故此选项不符合题意．

故选：B．

4．如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为

(　　)

A．66° B．56° C．68° D．58°

【分析】根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．

解：∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；

∵EG平分∠BEF，

∴∠GEB＝58°．

故选：D．

5．反比例函数y＝ (x＜0)的图象位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．

解：∵反比例函数y＝ (x＜0)中，k＝1＞0，

∴该函数图象在第三象限，

故选：C．

6．如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为(　　)

A． B． C． D．

【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论．

解：∵DE∥AB，

∴ ＝ ＝ ，

∴ 的值为 ，

故选：A．

7．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是(　　)

A．110° B．130° C．140° D．160°

【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．

解：如图，连接BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，

∵∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．

故选：B．

8．一元二次方程x²﹣5x+6＝0的解为(　　)

A．x₁＝2，x₂＝﹣3 B．x₁＝﹣2，x₂＝3

C．x₁＝﹣2，x₂＝﹣3 D．x₁＝2，x₂＝3

【分析】利用因式分解法解方程．

解：(x﹣2)(x﹣3)＝0，

x﹣2＝0或x﹣3＝0，

所以x₁＝2，x₂＝3．

故选：D．

9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

射击次数	20	80	100	200	400	1000
“射中九环以上”的次数	18	68	82	168	327	823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数)	0.90	0.85	0.82	0.84	0.82	0.82

根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是(　　)

A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84

【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．

解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，

∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．

故选：B．

10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S_△OCD＝ ，则k的值为(　　)

A．3 B． C．2 D．1

【分析】根据题意设B(m，m)，则A(m，0)，C( ， )，D(m， m)，然后根据S_△COD＝S_△COE+S_梯形ADCE﹣S_△AOD＝S_梯形ADCE，得到 ( + )•(m﹣ m)＝ ，即可求得k＝ ＝2．

解：根据题意设B(m，m)，则A(m，0)，

∵点C为斜边OB的中点，

∴C( ， )，

∵反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象过点C，

∴k＝ • ＝ ，

∵∠OAB＝90°，

∴D的横坐标为m，

∵反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象过点D，

∴D的纵坐标为 ，

作CE⊥x轴于E，

∵S_△COD＝S_△COE+S_梯形ADCE﹣S_△AOD＝S_梯形ADCE，S_△OCD＝ ，

∴ (AD+CE)•AE＝ ，即 ( + )•(m﹣ m)＝ ，

∴ ＝1，

∴k＝ ＝2，

故选：C．

二、填空題(每小题3分，共24分)

11．ax²﹣2axy+ay²＝　a(x﹣y)²　．

【分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．

解：ax²﹣2axy+ay²

＝a(x²﹣2xy+y²)

＝a(x﹣y)²．

故答案为：a(x﹣y)²．

12．长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为　1.8×10⁶　．

【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10ⁿ，可得答案．

解：将1800000用科学记数法表示为 1.8×10⁶，

故答案为：1.8×10⁶．

13．(3 + )(3 ﹣ )＝　12　．

【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．

解：原式＝(3 )²﹣( )²

＝18﹣6

＝12．

故答案为：12．

14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S_甲²＝3.83，S_乙²＝2.71，S_丙²＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是　丙　．

【分析】再平均数相等的前提下，方差越小成绩越稳定，据此求解可得．

解：∵平均成绩都是87.9分，S_甲²＝3.83，S_乙²＝2.71，S_丙²＝1.52，

∴S_丙²＜S_乙²＜S_甲²，

∴丙选手的成绩更加稳定，

∴适合参加比赛的选手是丙，

故答案为：丙．

15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为　15π　．

【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．

解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，

∴母线长为5，

∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，

故答案为：15π

16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　4　．

【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．

解：∵OA＝1，OB＝2，

∴AC＝2，BD＝4，

∴菱形ABCD的面积为 ×2×4＝4．

故答案为：4．

17．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为　3 　．

【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等边三角形的性质得到BF＝ AB＝ 6＝3，根据勾股定理即可得到结论．

解：过C作CF⊥AB交AD于E，

则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，

∵△ABC为等边三角形，边长为6，

∴BF＝ AB＝ 6＝3，

∴CF＝ ＝ ＝3 ，

∴CE+EF的最小值为3 ，

故答案为：3 ．

18．如图，∠MON＝60°，点A₁在射线ON上，且OA₁＝1，过点A₁作A₁B₁⊥ON交射线OM于点B₁，在射线ON上截取A₁A₂，使得A₁A₂＝A₁B₁；过点A₂作A₂B₂⊥ON交射线OM于点B₂，在射线ON上截取A₂A₃，使得A₂A₃＝A₂B₂；…；按照此规律进行下去，则A₂₀₂₀B₂₀₂₀长为　 (1+ )²⁰¹⁹　．

【分析】解直角三角形求出A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃，…，探究规律利用规律即可解决问题．

解：在Rt△OA₁B₁中，∵∠OA₁B₁＝90°，∠MON＝60°，OA₁＝1，

∴A₁B₁＝A₁A₂＝OA₁•tan60°＝ ，

∵A₁B₁∥A₂B₂，

∴ ＝ ，

∴ ＝ ，

∴A₂B₂＝ (1+ )，

同法可得，A₃B₃＝ (1+ )²，

…

由此规律可知，A₂₀₂₀B₂₀₂₀＝ (1+ )²⁰¹⁹，

故答案为 (1+ )²⁰¹⁹．

三、解答题(19小题10分，20小题10分，共20分)

19．先化简，再求值：( ﹣x)÷ ，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．

【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取x的值，代入求值即可．

解：原式＝ •

＝ •

＝﹣2﹣x．

∵x≠1，x≠2，

∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0．

当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．

20．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．

(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　 　；

(2)用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．

【分析】(1)直接利用概率公式计算；

(2)画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．

解：(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝ ；

故答案为： ；

(2)画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，

所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝ ＝ ．

四、解答题(21小题12分，22小题12分，共24分)

21．“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生(每名学生必须选择且只能选择一类看法)，调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图(均不完整)，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)补全条形统计图；

(2)扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为　18°　；

(3)该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．

【分析】(1)根据扇形统计图中的数据，可以计算出A组的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可得到C组的人数，然后即可将条形统计图补充完整；

(2)根据条形统计图中D组的人数，可以计算出扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数；

(3)根据扇形统计图中A组所占的百分比，即可计算出该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．

解：(1)A组学生有：200×30%＝60(人)，

C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50(人)，

补全的条形统计图，如右图所示；

(2)扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°× ＝18°，

故答案为：18°；

(3)2500×30%＝750(人)，

答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750人．

22．如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．(参考数据： ≈1.73)

【分析】作高AN，由题意可得∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，进而得出∠ABC＝∠BAC＝30°，于是AC＝BC＝12，在在Rt△ANC中，利用直角三角形的边角关系，求出AN与10海里比较即可．

【解答】 解：没有触礁的危险；

理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N，

由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，

∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，

∴∠ABC＝∠BAC＝30°，

∴BC＝AC＝12，

在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12× ＝6 ，

∵AN＝6 ≈10.38＞10，

∴没有危险．

五、解答题(23小题12分，24小题12分，共24分)

23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．

(1)求证：AB为⊙O的切线；

(2)若tanA＝ ，AD＝2，求BO的长．

【分析】(1)过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，在解直角三角形即可得到结论．

【解答】 (1)证明：过O作OH⊥AB于H，

∵∠ACB＝90°，

∴OC⊥BC，

∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，

∴OH＝OC，

即OH为⊙O的半径，

∵OH⊥AB，

∴AB为⊙O的切线；

(2)解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，

在Rt△AOH中，∵tanA＝ ，

∴ ＝ ，

∴ ＝ ，

∴AH＝4x，

∴AO＝ ＝ ＝5x，

∵AD＝2，

∴AO＝OD+AD＝3x+2，

∴3x+2＝5x，

∴x＝1，

∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，

∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，

在Rt△ABC中，∵tanA＝ ，

∴BC＝AC•tanA＝8× ＝6，

∴OB＝ ＝ ＝3 ．

24．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(瓶)．

(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

【分析】(1)销售单价为x(元)，销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，则 为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y；

(2)设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．

解：(1)由题意得：y＝80+20× ，

∴y＝﹣40x+880；

(2)设每天的销售利润为w元，则有：

w＝(﹣40x+880)(x﹣16)

＝﹣40(x﹣19)²+360，

∵a＝﹣40＜0，

∴二次函数图象开口向下，

∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．

答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元．

六、解答题(本题满分14分)

25．如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB(k＞0)，点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．

(1)如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　AF＝AE　；

(2)如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；(用含k的式子表示)

(3)若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．

【分析】(1)证明△EAB≌△FAD(AAS)，由全等三角形的性质得出AF＝AE；

(2)证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论；

(3)①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出 ，求出AG＝ ．由△ABE∽△ADF可得出 ＝ ，求出AE＝ ．则可得出答案；

②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长．

解：(1)AE＝AF．

∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF＝90°，

∴∠EAB＝∠FAD，

∴△EAB≌△FAD(AAS)，

∴AF＝AE；

故答案为：AF＝AE．

(2)AF＝kAE．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，

∴∠FAD+∠FAB＝90°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF＝90°，

∴∠EAB+∠FAB＝90°，

∴∠EAB＝∠FAD，

∵∠ABE+∠ABC＝180°，

∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ABE＝∠ADF．

∴△ABE∽△ADF，

∴ ，

∵AD＝kAB，

∴ ，

∴ ，

∴AF＝kAE．

(3)解：①如图1，当点F在DA上时，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵AD＝2AB＝4，

∴AB＝2，

∴CD＝2，

∵CF＝1，

∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．

在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，

∴AF＝ ＝ ＝ ，

∵DF∥AB，

∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，

∴△GDF∽△GBA，

∴ ，

∵AF＝GF+AG，

∴AG＝ ．

∵△ABE∽△ADF，

∴ ＝ ，

∴AE＝ ＝ ．

在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，

∴EG＝ ＝ ＝ ，

②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，

在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，

∴AF＝ ＝ ＝5．

∵DF∥AB，

∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，

∴△AGB∽△FGD，

∴ ＝ ，

∵GF+AG＝AF＝5，

∴AG＝2，

∵△ABE∽△ADF，

∴ ，

∴AE＝ ，

在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，

∴EG＝ ＝ ＝ ．

综上所述，EG的长为 或 ．

七、解答题(本题满分14分)

26．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx﹣3过点A(﹣3，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，顶点为点D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为直线CD上的一个动点，连接BC；

①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．

【分析】(1)y＝ax²+bx﹣3＝a(x+3)(x﹣1)，即可求解；

(2)①分点P(P′)在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；

②证明△AGR≌△RHM(AAS)，则点M(m+n，n﹣m﹣3)，利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．

解：(1)y＝ax²+bx﹣3＝a(x+3)(x﹣1)，

解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x²+2x﹣3①；

(2)由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为(0，﹣3)、(﹣1，﹣4)，

由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；

tan∠BCO＝ ，则cos∠BCO＝ ；

①当点P(P′)在点C的右侧时，

∵∠PAB＝∠BCO，

故P′B∥y轴，则点P′(1，﹣2)；

当点P在点C的左侧时，

设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，

∵∠PAB＝∠BCO，

∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH× ＝ ，

解得：CH＝ ，则OH＝3﹣CH＝ ，故点H(0，﹣ )，

由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝ x﹣ ②，

联立①②并解得： ，

故点P的坐标为(1，﹣2)或(﹣5，﹣8)；

②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝ ，

故设直线AP的表达式为：y＝ x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，

故直线AP的表达式为：y＝ x+1，

联立①③并解得： ，故点N( ， )；

设△AMN的外接圆为圆R，

当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为(m，n)，

∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，

∴∠RMH＝∠GAR，

∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，

∴△AGR≌△RHM(AAS)，

∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，

∴点M(m+n，n﹣m﹣3)，

将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝(m+n)²+2(m+n)﹣3③，

由题意得：AR＝NR，即(m+3)²＝(m﹣ )²+( )²④，

联立③④并解得： ，

故点M(﹣ ，﹣ )．

 

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