宁夏2020年中考数学试题
一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案.
【详解】解：A. ，所以A错误；
B. ，所以B错误；
C. ，所以C错误；
D. ，所以D正确；
故答案选D.
【点睛】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0.
2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图(如图)，则下列说法正确的是( )
A. 中位数是3，众数是2 B. 众数是1，平均数是2
C. 中位数是2，众数是2 D. 中位数是3，平均数是2.5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．
【详解】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，
中位数为2；
平均数为(0×1+1×4+2×6+3×2+4×2)÷15=2；
众数为2；
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．
3.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；
2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，
所以能构成三角形的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=．构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边．
4.如图摆放一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是( )
A. 135° B. 120° C. 115° D. 105°
【答案】D
【解析】
【分析】
过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，可以得到，有即可得出答案．
【详解】解：过点G作，有，
∵在和中，
∴
∴，
∴
故的度数是105°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
5.如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则( )
A. 13 B. 10 C. 12 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．
【详解】连接BD，交AC于点O，
由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB=BC=CD=DA=13， EFBD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，
∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，
又∵ABCD，EFBD
∴DEBG，BDEG
在四边形BDEG中，
∵DEBG，BDEG
∴四边形BDEG是平行四边形
∴BD=EG
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD=13，CO=12
∴OD=OB=5
∴BD=EG=10
故选B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
6.如图，等腰直角三角形中，，以点C为圆心画弧与斜边相切于点D，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接CD，并求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】连接CD，如图，
∵AB是圆C的切线，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CD=AB，
∵，AC=BC，
∴AB=2，
∴CD=1，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7.如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象可知函数与函数的图象相交于点M、N，若，即观察直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围．
【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或，
故本题答案为：或．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
8.如图2是图1长方体三视图，若用S表示面积，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．
【详解】∵，
∴俯视图的长为a+1，宽为a，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键．
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
9.分解因式：3a2﹣6a+3=____．
【答案】3(a﹣1)2．
【解析】
【详解】解：原式=3(a2﹣2a+1)=3(a﹣1)2．
故答案：3(a﹣1)2．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
10.若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与x轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．
【详解】∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=﹥0，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．
11.有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．
【详解】列表得：
| 4 | 5 | 6 | |
| 4 | 9 | 10 | |
| 5 | 9 | 11 | |
| 6 | 10 | 11 |
共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，
所以概率为．
故答案为：．
【点睛】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
12.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺(1尺寸)．问这根圆形木材的直径是______寸．
【答案】26
【解析】
【分析】
根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.
【详解】解：由题可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
中，根据勾股定理可得：
解得：,
木材直径为26寸；
故答案为：26.
【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解.
13.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是_____．
【答案】(4，)
【解析】
【分析】
首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB-OA，即可得出答案．
【详解】解：在中，令x=0得，y=4，
令y=0，得，解得x=，
∴A(，0)，B(0，4)，
由旋转可得△AOB ≌△A1O1B，∠ABA1=90°，
∴∠ABO=∠A1BO1，∠BO1A1=∠AOB=90°，OA=O1A1=，OB=O1B=4，
∴∠OBO1=90°，
∴O1B∥x轴，
∴点A1的纵坐标为OB-OA的长，即为4=；
横坐标为O1B=OB=4，
故点A1的坐标是(4，)，
故答案为：(4，)．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．
14.如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，此时射线恰好经过点D，则_____度．
【答案】32
【解析】
【分析】
由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．
【详解】由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD=BD，
∴
∴
∵，且，
∴，即，
∴．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．
15.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
(1)阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
(2)阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
(3)阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据题中给出阅读过《三国演义》的人数，则先代入条件(3)可得出阅读过《西游记》的人数的取值范围，然后再根据条件(1)和(2)再列出两个不等式，得出阅读过《水浒传》的人数的取值范围，即可得出答案.
【详解】解：设阅读过《西游记》的人数是，阅读过《水浒传》的人数是，(均为整数)
依题意可得：
且均为整数
可得：，
最大可以取6；
故答案为6.
【点睛】本题考查不等式的实际应用，注意题中的两个量都必须取整数是本题做题关键，求的最大值，则可通过题中不等关系得出是小于哪个数的，然后取小于这个数的最大整数即可.
16.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．
【答案】27
【解析】
【分析】
根据题意得出a2+b2=15，(b-a)2=3，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，然后利用完全平方公式的变形求出(a+b)2即可．
【详解】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，(b-a)2=3，
图2中大正方形的面积为：(a+b)2，
∵(b-a)2=3
a2-2ab+b2=3，
∴15-2ab=3
2ab=12，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=15+12=27，
故答案为：27．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
三、解答题(本题共有6个小题，每小题6分，共36分)
17.在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．
(1)画出关于x轴成轴对称的；
(2)画出以点O为位似中心，位似比为1∶2的．
【答案】(1)如图所示为所求；见解析； (2)如图所示为所求；见解析．
【解析】
【分析】
(１)将的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．
(２)在同侧和对侧分别找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．
【详解】(1)由题意知：的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1)，
则关于x轴成轴对称的的坐标为A1(1，-3)，B1(4，-1)，C1(1，-1)，
连接A1C1，A1B1，B1C1
得到．
如图所示为所求；
(2)由题意知：位似中心是原点，
则分两种情况：
第一种，和在同一侧
则A2(2，6)，B2(8，2)，C2(2，2)，
连接各点，得．
第二种，在的对侧
A2(－2，－6)，B2(－8，－2)，C2(－2，－2)，
连接各点，得．
综上所述：如图所示为所求；
【点睛】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．
18.解不等式组：
【答案】不等式组的解集是．
【解析】
【分析】
分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．
详解】解:
由①得：
由②得：
所以，不等式组的解集是．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集．
19.先化简，再求值：，其中．
【答案】，1．
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．
【详解】原式
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
20.在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．
(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；
(2)现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？
【答案】(1)购买A、B两种防疫物品每件分别为16元和4元；(2)最多购买A种防疫物品383件．
【解析】
【分析】
(1)设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(600-a)件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
【详解】(1)设购买A、B两种防疫物品每件分别为x元和y元，根据题意，得：
解得：
答：购买A、B两种防疫物品每件分别为16元和4元．
(2)设购买A种防疫物品a件，根据题意，得：
解得，，因为a取最大正整数，所以
答：最多购买A种防疫物品383件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量间的关系，找出关于a的一元一次不等式．
21.
如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点F．
求证：．
【答案】，证明略．
【解析】
【详解】证明：四边形是平行四边形，
．
．
又，
．
．
．
22.某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据(单位：)和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：
| 日用水量/ | |||||
| 频数 | 0 | 4 | 2 | 4 | 10 |
使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：
| 日用水量/ | ||||
| 频数 | 2 | 6 | 8 | 4 |
(1)计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？(一年按365天计算)
【答案】(1)未使用节水龙头20天的日平均用水量为；使用了节水龙头20天的日平均用水量为；(2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省水．
【解析】
【分析】
(1)取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可；
(2)先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果．
【详解】(1)未使用节水龙头20天的日平均用水量为：
使用了节水龙头20天的日平均用水量为：
(2)
答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省水．
【点睛】考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四、解答题(本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分)
23.如图，在中，，点D为上一点，以为直径的交于点E，连接，且平分．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，求．
【答案】(1)见解析；(2)．
【解析】
【分析】
(1)证明：连接，证明，即可得=90°，即可证明是的切线；
(2)解：连接，先证明，得出，根据∠A=30°，∠B=90°，可得，可得，由此可得，即可得出．
【详解】(1)证明：连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
(2)解：连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，结合题意灵活运用知识点是解题关键．
24.“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行时间之间的函数关系式如图中折线段所示．
(1)小丽与小明出发_______相遇；
(2)在步行过程中，若小明先到达甲地．
①求小丽和小明步行的速度各是多少？
②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．
【答案】(1)30；(2)①小丽步行的速度为，小明步行的速度为；②点，点C表示：两人出发时，小明到达甲地，此时两人相距．
【解析】
【分析】
(1)直接从图像获取信息即可；
(2)①设小丽步行的速度为，小明步行的速度为，且，根据图像和题意列出方程组，求解即可；
②设点C的坐标为，根据题意列出方程解出x，再根据图像求出y即可，再结合两人的运动过程解释点C的意义即可．
【详解】(1)由图像可得小丽与小明出发30相遇，
故答案为：30；
(2)①设小丽步行的速度为，小明步行的速度为，且，
则，
解得：，
答：小丽步行的速度为，小明步行的速度为；
②设点C的坐标为，
则可得方程，
解得，
，
∴点，
点C表示：两人出发时，小明到达甲地，此时两人相距．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图像获取信息是解题关键．
25.在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号(为正整数)与脚长(毫米)的对应关系如表1：
| 鞋号(正整数) | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | …… |
| 脚长(毫米) | …… |
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：
| 序号n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | …… |
| 鞋号 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | …… |
| 脚长 | …… | ||||||
| 脚长 | 160 | 165 | 170 | 175 | 180 | 185 | …… |
定义：对于任意正整数m、n，其中．若，则．
如：表示，即．
(1)通过观察表2，猜想出与序号n之间的关系式，与序号n之间的关系式；
(2)用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
(3)若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
【答案】(1)，；(2)鞋号为42的鞋适合的脚长范围是；(3)应购买44号的鞋．
【解析】
【分析】
(1)观察表格里的数据，可直接得出结论；
(2)把n用含有an的式子表示出来，代入化简整理，再计算鞋号为42对应的n的值，代入求解即可；
(3)首先计算，再代入求出的值即可．
【详解】(1)
(2)由与解得：
把代入得
所以
则得：，即
答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是．
(3)根据可知能被5整除
而
所以
将代入中得
故应购买44号的鞋．
【点睛】此题主要考查了方程与不等式的应用，读懂题意是解题的关键．
26.如图(1)放置两个全等的含有30°角的直角三角板与，若将三角板向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图(2)，与、分别交于点P、M，与交于点Q，其中，设三角板移动时间为x秒．
(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示的面积；
(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)；(2)当时，重叠部分面积最大，最大面积是．
【解析】
【分析】
(1)解直角三角形ABC求得，设，可求，，根据三角形面积公式即可求出结论；
(2)根据“”列出函数关系式，通过配方求解即可．
【详解】(1)解：因为中∴
∵ ∴
∴为等边三角形
过点M作，垂足为点N．
在中，
∴
根据题意可知
∴
∴
∴
而
∴
(2)由(1)知
∴
所以当时，重叠部分面积最大，最大面积是
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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