济宁市二O二O年高中段学校招生考试
数 学 试 题
一、选择题:
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相反数的概念解答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选D.
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.3.14159精确到千分位为( )
A. 3.1 B. 3.14 C. 3.142 D. 3.141
【答案】C
【解析】
分析】
把万分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】解：3.14159精确到千分位为3.142．
故选C．
【点睛】本题考查近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
3.下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；
B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不是最简二次根式，故选项错误；
故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
4. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为【 】
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
多边形内角和定理．
【分析】设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°(n﹣2)，即可得方程180(n﹣2)=1080，
解此方程即可求得答案：n=8．故选C．
5.一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是( )
A. 15海里 B. 20海里 C. 30海里 D. 60海里
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．
【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，
∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，
∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，
∴BC=30海里，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．
6.下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位:cm)的平均数和方差．要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛,最合适的运动员是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【详解】解：∵乙和丁的平均数最小，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差最小，即成绩比较稳定，
∴选择丙参赛；
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是( )
A. x=20 B. x=5 C. x=25 D. x=15
【答案】A
【解析】
【分析】
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】解：由图可知：
直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P(20，25)，
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
8.已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积等于( )
A. 12πcm2
B. 15πcm2
C. 24πcm2
D. 30πcm2
【答案】B
【解析】
由三视图可知这个几何体是圆锥，高是4cm，底面半径是3cm，所以母线长是(cm)，∴侧面积＝π×3×5＝15π(cm2)，故选B．
9.如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积．
【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1
∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2.
故选B.
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
10.小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+…+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：由图可知：
第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；
第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；
第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；
第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；
…
第n个图形共有1+2+3+4+…+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；
则：第100个图形共有1+2+3+4+…+100==5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；
∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．
二、填空题:
11.分解因式a3-4a的结果是 ______________．
【答案】a(a+2)(a-2)
【解析】
【分析】
首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2)，
故答案：a(a+2)(a-2)．
【点睛】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是__________(写出一个即可)，
【答案】4(答案不唯一，在3＜x＜9之内皆可)
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：
第三边应大于6-3=3，而小于6+3=9，
故第三边的长度3＜x＜9．
故答案为：4(答案不唯一，在3＜x＜9之内皆可)．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
13.已如m+n=-3.则分式的值是____________．
【答案】，
【解析】
【分析】
先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后将m+n=-3代入即可.
【详解】解：原式=
=
=
=
=，
∵m+n=-3，代入，
原式=.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则.
14.如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1：，
∴tan∠ABF=，
∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°=，
解得：PB=，
故AB=m，
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．
15.如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
连结OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可．
【详解】解：连结，如图，设的半径为，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
即OB=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．
三、解答题:
16.先化简，再求值:(x+1)(x-1)+x(2-x),其中x=．
【答案】；0
【解析】
【分析】
先去括号，再合并同类项，最后将x值代入求解.
【详解】解：原式=
=
将x=代入，
原式=0.
【点睛】本题考查了整式的混合运算—化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，单项式乘多项式的运算法则.
17.某校举行了“防溺水”知识竞赛，八年级两个班选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手成绩(均为整数)绘制了统计表和折线统计图(如图所示)．
(1)统计表中,a=________, b =________；
(2)若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛,其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额 在成绩为98分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．
【答案】(1)96，96；(2)
【解析】
【分析】
(1)分别将两个班级的成绩罗列出来，再根据众数和中位数的概念解答即可；
(2)设八(1)班98分的学生分别为A，B，八(2)班98分的学生分别为D、C、E，将所有情况列出，再得出符合条件的个数，利用概率公式求解.
【详解】解：(1)由图可知：
八(1)班学生成绩分别为：100、92、98、96、88、96、89、98、96、92，
∴八(1)班的众数为：96，即a=96，
八(2)班学生成绩分别为：89、98、93、98、95、97、91、90、98、99，
从小到大排列为：89、90、91、93、95、97、98、98、98、99，
八(2)班的中位数为：(95+97)÷2=96，即b=96；
故答案为：96；96；
(2)设八(1)班98分的学生分别为A，B，八(2)班98分的学生分别为D、C、E，
可知共有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)10种情况，
其中满足另外两个决赛名额落在不同班级的情况有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共6种，
∴另外两个决赛名额落在不同班级的概率为.
【点睛】本题考查了中位数和众数，列举法求概率，解题的关键是理解题意，掌握中位数和众数的求法和概率公式的运用.
18.如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．
(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)根据相似三角形的性质可得∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP，∠CPD与AC的交点为D即可；
(2)利用外角的性质以及(1)中∠CPD=∠BAP可得∠CPD =∠ABC，再根据平行线的判定即可.
【详解】解：(1)∵△PCD∽△ABP，
∴∠CPD=∠BAP，
故作∠CPD=∠BAP即可，
如图，即为所作图形，
(2)∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，
∴∠BAP =∠ABC，
∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，
即∠CPD =∠ABC，
∴PD∥AB.
【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的性质，外角的性质，难度不大，解题的关键是掌握尺规作图的基本作法.
19.在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2．
(1)y关于x的函数关系式是________， x的取值范围是________；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【答案】(1)y=，x＞0；(2)见解析；(3)1
【解析】
【分析】
(1)根据三角形的面积公式即可得出函数关系式，再根据实际意义得出x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出图像即可；
(3)得到平移后的一次函数表达式，再和反比例函数联立，得到一元二次方程，再结合交点个数得到根的判别式为零，即可求出a值.
【详解】解：(1)由题意可得：
S△ABC=xy=2，
则：y=，
其中x的取值范围是x＞0，
故答案为：y=，x＞0；
(2)函数y=(x＞0)的图像如图所示；
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后得到y=-x+3+a，
若与函数y=(x＞0)只有一个交点，
联立：，
得：，
则，
解得：a=1或-7(舍)，
∴a的值为1.
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题.
20.为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?
【答案】(1)1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；(2)共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.
【解析】
【分析】
(1)设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
(2)设安排m辆大货车，则小货车(12-m)辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果.
详解】解：(1)设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，
根据题意，得：，
解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；
(2)设安排m辆大货车，则小货车(12-m)辆，总费用为W，
则150m+(12-m)×100≥1500，
解得：m≥6，
而W=5000m+3000×(12-m)=2000m+36000＜54000，
解得：m＜9，
则6≤m＜9，
则运输方案有3种：
6辆大货车和6辆小货车；
7辆大货车和5辆小货车；
8辆大货车和4辆小货车；
∵2000＞0，
∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元.
∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子.
21.我们把方程(x- m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x- 1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A．B．且点B的坐标为(8．0),与y轴相切于点D(0, 4)，过点A,B,D的抛物线的顶点为E．
(1)求圆C的标准方程；
(2)试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)；(2)相切，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)连接CD，CB，过C作CF⊥AB，分别表示出BF和CF，再在△BCF中利用勾股定理构造方程求解即可得到圆C半径以及点C坐标，从而得到标准方程；
(2)由(1)可得点A坐标，求出抛物线表达式，得到点E坐标，再求出直线AE的表达式，联立直线AE和圆C的表达式，通过判断方程根的个数即可得到两者交点个数，从而判断位置关系.
【详解】解：连接CD，CB，过C作CF⊥AB，
∵点D(0，4)，B(8，0)，设圆C半径为r，圆C与y轴切于点D，
则CD=BC=OF=r，CF=4，
∵CF⊥AB，
∴AF=BF=8-r，
在△BCF中，，
即，
解得：r=5，
∴CD=OF=5，即C(5，4)，
∴圆C的标准方程为：；
(2)由(1)可得：BF=3=AF，则OA=OB-AB=2，
即A(2，0)，
设抛物线表达式为：，将A，B，D坐标代入，
，解得：，
∴抛物线表达式为：，
∴可得点E(5，)，
设直线AE表达式为：y=mx+n，将A和E代入，
可得：，解得：，
∴直线AE的表达式为：，
∵圆C的标准方程为，
联立，
解得：x=2，
故圆C与直线AE只有一个交点，横坐标为2，
即圆C与直线AE相切.
【点睛】本题考查了圆的新定义，二次函数，一次函数，切线的判定，垂径定理，有一定难度，解题的关键是利用转化思想，将求位置关系转化为方程根的个数问题.
22.如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．
(1)求证:△AEH≌△AGH；
(2)当AB=12，BE=4时：
①求△DGH周长的最小值；
②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)①；②存在，或
【解析】
【分析】
(1)证明△ABE≌△ACG得到AE=AG，再结合角平分线，即可利用SAS证明△AEH≌△AGH；
(2)①根据题意可得点E和点G关于AF对称，从而连接ED，与AF交于点H，连接HG，得到△DGH周长最小时即为DE+DG，构造三角形DCM进行求解即可；
②分当OH与AE相交时，当OH与CE相交时两种情况分别讨论，结合中位线，三角形面积进行求解即可.
【详解】解：(1)∵四边形ABCD菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠ACD=60°，
∵BE=CG，AB=AC，
∴△ABE≌△ACG，
∴AE=AG，
∵AF平分∠EAG，
∴∠EAH=∠GAH，
∵AH=AH，
∴△AEH≌△AGH；
(2)①如图，连接ED，与AF交于点H，连接HG，
∵点H在AF上，AF平分∠EAG，且AE=AG，
∴点E和点G关于AF对称，
∴此时△DGH的周长最小，
过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，
由(1)得：∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°，
∴∠DCM=60°，∠CDM=30°，
∴CM=CD=6，
∴DM=，
∵AB=12=BC，BE=4，
∴EC=DG=8，EM=EC+CM=14，
∴DE==DH+EH=DH+HG，
∴DH+HG+DG=
∴△DGH周长的最小值为；
②当OH与AE相交时，如图，AE与OH交于点N，
可知S△AON：S四边形HNEF=1:3，
即S△AON：S△AEC=1:4，
∵O是AC中点，
∴N为AE中点，此时ON∥EC，
∴，
当OH与EC相交时，如图，EC与OH交于点N，
同理S△NOC：S四边形ONEA=1:3，
∴S△NOC：S△AEC=1:4，
∵O为AC中点，
∴N为EC中点，则ON∥AE，
∴，
∵BE=4，AB=12，
∴EC=8，EN=4，
过点G作GP⊥BC，交BNC延长线于点P，
∵∠BCD=120°，
∴∠GCP=60°，∠CGP=30°，
∴CG=2CP，
∵CG=BE=4，
∴CP=2，GP=，
∵AE=AG，AF=AF，∠EAF=∠GAF，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
设EF=FG=x，则FC=8-x，FP=10-x，
在△FGP中，，
解得：x=，
∴EF=，
∴，
综上：存在直线OH，的值为或.
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，中位线，最短路径问题，知识点较多，难度较大，解题时要注意分情况讨论.
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