2020年各科中考真题2020年陕西省中考数学试卷（教师版含解析）

2020年陕西省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题(共10小题)

1．﹣18的相反数是(　　)

A．18 B．﹣18 C． D．﹣

【分析】直接利用相反数的定义得出答案．

【解答】解：﹣18的相反数是：18．

故选：A．

2．若∠A＝23°，则∠A余角的大小是(　　)

A．57° B．67° C．77° D．157°

【分析】根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可．

【解答】解：∵∠A＝23°，

∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．

故选：B．

3．2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为(　　)

A．9.9087×10⁵ B．9.9087×10⁴ C．99.087×10⁴ D．99.087×10³

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【解答】解：990870＝9.9087×10⁵，

故选：A．

4．如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差(最高气温与最低气温的差)是(　　)

A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃

【分析】根据A市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．

【解答】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是﹣4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，

故选：C．

5．计算：(﹣ x²y)³＝(　　)

A．﹣2x⁶y³ B． x⁶y³ C．﹣ x⁶y³ D．﹣ x⁵y⁴

【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．

【解答】解：(﹣ x²y)³＝＝．

故选：C．

6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为(　　)

A． B． C． D．

【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，

∵S_△_ABC＝3×3﹣ ＝3.5，

∴ ，

∴BD＝，

故选：D．

7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．6

【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，

解得，，

∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，

∴△AOB的面积＝ 3×2＝3，

故选：B．

8．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为(　　)

A． B． C．3 D．2

【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．

【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，

∴Rt△BCF中，EF＝ BC＝4，

∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，

∴F是AG的中点，

∴EF是梯形ABCG的中位线，

∴CG＝2EF﹣AB＝3，

又∵CD＝AB＝5，

∴DG＝5﹣3＝2，

故选：D．

9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为(　　)

A．55° B．65° C．60° D．75°

【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：连接CD，

∵∠A＝50°，

∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，

∵E是边BC的中点，

∴OD⊥BC，

∴BD＝CD，

∴∠ODB＝∠ODC＝ BDC＝65°，

故选：B．

10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x²﹣(m﹣1)x+m(m＞1)沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．

【解答】解：∵y＝x²﹣(m﹣1)x+m＝(x﹣ )²+m﹣ ，

∴该抛物线顶点坐标是( ，m﹣ )，

∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是( ，m﹣ ﹣3)，

∵m＞1，

∴m﹣1＞0，

∴ ＞0，

∵m﹣ ﹣3＝＝＝﹣ ﹣1＜0，

∴点( ，m﹣ ﹣3)在第四象限；

故选：D．

二．填空题(共4小题)

11．计算：(2+ )(2﹣ )＝　1　．

【分析】先利用平方差公式展开得到原式＝2²﹣( )²，再利用二次根式的性质化简，然后进行减法运算．

【解答】解：原式＝2²﹣( )²

＝4﹣3

＝1．

12．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　144°　．

【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．

【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，

所以∠C＝＝108°，BC＝DC，

所以∠BDC＝＝36°，

所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，

故答案为：144°．

13．在平面直角坐标系中，点A(﹣2，1)，B(3，2)，C(﹣6，m)分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过其中两点，则m的值为　﹣1　．

【分析】根据已知条件得到点A(﹣2，1)在第三象限，求得点C(﹣6，m)一定在第三象限，由于反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过B(3，2)，C(﹣6，m)，于是得到结论．

【解答】解：∵点A(﹣2，1)，B(3，2)，C(﹣6，m)分别在三个不同的象限，点A(﹣2，1)在第二象限，

∴点C(﹣6，m)一定在第三象限，

∵B(3，2)在第一象限，反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过其中两点，

∴反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过B(3，2)，C(﹣6，m)，

∴3×2＝﹣6m，

∴m＝﹣1，

故答案为：﹣1．

14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　2 　．

【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3 ＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．

【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，

得矩形AGHE，

∴GH＝AE＝2，

∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，

∴BG＝3，AG＝3 ＝EH，

∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，

∵EF平分菱形面积，

∴FC＝AE＝2，

∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，

在Rt△EFH中，根据勾股定理，得

EF＝＝＝2 ．

故答案为：2 ．

三．解答题(共11小题)

15．解不等式组：

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．

【解答】解：，

由①得：x＞2，

由②得：x＜3，

则不等式组的解集为2＜x＜3．

16．解分式方程： ﹣ ＝1．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：方程 ﹣ ＝1，

去分母得：x²﹣4x+4﹣3x＝x²﹣2x，

解得：x＝，

经检验x＝是分式方程的解．

17．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．(保留作图痕迹．不写作法)

【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．

【解答】解：如图，点P即为所求．

18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，在由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论．

【解答】证明：∵DE＝DC，

∴∠DEC＝∠C．

∵∠B＝∠C，

∴∠B＝∠DEC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形．

∴AD＝BE．

19．王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：

(1)这20条鱼质量的中位数是　1.45kg　，众数是　1.5kg　．

(2)求这20条鱼质量的平均数；

(3)经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？

【分析】(1)根据中位数和众数的定义求解可得；

(2)利用加权平均数的定义求解可得；

(3)用单价乘以(2)中所得平均数，再乘以存活的数量，从而得出答案．

【解答】解：(1)∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，

∴这20条鱼质量的中位数是＝1.45(kg)，众数是1.5kg，

故答案为：1.45kg，1.5kg．

(2)＝＝1.45(kg)，

∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；

(3)18×1.45×2000×90%＝46980(元)，

答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元．

20．如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．

【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．

【解答】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，

∴∠CEF＝∠BFE＝90°，

∵CA⊥AM，NM⊥AM，

∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，

∴CE＝BF，ME＝AC，

∠1＝∠2，

∴△BFN≌△CEM(ASA)，

∴NF＝EM＝31+18＝49，

由矩形性质可知：EF＝CB＝18，

∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80(m)．

答：商业大厦的高MN为80m．

21．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

【分析】(1)分段函数，利用待定系数法解答即可；

(2)利用(1)的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．

【解答】解：(1)当0≤x≤15时，设y＝kx(k≠0)，

则：20＝15k，

解得k＝，

∴y＝；

当15＜x≤60时，设y＝k′x+b(k≠0)，

则：，

解得，

∴y＝，

∴ ；

(2)当y＝80时，80＝，解得x＝33，

33﹣15＝18(天)，

∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．

22．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

(1)小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

(2)若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

【分析】(1)由频率定义即可得出答案；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：(1)小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；

(2)画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，

∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝．

23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

(1)求证：AD∥EC；

(2)若AB＝12，求线段EC的长．

【分析】(1)连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；

(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝8 ，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝4 ，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．

【解答】证明：(1)连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，

∴∠OCE＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝90°，

∵∠AOC+∠OCE＝180°，

∴∴AD∥EC

(2)如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝60°，

∴∠D＝∠ACB＝60°，

∴sin∠ADB＝，

∴AD＝＝8 ，

∴OA＝OC＝4 ，

∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，

∴四边形OAFC是矩形，

又∵OA＝OC，

∴四边形OAFC是正方形，

∴CF＝AF＝4 ，

∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，

∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∵tan∠EAF＝，

∴EF＝ AF＝12，

∴CE＝CF+EF＝12+4 ．

24．如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点(3，12)和(﹣2，﹣3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

【分析】(1)将点(3，12)和(﹣2，﹣3)代入抛物线表达式，即可求解；

(2)由题意得：PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．

【解答】解：(1)将点(3，12)和(﹣2，﹣3)代入抛物线表达式得，解得，

故抛物线的表达式为：y＝x²+2x﹣3；

(2)抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，

故点A、B的坐标分别为(﹣3，0)、(1，0)；点C(0，﹣3)，

故OA＝OC＝3，

∵∠PDE＝∠AOC＝90°，

∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，

设点P(m，n)，当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣(﹣1)＝3，解得：m＝2，

故n＝2²+2×2﹣5＝5，故点P(2，5)，

故点E(﹣1，2)或(﹣1，8)；

当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P(﹣4，5)，此时点E坐标同上，

综上，点P的坐标为(2，5)或(﹣4，5)；点E的坐标为(﹣1，2)或(﹣1，8)．

25．问题提出

(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　CF、DE、DF　．

问题探究

(2)如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2 ，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．

问题解决

(3)如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x(m)，阴影部分的面积为y(m²)．

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区(四边形PEDF)的面积．

【分析】(1)证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；

(2)连接OP，由AB是半圆O的直径，＝2 ，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同(1)得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝4 ，在Rt△CFB中，BF＝＝ CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；

(3)①同(1)得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S_△_PAE+S_△_PBF＝S_△_PA_′_B＝ PA′•PB＝ x(70﹣x)，在Rt△ACB中，AC＝BC＝35 ，S_△_ACB＝ AC²＝1225，由y＝S_△_PA_′_B+S_△_ACB，即可得出结果；