达州市2020年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平考试
数学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．
考试时间120分钟，满分120分．
温馨提示：
1．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置．待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信息是否一致．
2．选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内，超出答题区答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效．
3．保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．
4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回．
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、单项选择题(每小题3分，共30分)
1.人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台“朝日新闻”报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是( )
A. B. C. D. 万
【答案】A
【解析】
【分析】
通过科学记数法的公式计算即可：；
【详解】1002万=10020000=．
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确判断小数点位置是解题的关键．
2.下列各数中，比3大比4小的无理数是( )
A. 3.14 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理数的定义找出无理数，再估算无理数的范围即可求解．
【详解】解：∵四个选项中是无理数的只有和，而17＞42，32＜12＜42
∴＞4，3＜＜4
∴选项中比3大比4小的无理数只有．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义和估算，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
3.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点逐项判断即可．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
A、手的对面是勤，所以本选项不符合题意；
B、手的对面是口，所以本选项符合题意；
C、手的对面是罩，所以本选项不符合题意；
D、手的对面是罩，所以本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方体相对面上的文字，属于常考题型，熟知正方体相对两个面的特征是解题的关键．
4.下列说法正确的是( )
A. 为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查．
B. 确定事件一定会发生．
C. 某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98．
D. 数据6、5、8、7、2的中位数是6．
【答案】D
【解析】
【分析】
可用普查的定义或适用范围判断A选项；根据确定事件的定义判断B选项；用众数的概念判断C选项；最后用中位数的定义判断D选项．
【详解】全国中小学生数量极大，不适合全面普查，为了解全国中小学生心理状况，应采用抽样调查方式，故A选项错误；
确定事件包括必然事件与不可能事件，不可能事件不会发生，故B选项错误；
众数为一组数据当中出现次数最多的数据，该组数据中98，99均分别出现两次，故众数为98，99，C选项错误；
将一组数据按数值大小顺序排列，位于中间位置的数值为该组数据的中位数，2，5，6，7，8中位数为6，故D选项正确；
综上：本题答案为D选项．
【点睛】本题考查统计知识当中的相关概念，解答本题关键是熟悉各概念的定义，按照定义逐项排除即可．
5.图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案．
【详解】解：∵S主，S左，
∴主视图的长，左视图的长，
则俯视图的两边长分别为：、，
S俯，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了已知三视图求边长，正确得出俯视图的边长是解题关键．
6.如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据规律求出小球的总个数,再将选项逐项化简求值即可解题.
【详解】解:由题可知求小球的总数的方法会按照不同的计数方法而规律不同,比如可以按照一共有12条棱,去掉首尾衔接处的小球,则每条棱上剩下12(m-2)个小球,加上衔接处的8个小球,则小球的个数为,
选项B中,故B,C,D均正确,
故本题选A.
【点睛】本题考查了图形的规律,合并同类项,需要学生具有较强的逻辑抽象能力,能够不重不漏的表示出小球的总数是解题关键.
7.中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是( )
A. 10 B. 89 C. 165 D. 294
【答案】D
【解析】
【分析】
类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可．
【详解】依题意，还在自出生后的天数是：
2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算．
8.如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
如图画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A，根据题意可得O＇B⊥OB、O＇A⊥OA，且OB=OA=O＇B=O＇A,得到四边形O＇BOA是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A
∵恰好与、相切
∴O＇B⊥OB、O＇A⊥OA
∵OB=OA=O＇B=O＇A,
∴四边形O＇BOA是正方形
∴∠O=90°
∴劣弧的长为．
故答案为B．
【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键．
9.如图，直线与抛物线交于A、B两点，则的图象可能是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题目所给的图像，首先判断中k＞0，其次判断中a＜0，b＜0，c＜0，再根据k、b、的符号判断中b-k＜0，又a＜0，c＜0可判断出图像．
【详解】解：由题图像得中k＞0，中a＜0，b＜0，c＜0，
∴b-k＜0，
∴函数对称轴x=＜0，交x轴于负半轴，
∴当时，即，
移项得方程，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不等的解，即与x轴有两个交点，
根据函数对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B正确．
故选：B
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是根据图像判断k、a、b、c的正负号，再根据二次函数与一元二次方程的关系判断出正确图像．
10.如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
①，先说明△OBD是等腰三角形，再由矩形的性质可得DE=BE，最后根据等腰三角形的性质即可判断；②证明△OFA≌△OBD即可判断；③过F作FH⊥AD，垂足为H,然后根据角平分线定理可得FH=FA,再求得∠HDF=45°，最后用三角函数即可判定；④连接AG,然后证明△OGA≌△ADE,最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判断．
【详解】解：①∵
∴△OBD是等腰三角形
∵四边形是矩形
∴DE=BE=BD，DA⊥OB
∴平分，OE⊥BD故①正确；
②∵OE⊥BD, DA⊥OB，即∠DAO=∠DAB
∴∠EDF+∠DFE=90°，∠AOF+∠AFO=90°
∵∠EDF=∠AOF
∵DA⊥OB，
∴OA=AD
在△OFA和△OBD中
∠EDF=∠AOF ,OA=AD,∠DAO=∠DAB
∴△OFA≌△OBD
∴OF=BD,即②正确；
③过F作FH⊥AD，垂足为H,
∵平分，DA⊥OB
∴FH=AF
∵，DA⊥OB
∴∠HDF=45°
∴sin∠HDF=,即；故③正确；
④由②得∠EDF=∠AOF，
∵GOF中点
∴OG=OF
∵DE=BE=BD，OF=BD
∴OG=DE
在△OGA和△AED中
OG=DE, ∠EDF=∠AOF，AD=OA
∴△OGA≌△AED
∴OG=EF,∠GAO=∠DAE
∴△GAE是等腰三角形
∵DA⊥OB
∴∠OAG+∠DAG=90°
∴∠DAE+∠DAG =90°,即∠GAE=90°
∴△GAE是等腰直角三角形，故④正确．
故答案为A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及解直角三角形等知识点，考查知识点较多，故灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是____________．
【答案】②③①
【解析】
【分析】
制作扇形统计图的一般步骤是：1、计算各部分在总体中所占的百分比；2、计算各个扇形的圆心角的度数；3、在圆中依次作出上面的扇形，并标出百分比；据此解答即可．
【详解】解：正确的统计顺序是：
②收集三个部分本班学生喜欢的人数；
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；
①绘制扇形统计图；
故答案为：②③①．
【点睛】本题考查了扇形统计图的相关知识，解题的关键明确制作扇形统计图的一般步骤．
12.如图，点与点关于直线对称，则______．
【答案】-5
【解析】
【分析】
根据点与点关于直线对称求得a，b的值，最后代入求解即可．
【详解】解：∵点与点关于直线对称
∴a=-2，,解得b=-3
∴a+b=-2+(-3)=-5
故答案为-5．
【点睛】本题考查了关于y=-1对称点的性质，根据对称点的性质求得a、b的值是解答本题的关键．
13.小明为测量校园里一颗大树的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪竖直放在与B相距的位置，在D处测得树顶A的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为_____．(结果精确到．参考数据：)
【答案】11m
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB，解直角三角形求出AE即可解决问题．
【详解】如图，过D作DE⊥AB，则四边形BCDE是矩形，
∴BC=DE，BE=CD，
∵ 在D处测得旗杆顶端A的仰角为52º，
∴∠ADE=52º，
∵BC=DE=8m，
∴AE=DE⋅tan52º≈8×1.28≈10.24m，
∴AB=AE+BE=AE+CD=10.24+1=11.24m≈11m.
∴AB约为：11m.
故答案为：11m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解答的关键．
14.如图，点A、B在反比函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是__________．
【答案】9
【解析】
【分析】
设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S四边形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可．
【详解】如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，
∵A、B的纵坐标分别是3和6，
代入函数关系式可得横坐标分别为4,2；
∴A(4,3)，B(2,6)；
∴AC=4，BD=2，CD=3
由反比例函数的几何意义可得S△BOD=S△AOC，
∴S四边形EBDC=S△AOE，
∴S△AOB=S四边形ABDC= ，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了反比例函数中三角形面积的求解，要能够熟练掌握反比例函数的性质和几何意义；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是．
15.已知的三边a、b、c满足，则的内切圆半径=____．
【答案】1
【解析】
【分析】
先将变形成，然后根据非负性的性质求得a、b、c的值，再运用勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形，最后根据直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可．
【详解】解：
则=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵42+32=52
∴△ABC是直角三角形
∴的内切圆半径==1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了非负数性质的应用、勾股定理逆定理的应用以及直角三角形内切圆的求法，掌握直角三角形内切圆半径的求法以及求得a、b、c的值是解答本题的关键．
16.已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是_________；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则_____，的值为______．
【答案】 (1). (2). (3).
【解析】
【分析】
联立直线和成方程组，通过解方程组，即可得到交点坐标；分别表示出直线和与x轴的交点，求得交点坐标即可得到三角形的边长与高，根据三角形面积公式进行列式并化简，即可得到直线和与x轴围成的三角形面积为的表达式，从而可得到和，再依据分数的运算方法即可得解．
【详解】解：联立直线与直线成方程组，
，
解得，
∴这两条直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是；
∵直线与x轴的交点为，
直线与x轴的交点为，
∴，
∴，
故答案为：；；
【点睛】本题考查了一次函数(k≠0，b为常数)的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0；也考查了坐标与线段的关系、三角形的面积公式以及分数的特殊运算方法．解题的关键是熟练掌握一次函数(k≠0，b为常数)的图象与性质，能灵活运用分数的特殊运算方法．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共72分)
17.计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】
先运用乘方、负整数指数幂、零次幂、立方根的知识化简，然后计算即可．
【详解】解：
=
=1．
【点睛】本题考查了乘方、负整数指数幂、零次幂、立方根等知识，掌握相关知识的运算法则是解答本题的关键．
18.求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算法则化简原式，再把x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
=，
当时，原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E．
(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)，补全图形；
(2)判断与交点的个数，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)与有1个交点，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据已知圆心和半径作圆、作已知角的平分线、过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的步骤作图即可；
(2)连接OD，由OB=OD，得到∠1=∠2，再由角平分线得出∠1=∠3，等量代换进而证出OD∥BA，根据两直线平行同旁内角互补，得到∠ODE=90°，由此得出OD是的切线，即与有1个交点.
【详解】解：(1)如下图，补全图形：
(2)如下图，连接OD，
∵点D在上，
∴OB=OD，
∴∠1=∠2，
又∵BM平分，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BA，
∴∠ODE+∠BED=180°，
∵
∴∠ODE=90°，
∴OD是的切线，
∴与有1个交点.
【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的判定，熟练掌握尺规作图的步骤及圆的切线的判定定理是解题的关键.
20.争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
| 等级 | 成绩/分 | 频数 |
| A | a | |
| B | 8 | |
| C | 5 | |
| D | 4 |
根据以上信息，解答下列问题．
(1)填空：_______，______；
(2)若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级人数；
(3)已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1)3，40；(2)660人；(3)
【解析】
【分析】
(1)用20分别减去其它三个等级的人数即为a的值，用B等级的频数除以20即可求出b的值；
(2)用A、B两个等级的人数之和除以20再乘以1200计算即可；
(3)先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式解答．
【详解】解：(1)；
8÷20=40%，∴b=40；
故答案为：3，40；
(2)人；
答：估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数是660人；
(3)记A等级中的2名女生为M、N，1名男生为Y，所有可能的情况如图所示：
由上图可知：共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有4种，
∴恰好抽到一男一女的概率=．
【点睛】本题考查了频数分布表、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
21.如图，中，，D、E分别是边、的中点．将绕点E旋转180度，得．
(1)判断四边形的形状，并证明；
(2)已知，，求四边形的面积S．
【答案】(1)菱形，理由见解析；(2)6
【解析】
【分析】
(1)根据三角形中位线定理可得，根据旋转的性质，，可证明四边形是平行四边形，再根据，D、E分别是边、的中点，可知，所以四边形是菱形；
(2)由(1)得菱形的对角线互相垂直平分，再根据，可得到，利用勾股定理可求出BO和AO，再根据菱形的面积求解公式计算即可；
【详解】(1)四边形ABCD菱形，理由如下：
∵D、E分别是边、的中点，
∴，
又∵绕点E旋转180度后得，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)如图，连接AD、BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD与BF相互垂直且平分，
又∵，
∴，
令，，
在Rt△ABO中，，
∴,
即，
解得：，，
即由图可知，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质综合应用，准确理解中位线定理和旋转性质是解题的关键．
22.某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
| 原进价(元/张) | 零售价(元/张) | 成套售价(元/套) | |
| 餐桌 | a | 380 | 940 |
| 餐椅 | 160 |
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
(1)求表中a的值；
(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)a=260；(2)购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
【解析】
【分析】
(1)用含a的代数式分别表示出600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量，再根据二者数量相等即可列出关于a的方程，解方程并检验即得结果；
(2)设购进餐桌x张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求出x的取值范围，再根据“总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，然后根据一次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：(1)根据题意，得：，
解得：a=260，
经检验：a=260是所列方程的解，
∴a=260；
(2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x+20)张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．
∵a＝260，∴餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张．
依题意可知：
W＝x×(940﹣260﹣4×120)+x×(380﹣260)+(5x+20﹣x×4)×(160﹣120)＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝30时，W取最大值，最大值为9200元．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，解题的关键是：(1)正确理解题意、由数量相等得出关于a的分式方程；(2)根据数量关系找出W关于x的函数解析式，灵活应用一次函数的性质．
23.如图，在梯形中，，，，．P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过点P作交射线于点E．
聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
(1)通过推理，他发现，请你帮他完成证明．
(2)利用几何画板，他改变的长度，运动点P，得到不同位置时，、的长度的对应值：
当时，得表1：
| … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | |
| … | 0.83 | 1.33 | 1.50 | 133 | 0.83 | … |
当时，得表2：
| … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … | |
| … | 1.17 | 2.00 | 2.50 | 2.67 | 2.50 | 2.00 | 1.17 | … |
这说明，点P在线段上运动时，要保证点E总在线段上，的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在和的长度这两个变量中，_____的长度为自变量，_____的长度为因变量；
②设，当点P在线段上运动时，点E总在线段上，求m取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)①BP，CE；②0＜m≤
【解析】
【分析】
(1)由同角的余角相等可得∠APB＝∠CEP，又因为∠B＝∠C＝90°，即可证得相似；
(2)①由题意可得随着P点的变化，CE的长度在变化，即可判断自变量和因变量；
②设BP的长度为xcm，CE的长度为ycm，由△ABP∽△PCE，利用对应边成比例求出y与x的函数关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；
【详解】解：(1)证明：∵，
∴∠APE＝90°，
∵∠APB＋∠CPE＝90°，∠CEP＋∠CPE＝90°，
∴∠APB＝∠CEP，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCE；
(2)①由题意可得随着P点的变化，CE的长度在变化，所以BP的长度为自变量，CE的长度为因变量；
故答案为：BP，CE；
②设BP的长度为xcm，CE的长度为ycm，
∵△ABP∽△PCE，
∴，即，
∴y＝
＝，
∴当x＝时，y取得最大值，最大值为，
∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，
∴≤2，
解得m≤，
∴m的取值范围为：0＜m≤．
【点睛】本题考察了代数几何综合题、相似三角形的判定与性质、梯形的性质、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第(2)问中求m取值范围时二次函数性质的应用．
24.(1)【阅读与证明】
如图1，在正的外角内引射线，作点C关于的对称点E(点E在内)，连接，、分别交于点F、G．
①完成证明：点E是点C关于的对称点，
，，．
正中，，，
，得．
在中，，______．
在中，，______．
②求证：．
(2)【类比与探究】
把(1)中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①______；
②线段、、之间存在数量关系___________．
(3)【归纳与拓展】
如图3，点A在射线上，，，在内引射线，作点C关于的对称点E(点E在内)，连接，、分别交于点F、G．则线段、、之间的数量关系为__________．
【答案】(1)①60°，30°；②证明见解析；(2)①45°；②BF=(AF+FG)；(3) ．
【解析】
【分析】
(1)①根据等量代换和直角三角形的性质即可确定答案；②在FB上取AN=AF，连接AN．先证明△AFN是等边三角形，得到 ∠BAN=∠2=∠1，然后再证明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性质以及线段的和差即可证明；
(2)类比(1)的方法即可作答；
(3)根据(1)(2)的结论，即可总结出答案．
【详解】解：(1)①∵，，
∴，即60°；
∵
∴
故答案为60°，30°；
②在FB上取FN=AF，连接AN
∵∠AFN=∠EFG=60°
∴△AFN是等边三角形
∴AF=FN=AN
∵FN=AF
∴∠BAC=∠NAF=60°
∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2
∴∠BAN=∠2
∵点C关于的对称点E
∴∠2=∠1,AC=AE
∴∠BAN=∠2=∠1
∵AB=AC
∴AB=AE
在△ABN和△AEF
FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE
∴△ABN≌△AEF
∴BN=EF
∵AG⊥CE，∠FEG=30°
∴EF=2FG
∴BN=EF=2FG
∵BF=BN+NF
∴BF=2FG+AF
(2)①点E是点C关于的对称点，
，，．
正方形ABCD中，，，
，得．
在中，，
45．
在中，，
45．
故答案为45°；
②在FB上取FN=AF，连接AN
∵∠AFN=∠EFG=45°
∴△AFN是等腰直角三角形
∴∠NAF=90°，AF=AN
∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF
∴∠BAN=∠2
∵点C关于的对称点E
∴∠2=∠1,AC=AE
∴∠BAN=∠2=∠1
∵AB=AC
∴AB=AE
在△ABN和△AEF
FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE
∴△ABN≌△AEF
∴BN=EF
∵AG⊥CE，∠FEG=45°
∴EF=FG
∴BN=EF=FG
∵BF=BN+NF
∴BF=FG+AF
(3)由(1)得：当∠BAC=60°时
BF=AF+2FG= ；
由(2)得：当∠BAC=90°时
BF=AF+2FG=；
以此类推，当当∠BAC= 60°时， ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数的应用，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
25.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
【答案】(1)；(2)存在点P，坐标为(2，-3)；(3)
【解析】
【分析】
(1)分别求出A、B坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线，即可得出其解析式；
(2)首先假设存在点P，然后根据面积相等构建等式，看是否有解，即可得解；
(3)首先设点M坐标，根据面积最大构建二次函数求最大值得出点M坐标，然后设点N坐标，再次构建二次函数求最小值，即可得解．
【详解】(1)由题意，令，即
∴A的坐标为(4,0)
令，即
∴B的坐标为(0，-2)
将A、B、C三点坐标代入抛物线，得
解得
∴抛物线解析式为：；
(2)假设存在该点P，设其坐标为(a，)
∵A的坐标为(4,0)，B的坐标为(0，-2)
∴OA=4，OB=2，，
∴点P到直线的距离为
∵
∴
∴
∴存在这样的点P，点P的坐标为(2，-3)
(3)设M坐标为
当的面积最大时，即
的面积最大为4，
∴M坐标为
设N的坐标为
当时，有最小值，
其值为.
【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的综合运用，熟练掌握，即可解题．
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