浙江省金华市、丽水市2020年中考数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.有理数3的相反数是( )
A. ﹣3 B. ﹣ C. 3 D.
【答案】A
【解析】
分析】
依据相反数的定义求解即可．
【详解】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义．只有符号不同的两个数称互为相反数．
2.分式的值是零，则x的值为( )
A 5 B. 2 C. －2 D. －5
【答案】D
【解析】
【分析】
分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：依题意，得
x+5=0，且x-2≠0，
解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0．这两个条件缺一不可．
3.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平方差公式的特点分析即可．
【详解】解：A、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、不能运用平方差公式分解，故此选项错误：
C、能运用平方差公式分解，故此选项正确：
D、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故答案为C．
【点睛】本题考查了平方差公式和因式分解，运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式、两项都能写成平方的形式且符号相反．
4.下列四个图形中，是中心对称图形的是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称的图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形．
【详解】A选项不是中心对称图形，故本选项错误；
B选项不是中心对称图形，故本选项错误；
C选项是中心对称图形，故本选项错误；
D选项不是中心对称图形，故本选项错误；
故本题答案选C．
【点睛】本题主要考查的是中心对称图形的定义，理解定义是解本题的关键．
5.如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：∵共有6张卡片，其中写有1号的有3张，
∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是，
故选：A．
【点睛】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
6.如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是( )
A. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线两条直线互相平行
C. 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】
根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：
∵由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴∠1=∠2
∴a∥b
所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7.已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数的图象上，则下列判断正确的是( )
A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. a＜c＜b D. c＜b＜a
【答案】C
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则，．
【详解】解：，
函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，
，，
．
故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8.如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是( )
A. 65° B. 60° C. 58° D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=∠EOF=60°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x，则列出方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．
【详解】解：设“□”内数字为x，根据题意可得：
3×(20+x)+5=10x+2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键．
10.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
证明，得出．设，则，，由勾股定理得出，则可得出答案．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
设，
为，的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
二、填空题 (本题有6小题，每小题4分，共24分)
11.点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．
【答案】－1(答案不唯一，负数即可)
【解析】
【分析】
根据第二象限的点符号是“-，+”，m取负数即可．
【详解】∵点P(m，2)在第二象限内，
∴，
m取负数即可，如m=-1，
故答案为：－1(答案不唯一，负数即可)．
【点睛】本题考查了已知点所在象限求参数，属于基础题，掌握第二象限点坐标的符号是“-，+”是解题的关键．
12.数据1，2，4，5，3的中位数是______．
【答案】3
【解析】
【分析】
先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数．
【详解】解：数据1，2，4，5，3按照从小到大排列是1，2，3，4，5，
则这组数据的中位数是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数．
13.如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为______cm2.
【答案】20
【解析】
【分析】
根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积．
【详解】解：该几何体的主视图是一个长为5，宽为4的矩形，所以该几何体主视图的面积为20cm2．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
14.如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是______°．
【答案】30
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：30．
【点睛】此题考查平行四边形的性质和多边形的内角和，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
15.如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a，然后再.求出BH、AH即可解答．
【详解】解：如图，作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a
观察图像可知：
所以tanβ＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键在于正确添加常用辅助线、构造直角三角形求解．
16.图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD(点A与点B重合)，点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是_____ cm．
(2)当夹子的开口最大(点C与点D重合)时，A，B两点的距离为_____cm．
【答案】 (1). 16 (2).
【解析】
【分析】
(1)当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根据矩形的性质求出周长即可．
(2)当夹子的开口最大(点C与D重合)时，连接OC并延长交AB于点H，可得，AH=BH，利用已知先求出，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的长，由，求出AH，从而求出AB=2AH的长．
【详解】(1)当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=EF=2cm，
∴以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm．
(2)当夹子的开口最大(点C与D重合)时，连接OC并延长交AB于点H，
∴，AH=BH，
∵AC=BD=6cm，CE∶AE=2∶3，
∴，
在Rt△OEF中，，
∵，，
∴AB=2AH=．
故答案为16，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关键．
三、解答题 (本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程)
17.计算：
【答案】5
【解析】
【分析】
利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．
【详解】解：原式．
【点睛】此题主要考查了实数运算，关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质．
18.解不等式：
【答案】x <3
【解析】
【分析】
去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得即可．
【详解】解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
19.某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一项)，得到如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息回答下列问题：
| 类别 | 项 目 | 人数 |
| A | 跳绳 | 59 |
| B | 健身操 | ▲ |
| C | 俯卧撑 | 31 |
| D | 开合跳 | ▲ |
| E | 其它 | 22 |
(1)求参与问卷调查的学生总人数．
(2)在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？
(3)该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．
【答案】(1)200;(2)48;(3)1600
【解析】
【分析】
(1)从统计图表中可得，“E组 其它”的频数为22，所占的百分比为11%，可求出调查学生总数；
(2)“开合跳”的人数占调查人数的24%，即可求出最喜爱“开合跳”的人数；
(3)求出“健身操”所占的百分比，用样本估计总体，即可求出8000人中喜爱“健身操”的人数．
【详解】解：(1)22÷11%＝200.
∴参与问卷调查的学生总人数为200人.
(2)200×24%＝48.
答:最喜爱“开合跳”的学生有48人.
(3)抽取学生中最喜爱“健身操”的初中学生有200－59－31－48－22＝40(人)，
.
∴最喜爱“健身操”初中学生人数约为1600人.
【点睛】本题考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中的数量之间的关是解决问题的关键．
20.如图，的半径OA=2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
(1)求弦AB的长．
(2)求的长．
【答案】(1)2;(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意和垂径定理，可以求得的长，然后即可得到的长；
(2)根据，可以得到的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：(1)的半径，于点，，
，
；
(2)，，
，
，
的长是：．
【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象解决下列问题：
(1)求高度为5百米时的气温．
(2)求T关于h的函数表达式．
(3)测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．
【答案】(1)12℃;(2)T＝－0.6h＋15;(2)15;(3)该山峰的高度大约为15百米
【解析】
【分析】
(1)根据高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，由3百米时温度为13.2°C，即可得出高度为5百米时的气温；
(2)应用待定系数法解答即可；
(3)根据(2)T＝－0.6h＋15的结论，将T＝6代入，解答即可．
【详解】解：(1)由题意得 高度增加2百米，则温度降低2×0.6＝1.2(℃).
∴13.2－1.2＝12
∴高度为5百米时的气温大约是12℃.
(2)设T=-0.6h+b(k≠0)，
当h＝3时，T＝13.2，
13.2=－0.63+b，
解得 b=15.
∴T＝－0.6h＋15.
(3)当T＝6时，6＝－0.6h＋15，
解得h＝15.
∴该山峰的高度大约为15百米.
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22.如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
(1)求BC边上的高线长．
(2)点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
【答案】(1)4;(2)①90°；②
【解析】
【分析】
(1)如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
(2)①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
②如图3中，由(1)可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．
【详解】解：(1)如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，==4.
(2)①如图2，∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP.
又∵AE＝BE ，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠AEP＝90°.
②如图3，由(1)可知：在Rt△ADC中，.
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°.
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AF＝,
在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝.
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上．
(1)当m=5时，求n的值．
(2)当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y时，自变量x的取值范围．
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
【答案】(1)-4(2)1≤x≤5(3)0≤m＜1或1＜m＜2
【解析】
【分析】
1)利用待定系数法求解即可．
(2)求出时，的值即可判断．
(3)由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．
【详解】解：(1)当时，，
当时，．
(2)当时，将代入函数表达式，得，
解得或(舍弃)，
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．
(3)点与点不重合，
，
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，
当点与重合时，，
解得或，
当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，
点在线段上时，的取值范围是：或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题．
24.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F， 已知OB=8．
(1)求证：四边形AEFD为菱形．
(2)求四边形AEFD的面积．
(3)若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P， Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)48；(3)点P的坐标为(12，0)，(24，0)，(，0)，(，0)，(16，0)
【解析】
【分析】
(1)结合正方形性质求得△ACE≌△ABD，从而得到AE=AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
(2)连接DE，求出△ADE的面积即可解决问题．
(3)首先证明AK=3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形．②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形．③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】(1)∵DF∥AE，EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵四边形ABOC是正方形，
∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°.
∵点D，E是OB，OC的中点，
∴CE＝BD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴AE＝AD，
∴是菱形
(2)如图1，连结DE
∵S△ABD＝AB·BD＝， S△ODE＝OD·OE＝，
∴S△AED＝S正方形ABOC－2 S△ABD－ S△ODE＝64－2－8＝24，
∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48
(3)由图1，连结AF与DE相交于点K，易得△ADK的两直角边之比为1:3
1)当AP为菱形一边时，点Q在x轴上方，有图2、图3两种情况：
如图2，AG与PQ交于点H，
∵菱形PAQG∽菱形ADFE，
∴△APH的两直角边之比为1:3
过点H作HN⊥x轴于点N，交AC于点M，设AM=t
∵HN∥OQ，点H是PQ的中点，
∴点N是OP中点，
∴HN是△OPQ的中位线，
∴ON＝PN＝8－t
又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠AMH＝90°，
∴△HMA∽△PNH，
∴＝＝ ，
∴HN＝3AM＝3t，
∴MH＝MN－NH＝8－3t.
∵PN＝3MH，
∴8－t =3(8－3t)，解得t＝2
∴OP＝2ON＝2(8－t)＝12
∴点P的坐标为(12，0)
如图3，△APH的两直角边之比为1:3
过点H作HI⊥y轴于点I，过点P作PN⊥x轴交IH于点N，延长BA交IN于点M
∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠AMH＝∠PNH，
∴△AMH∽△HNP，
∴＝＝，设MH＝t，
∴PN＝3MH＝3t，
∴AM＝BM－AB＝3t－8，
∴HN＝3AM＝3(3t－8) ＝9t－24
又∵HI是△OPQ的中位线，
∴OP＝2IH，
∴HI＝HN，
∴8＋t＝9t－24，解得 t＝4
∴OP＝2HI＝2(8＋t)＝24，
∴点P的坐标为(24，0)
2)当AP为菱形一边时，点Q在x轴下方，有图4、图5两种情况：
如图4，△PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥HM于点N
∵MH是△QAC的中位线，
∴HM＝＝4
又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠HMQ＝∠N，
∴△HPN∽△QHM，
∴＝＝，则PN＝＝，
∴OM＝
设HN＝t，则MQ＝3t
∵MQ＝MC，
∴3t＝8－，解得t＝
∴OP＝MN＝4＋t＝，
∴点P的坐标为(，0)
如图5，△PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥x轴于点M，交AC于点I，过点Q作NQ⊥HM于点N
∵IH是△ACQ的中位线，
∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4
∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PMH＝∠QNH，
∴△PMH∽△HNQ，
∴＝＝＝，则MH＝NQ＝
设PM＝t，则HN＝3t，
∵HN＝HI，
∴3t＝8+，解得 t＝
∴OP＝OM－PM＝QN－PM＝4－t＝，
∴点P的坐标为(，0)
3)当AP为菱形对角线时，有图6一种情况：
如图6，△PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥y轴于点M，交AB于点I，过点P作PN⊥HM于点N
∵HI∥x轴，点H为AP的中点，
∴AI＝IB＝4，
∴PN＝4
∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠QMH＝90°，
∴△PNH∽△HMQ，
∴＝＝＝，则MH＝3PN＝12，HI＝MH－MI＝4
∵HI是△ABP的中位线，
∴BP＝2HI＝8，即OP＝16，
∴点P的坐标为(16，0)
综上所述，点P的坐标为(12，0)，(24，0)，(，0)，(，0)，(16，0)．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找相似三角形，利用相似三角形的性质构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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