2020年各科中考真题2020年浙江省杭州市中考数学试卷（教师版含解析）

2020年浙江省杭州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题(共10小题)

1． × ＝(　　)

A． B． C． D．3

【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．

【解答】解： × ＝ ，

故选：B．

2．(1+y)(1﹣y)＝(　　)

A．1+y² B．﹣1﹣y² C．1﹣y² D．﹣1+y²

【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．

【解答】解：(1+y)(1﹣y)＝1﹣y²．

故选：C．

3．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费(　　)

A．17元 B．19元 C．21元 D．23元

【分析】根据题意列出算式计算，即可得到结果．

【解答】解：根据题意得：13+(8﹣5)×2＝13+6＝19(元)．

则需要付费19元．

故选：B．

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(　　)

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB

【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，

∴sinB＝ ，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；

tanB＝ ，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．

故选：B．

5．若a＞b，则(　　)

A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1

【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．

【解答】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；

B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；

C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；

D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．

故选：C．

6．在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a(a≠0)的图象过点P(1，2)，则该函数的图象可能是(　　)

A． B．

C． D．

【分析】求得解析式即可判断．

【解答】解：∵函数y＝ax+a(a≠0)的图象过点P(1，2)，

∴2＝a+a，解得a＝1，

∴y＝x+1，

∴直线交y轴的正半轴，且过点(1，2)，

故选：A．

7．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则(　　)

A．y＞z＞x B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．z＞y＞x

【分析】根据题意，可以判断x、y、z的大小关系，从而可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

y＞z＞x，

故选：A．

8．设函数y＝a(x﹣h)²+k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，(　　)

A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0

C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0

【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a(9﹣2h)＝1，将h的值分别代入即可得出结果．

【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得： ，

∴a(8﹣h)²﹣a(1﹣h)²＝7，

整理得：a(9﹣2h)＝1，

若h＝4，则a＝1，故A错误；

若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；

若h＝6，则a＝﹣ ，故C正确；

若h＝7，则a＝﹣ ，故D错误；

故选：C．

9．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则(　　)

A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°

【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．

【解答】解：∵OA⊥BC，

∴∠AOB＝∠AOC＝90°，

∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，

∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，

∵∠AOD+∠COD＝90°，

∴β+180°﹣2α＝90°，

∴2α﹣β＝90°，

故选：D．

10．在平面直角坐标系中，已知函数y₁＝x²+ax+1，y₂＝x²+bx+2，y₃＝x²+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b²＝ac．设函数y₁，y₂，y₃的图象与x轴的交点个数分别为M₁，M₂，M₃，(　　)

A．若M₁＝2，M₂＝2，则M₃＝0 B．若M₁＝1，M₂＝0，则M₃＝0

C．若M₁＝0，M₂＝2，则M₃＝0 D．若M₁＝0，M₂＝0，则M₃＝0

【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．

【解答】解：选项B正确．

理由：∵M₁＝1，M₂＝0，

∴a²﹣4＝0，b²﹣8＜0，

∵a，b，c是正实数，

∴a＝2，

∵b²＝ac，

∴c＝ b²，

对于y₃＝x²+cx+4，

则有△＝c²﹣16＝ b²﹣16＝ (b²﹣64)＜0，

∴M₃＝0，

∴选项B正确，

故选：B．

二．填空题(共6小题)

11．若分式 的值等于1，则x＝　0　．

【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．

【解答】解：由分式 的值等于1，得

＝1，

解得x＝0，

经检验x＝0是分式方程的解．

故答案为：0．

12．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　20°　．

【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABF+∠EFC＝180°，

∵∠EFC＝130°，

∴∠ABF＝50°，

∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，

∴∠A＝20°．

故答案为：20°．

13．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　﹣ 　．

【分析】根据完全平方公式得到(x+y)²＝x²+2xy+y²＝1，(x﹣y)²＝x²﹣2xy+y²＝4，两式相减即可求解．

【解答】解：(x+y)²＝x²+2xy+y²＝1，(x﹣y)²＝x²﹣2xy+y²＝4，

两式相减得4xy＝﹣3，

解得xy＝﹣ ，

则P＝﹣ ．

故答案为：﹣ ．

14．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝ ，则tan∠BOC＝　 　．

【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝ ＝ ＝2 x，于是得到结论．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，

∴AB⊥BC，

∴∠ABC＝90°，

∵sin∠BAC＝ ＝ ，

∴设BC＝x，AC＝3x，

∴AB＝ ＝ ＝2 x，

∴OB＝ AB＝ x，

∴tan∠BOC＝ ＝ ，

故答案为： ．

15．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有编号不同)，编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是　 　．

【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：根据题意画图如下：

共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，

则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 ＝ ．

故答案为： ．

16．如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝　2　，BE＝　 ﹣1　．

【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，根据折叠的性质得到CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，根据全等三角形的性质得到DF＝AE＝2；根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，

∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，

∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，

∴CF＝AD，∠CFD＝90°，

∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，

∴∠ADF＝∠DCF，

∴△ADE≌△FCD(ASA)，

∴DF＝AE＝2；

∵∠AFE＝∠CFD＝90°，

∴∠AFE＝∠DAE＝90°，

∵∠AEF＝∠DEA，

∴△AEF∽△DEA，

∴ ，

∴ ＝ ，

∴EF＝ ﹣1(负值舍去)，

∴BE＝EF＝ ﹣1，

故答案为：2， ﹣1．

三．解答题(共7小题)

17．以下是圆圆解方程 ＝1的解答过程．

解：去分母，得3(x+1)﹣2(x﹣3)＝1．

去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．

【解答】解：圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：

3(x+1)﹣2(x﹣3)＝6．

去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

18．某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值)．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．

(1)求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；

(2)在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？

【分析】(1)根据题意列式计算即可；

(2)分别求得3月份生产的产品中，不合格的件数和4月份生产的产品中，不合格的件数比较即可得到结论．

【解答】解：(1)(132+160+200)÷(8+132+160+200)×100%＝98.4%，

答：4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%；

(2)估计4月份生产的产品中，不合格的件数多，

理由：3月份生产的产品中，不合格的件数为5000×2%＝100，

4月份生产的产品中，不合格的件数为10000×(1﹣98.4%)＝160，

∵100＜160，

∴估计4月份生产的产品中，不合格的件数多．

19．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．

(1)求证：△BDE∽△EFC．

(2)设 ，

①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

【分析】(1)由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；

(2)①由平行线的性质得出 ＝ ＝ ，即可得出结果；

②先求出 ＝ ，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．

【解答】(1)证明：∵DE∥AC，

∴∠DEB＝∠FCE，

∵EF∥AB，

∴∠DBE＝∠FEC，

∴△BDE∽△EFC；

(2)解：①∵EF∥AB，

∴ ＝ ＝ ，

∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，

∴ ＝ ，

解得：BE＝4；

②∵ ＝ ，

∴ ＝ ，

∵EF∥AB，

∴△EFC∽△BAC，

∴ ＝( )²＝( )²＝ ，

∴S_△ABC＝ S_△EFC＝ ×20＝45．

20．设函数y₁＝ ，y₂＝﹣ (k＞0)．

(1)当2≤x≤3时，函数y₁的最大值是a，函数y₂的最小值是a﹣4，求a和k的值．

(2)设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y₁＝p；当x＝m+1时，y₁＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？

【分析】(1)由反比例函数的性质可得 ，①；﹣ ＝a﹣4，②；可求a的值和k的值；

(2)设m＝m₀，且﹣1＜m₀＜0，将x＝m₀，x＝m₀+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．

【解答】解：(1)∵k＞0，2≤x≤3，

∴y₁随x的增大而减小，y₂随x的增大而增大，

∴当x＝2时，y₁最大值为 ，①；

当x＝2时，y₂最小值为﹣ ＝a﹣4，②；

由①，②得：a＝2，k＝4；

(2)圆圆的说法不正确，

理由如下：设m＝m₀，且﹣1＜m₀＜0，

则m₀＜0，m₀+1＞0，

∴当x＝m₀时，p＝y₁＝ ，

当x＝m₀+1时，q＝y₁＝ ＞0，

∴p＜0＜q，

∴圆圆的说法不正确．

21．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设 ＝λ(λ＞0)．

(1)若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．

(2)连接EG，若EG⊥AF，

①求证：点G为CD边的中点．

②求λ的值．

【分析】(1)根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；

(2)①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立；

②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．

【解答】解：(1)∵在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAG＝∠F，

又∵AG平分∠DAE，

∴∠DAG＝∠EAG，

∴∠EAG＝∠F，

∴EA＝EF，

∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，

∴BE＝EC＝1，

∴AE＝ ＝ ，

∴EF＝ ，

∴CF＝EF﹣EC＝ ﹣1；

(2)①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，

∴AG＝FG，

在△ADG和△FCG中

，

∴△ADG≌△FCG(AAS)，

∴DG＝CG，

即点G为CD的中点；

②设CD＝2a，则CG＝a，

由①知，CF＝DA＝2a，

∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，

∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，

∴∠EGC＝∠F，

∴△EGC∽△GFC，

∴ ，

∵GC＝a，FC＝2a，

∴ ，

∴ ，

∴EC＝ a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣ a＝ a，

∴λ＝ ．

22．在平面直角坐标系中，设二次函数y₁＝x²+bx+a，y₂＝ax²+bx+1(a，b是实数，a≠0)．

(1)若函数y₁的对称轴为直线x＝3，且函数y₁的图象经过点(a，b)，求函数y₁的表达式．

(2)若函数y₁的图象经过点(r，0)，其中r≠0，求证：函数y₂的图象经过点( ，0)．

(3)设函数y₁和函数y₂的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．

【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可．

(2)函数y₁的图象经过点(r，0)，其中r≠0，可得r²+br+a＝0，推出1+ + ＝0，即a( )²+b• +1＝0，推出 是方程ax²+bx+1的根，可得结论．

(3)由题意a＞0，∴m＝ ，n＝ ，根据m+n＝0，构建方程可得结论．

【解答】解：(1)由题意，得到﹣ ＝3，解得b＝﹣6，

∵函数y₁的图象经过(a，﹣6)，

∴a²﹣6a+a＝﹣6，

解得a＝2或3，

∴函数y₁＝x²﹣6x+2或y₁＝x²﹣6x+3．

(2)∵函数y₁的图象经过点(r，0)，其中r≠0，

∴r²+br+a＝0，

∴1+ + ＝0，

即a( )²+b• +1＝0，

∴ 是方程ax²+bx+1的根，

即函数y₂的图象经过点( ，0)．

(3)由题意a＞0，∴m＝ ，n＝ ，

∵m+n＝0，

∴ + ＝0，

∴(4a﹣b²)(a+1)＝0，

∵a+1＞0，

∴4a﹣b²＝0，

∴m＝n＝0．

23．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．

(1)设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．

(2)连接BF，DF，设OB与EF交于点P，

①求证：PE＝PF．

②若DF＝EF，求∠BAC的度数．

【分析】(1)解直角三角形求出AB，再证明∠AFB＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．

(2)①过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．想办法证明四边形OEHF是平行四边形可得结论．

②想办法证明FD＝FB，推出FO⊥BD，推出△AOB是等腰直角三角形即可解决问题．

【解答】(1)解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，

∴∠AOE＝60°，OE＝ OA＝ ，AE＝EB＝ OE＝ ，

∵AC是直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠C＝60°，

∵OC＝OB，

∴△OCB是等边三角形，

∵OF＝FC，

∴BF⊥AC，

∴∠AFB＝90°，

∵AE＝EB，

∴EF＝ AB＝ ．

(2)①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．

∵∠FGA＝∠ABC＝90°，

∴FG∥BC，

∴△OFH∽△OCB，

∴ ＝ ＝ ，同理 ＝ ，

∴FH＝OE，

∵OE⊥AB．FH⊥AB，

∴OE∥FH，

∴四边形OEHF是平行四边形，

∴PE＝PF．

②∵OE∥FG∥BC，

∴ ＝ ＝1，

∴EG＝GB，

∴EF＝FB，

∵DF＝EF，

∴DF＝BF，

∵DO＝OB，

∴FO⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝45°．

 

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