2020年各科中考真题2020年重庆市中考数学试卷（B卷）（教师版含解析）

2020年重庆市中考数学试卷(B卷)

参考答案与试题解析

一．选择题(共12小题)

1．5的倒数是(　　)

A．5 B． C．﹣5 D．﹣

【分析】根据倒数的定义，可得答案．

【解答】解：5得倒数是 ，

故选：B．

2．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是(　　)

A． 长方体 B． 圆柱体

C． 球体 D． 圆锥体

【分析】根据平面与曲面的概念判断即可．

【解答】解：A、六个面都是平面，故本选项正确；

B、侧面不是平面，故本选项错误；

C、球面不是平面，故本选项错误；

D、侧面不是平面，故本选项错误；

故选：A．

3．计算a•a²结果正确的是(　　)

A．a B．a² C．a³ D．a⁴

【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．

【解答】解：a•a²＝a¹⁺²＝a³．

故选：C．

4．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为(　　)

A．65° B．55° C．45° D．35°

【分析】根据切线的性质得到∠OAB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．

【解答】解：∵AB是⊙O的切线，

∴OA⊥AB，

∴∠OAB＝90°，

∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°，

故选：B．

5．已知a+b＝4，则代数式1+ + 的值为(　　)

A．3 B．1 C．0 D．﹣1

【分析】将a+b的值代入原式＝1+ (a+b)计算可得．

【解答】解：当a+b＝4时，

原式＝1+ (a+b)

＝1+ ×4

＝1+2

＝3，

故选：A．

6．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为(　　)

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5

【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．

【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，

∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．

∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，

∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，

故选：C．

7．小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为(　　)

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】设还可以买x个作业本，根据总价＝单价×数量结合总价不超过40元，即可得出关系x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．

【解答】解：设还可以买x个作业本，

依题意，得：2.2×7+6x≤40，

解得：x≤4 ．

又∵x为正整数，

∴x的最大值为4．

故选：B．

8．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为(　　)

A．18 B．19 C．20 D．21

【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第n个图形中实心圆点的个数为2n+n+2，据此求解可得．

【解答】解：∵第①个图形中实心圆点的个数5＝2×1+3，

第②个图形中实心圆点的个数8＝2×2+4，

第③个图形中实心圆点的个数11＝2×3+5，

……

∴第⑥个图形中实心圆点的个数为2×6+8＝20，

故选：C．

9．如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A，B，C在同一直线上)，再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为(　　)

(参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)

A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米

【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．

【解答】解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，

∵斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1：2.4，BE＝CD＝78米，

∴设EF＝x，则DF＝2.4x．

在Rt△DEF中，

∵EF²+DF²＝DE²，即x²+(2.4x)²＝78²，

解得x＝30，

∴EF＝30米，DF＝72米，

∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．

∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，

∴四边形EFCM是矩形，

∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．

在Rt△AEM中，

∵∠AEM＝43°，

∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，

∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．

∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．

故选：D．

10．若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≥5，且关于y的分式方程 + ＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为(　　)

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0

【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．

【解答】解：不等式组整理得： ，

由解集为x≥5，得到2+a≤5，即a≤3，

分式方程去分母得：y﹣a＝﹣y+2，即2y﹣2＝a，

解得：y＝ +1，

由y为非负整数，且y≠2，得到a＝0，﹣2，之和为﹣2，

故选：B．

11．如图，在△ABC中，AC＝2 ，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为(　　)

A． B．3 C．2 D．4

【分析】延长BC交AE于H，由折叠的性质∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°，由外角的性质可求∠AED＝∠EAC，可得AC＝EC，由“SAS”可证△ABC≌△EBC，可得AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．

【解答】解：如图，延长BC交AE于H，

∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，

∴∠ACB＝120°，

∵将△ACB沿直线AC翻折，

∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°，

∵∠DAE＝∠DAC，

∴∠DAE＝∠DAC＝15°，

∴∠CAE＝30°，

∵∠ADC＝∠DAE+∠AED，

∴∠AED＝45°﹣15°＝30°，

∴∠AED＝∠EAC，

∴AC＝EC，

又∵∠BCE＝360°﹣∠ACB﹣∠ACE＝120°＝∠ACB，BC＝BC，

∴△ABC≌△EBC(SAS)，

∴AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°，

∴∠ABE＝90°，

∵AB＝BE，∠ABC＝∠EBC，

∴AH＝EH，BH⊥AE，

∵∠CAE＝30°，

∴CH＝ AC＝ ，AH＝ CH＝ ，

∴AE＝2 ，

∵AB＝BE，∠ABE＝90°，

∴BE＝ ＝2 ，

故选：C．

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(﹣2，3)，AD＝5，若反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象经过点B，则k的值为(　　)

A． B．8 C．10 D．

【分析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC＝90°，根据勾股定理得到AE＝ ＝4，根据矩形的性质得到AD＝BC，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝4，求得AF＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，

∴∠BHC＝90°，

∵点D(﹣2，3)，AD＝5，

∴DE＝3，

∴AE＝ ＝4，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，

∴∠BCD＝∠ADC＝90°，

∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，

∴∠CBH＝∠DCH，

∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，

∠CPD＝∠APO，

∴∠DCP＝∠DAE，

∴∠CBH＝∠DAE，

∵∠AED＝∠BHC＝90°，

∴△ADE≌△BCH(AAS)，

∴BH＝AE＝4，

∵OE＝2，

∴OA＝2，

∴AF＝2，

∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，

∴∠APO＝∠BAF，

∴△APO∽△BAF，

∴ ，

∴ ＝ ，

∴BF＝ ，

∴B(4， )，

∴k＝ ，

故选：D．

二．填空题(共6小题)

13．计算：( )^﹣1﹣ ＝　3　．

【分析】先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算加减可得．

【解答】解：原式＝5﹣2＝3，

故答案为：3．

14．经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人．请把数94000000用科学记数法表示为　9.4×10⁷　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：94000000＝9.4×10⁷，

故答案为：9.4×10⁷．

15．盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是　 　．

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．

【解答】解：列表如下

	1	2	3
1		3	4
2	3		5
3	4	5

由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种结果，

所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为 ＝ ，

故答案为： ．

16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝2 ，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　3 ﹣π　．(结果保留π)

【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，可证△BEO，△DFO是等边三角形，由等边三角形的性质可求∠EOF＝60°，由扇形的面积公式和面积和差关系可求解．

【解答】解：如图，设连接以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与AB，AD相交于E，F，连接EO，FO，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，

∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AB＝BD＝2 ，∠ABD＝∠ADB＝60°，

∴BO＝DO＝ ，

∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，

∴BO＝OE＝OD＝OF，

∴△BEO，△DFO是等边三角形，

∴∠DOF＝∠BOE＝60°，

∴∠EOF＝60°，

∴阴影部分的面积＝2×(S_△ABD﹣S_△DFO﹣S_△BEO﹣S_扇形OEF)＝2×( ×12﹣ ×3﹣ ×3﹣ )＝3 ﹣π，

故答案为：3 ﹣π．

17．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的 继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y(单位：米)与乙骑行的时间x(单位：分钟)之间的关系如图所示，则乙比甲晚　12　分钟到达B地．

【分析】首先确定甲乙两人的速度，求出总里程，再求出甲到达B地时，乙离B地的距离即可解决问题．

【解答】解：由题意乙的速度为1500÷5＝300(米/分)，设甲的速度为x米/分．

则有：7500﹣20x＝2500，

解得x＝250，

25分钟后甲的速度为250× ＝400(米/分)．

由题意总里程＝250×20+61×400＝29400(米)，

86分钟乙的路程为86×300＝25800(米)，

∴ ＝12(分钟)．

故答案为12．

18．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个(除颜色外大小、形状、质地等完全相同)，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为　1230　元．

【分析】设第一时段摸到红球x次，摸到黄球y次，摸到绿球z次，(x，y，z均为非负整数)，则第一时段返现(50x+30y+10z)，根据“第三时段返现金额比第一时段多420元”，得出z＝42﹣9y，进而确定出y≤ ，再根据“三个时段返现总金额为2510元”，得出25x＝42y﹣43，进而得出 ≤y≤ ，再将满足题意的y的知代入④，计算x，进而得出x，z，即可得出结论．

【解答】解：设第一时段摸到红球x次，摸到黄球y次，摸到绿球z次，(x，y，z均为非负整数)，则第一时段返现金额为(50x+30y+10z)，

第二时段摸到红球3x次，摸到黄球2y次，摸到绿球4z次，则第二时段返现金额为(50×3x+30×2y+10×4z)，

第三时段摸到红球x次，摸到黄球4y次，摸到绿球2z次，则第三时段返现金额为(50x+30×4y+10×2z)，

∵第三时段返现金额比第一时段多420元，

∴(50x+30×4y+10×2z)﹣(50x+30y+10z)＝420，

∴z＝42﹣9y①，

∵z为非负整数，

∴42﹣9y≥0，

∴y≤ ，

∵三个时段返现总金额为2510元，

∴(50x+30y+10z)+(50x+30×4y+10×2z)+(50x+30×4y+10×2z)＝2510，

∴25x+21y+7z＝251②，

将①代入②中，化简整理得，25x＝42y﹣43，

∴x＝ ④，

∵x为非负整数，

∴ ≥0，

∴y≥ ，

∴ ≤y≤ ，

∵y为非负整数，

∴y＝2，34，

当y＝2时，x＝ ，不符合题意，

当y＝3时，x＝ ，不符合题意，

当y＝4时，x＝5，则z＝6，

∴第二时段返现金额为50×3x+30×2y+10×4z＝10(15×5+6×4+4×6)＝1230(元)，

故答案为：1230．

三．解答题

19.计算：

(1)(x+y)²+y(3x﹣y)；

(2)( +a)÷ ．

【考点】4A：单项式乘多项式；4C：完全平方公式；6C：分式的混合运算．

【专题】512：整式；513：分式；66：运算能力；69：应用意识．

【分析】(1)利用完全平方公式和多项式的乘法，进行计算即可；

(2)根据分式的四则计算的法则进行计算即可，

【解答】解：(1)(x+y)²+y(3x﹣y)，

＝x²+2xy+y²+3xy﹣y²，

＝x²+5xy；

(2)( +a)÷ ，

＝( + )× ，

＝ × ，

＝﹣ ．

20.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．

(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；

(2)求证：BE＝DF．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．

【专题】555：多边形与平行四边形；67：推理能力．

【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；

(2)根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∵CF平分∠DCB，

∴∠BCD＝2∠BCF，

∵∠BCF＝60°，

∴∠BCD＝120°，

∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，

∴∠BAE＝ ，∠DCF＝ ，

∴∠BAE＝∠DCE，

∴△ABE≌△CDF(ASA)，

∴BE＝CF．

21.每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩(竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格)．相关数据统计、整理如下：

八年级抽取的学生的竞赛成绩：

4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．

七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表

年级	七年级	八年级
平均数	7.4	7.4
中位数	a	b
众数	7	c
合格率	85%	90%

根据以上信息，解答下列问题：

(1)填空：a＝　7.5　，b＝　8　，c＝　8　；

(2)估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；

(3)根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．

【考点】V5：用样本估计总体；W4：中位数；W5：众数．

【专题】542：统计的应用；69：应用意识．

【分析】(1)由图表可求解；

(2)利用样本估计总体思想求解可得；

(3)由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．

【解答】解：(1)由图表可得：a＝ ＝7.5，b＝ ＝8，c＝8，

故答案为：7.5，8，8；

(2)该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数＝800× ＝200(人)，

答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；

(3)∵八年级的合格率高于七年级的合格率，

∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．

22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．

定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．

例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；

643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．

(1)判断312，675是否是“好数”？并说明理由；

(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．

【考点】#3：数的整除性．

【专题】32：分类讨论；66：运算能力．

【分析】(1)根据“好数”的意义，判断即可得出结论；

(2)设十位数数字为a，则百位数字为a+5(0＜a≤4的整数)，得出百位数字和十位数字的和为2a+5，再分别取a＝1，2，3，4，计算判断即可得出结论．

【解答】解：(1)312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且3+1＝4，6能被2整除，

675不是“好数”，因为6+7＝13，13不能被5整除；

(2)611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：

设十位数数字为a，则百位数字为a+5(0＜a≤4的整数)，

∴a+a+5＝2a+5，

当a＝1时，2a+5＝7，

∴7能被1，7整除，

∴满足条件的三位数有611，617，

当a＝2时，2a+5＝9，

∴9能被1，3，9整除，

∴满足条件的三位数有721，723，729，

当a＝3时，2a+5＝11，

∴11能被1整除，

∴满足条件的三位数有831，

当a＝4时，2a+5＝13，

∴13能被1整除，

∴满足条件的三位数有941，

即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．

23.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣ 的图象并探究该函数的性质．

x	…	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	﹣	a	﹣2	﹣4	b	﹣4	﹣2	﹣	﹣	…

(1)列表，写出表中a，b的值：a＝　﹣ 　，b＝　﹣6　；

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

(2)观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答)：

①函数y＝﹣ 的图象关于y轴对称；

②当x＝0时，函数y＝﹣ 有最小值，最小值为﹣6；

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．

(3)已知函数y＝﹣ x﹣ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣ ＜﹣ x﹣ 的解集．

【考点】F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；FD：一次函数与一元一次不等式；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【专题】533：一次函数及其应用；64：几何直观．

【分析】(1)将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；

(2)结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；

(3)根据图象求得即可．

【解答】解：(1)x＝﹣3、0分别代入y＝﹣ ，得a＝﹣ ＝﹣ ，b＝﹣ ＝﹣6，

故答案为﹣ ，﹣6；

画出函数的图象如图：

，

故答案为﹣ ，﹣6；

(2)根据函数图象：

①函数y＝﹣ 的图象关于y轴对称，说法正确；

②当x＝0时，函数y＝﹣ 有最小值，最小值为﹣6，说法正确；

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误．

(3)由图象可知：不等式﹣ ＜﹣ x﹣ 的解集为x＜﹣4或﹣2＜x＜1．

24.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．

(1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加 a%．求a的值．

【考点】9A：二元一次方程组的应用；AD：一元二次方程的应用．

【专题】523：一元二次方程及应用；69：应用意识．

【分析】(1)设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得到结论；

(2)根据题意列方程即可得到结论．

【解答】解：(1)设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；

根据题意得， ，

解得： ，

答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；

(2)2.4×400×10(1+a%)+2.4(1+a%)×500×10(1+2a%)＝21600(1+ a%)，

解得：a＝10，

答：a的值为10．

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且A点坐标为(﹣ ，0)，直线BC的解析式为y＝﹣ x+2．

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

(3)将抛物线y＝ax²+bx+2(a≠0)向左平移 个单位，已知点M为抛物线y＝ax²+bx+2(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】153：代数几何综合题；32：分类讨论；65：数据分析观念．

【分析】(1)利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，则y＝ax²+bx+2＝a(x+ )(x﹣3 )＝ax²﹣2 a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a＝ ，即可求解；

(2)四边形BECD的面积S＝S_△BCE+S_△BCD＝ ×EF×OB+ ×(x_D﹣x_C)×BH，即可求解；

(3)分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

【解答】解：(1)直线BC的解析式为y＝﹣ x+2，令y＝0，则x＝3 ，令x＝0，则y＝2，

故点B、C的坐标分别为(3 ，0)、(0，2)；

则y＝ax²+bx+2＝a(x+ )(x﹣3 )＝a(x²﹣2 x﹣6)＝ax²﹣2 a﹣6a，

即﹣6a＝2，解得：a＝ ，

故抛物线的表达式为：y＝﹣ x²+ x+2①；

(2)如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，

∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y＝﹣ (x+ )②，

联立①②并解得：x＝4 ，故点D(4 ，﹣ )，

由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝﹣ x+2，

当x＝3 时，y_BC＝﹣ x+2＝﹣2，即点H(3 ，﹣2)，故BH＝2，

设点E(x，﹣ x²+ x+2)，则点F(x，﹣ x+2)，

则四边形BECD的面积S＝S_△BCE+S_△BCD＝ ×EF×OB+ ×(x_D﹣x_C)×BH＝ ×(﹣ x²+ x+2+ x﹣2)×3 + ×4 ×2＝﹣ x²+3x+4 ，

∵ ＜0，故S有最大值，当x＝ 时，S的最大值为 ，此时点E( ， )；

(3)存在，理由：

y＝﹣ x²+ x+2＝﹣ (x )²+ ，抛物线y＝ax²+bx+2(a≠0)向左平移 个单位，

则新抛物线的表达式为：y＝﹣ x²+ ，

点A、E的坐标分别为(﹣ ，0)、( ， )；设点M( ，m)，点N(n，s)，s＝﹣ n²+ ；

①当AE是平行四边形的边时，

点A向右平移 个单位向上平移 个单位得到E，同样点M(N)向右平移 个单位向上平移 个单位得到N(M)，

即 ± ＝n，

则s＝﹣ n²+ ＝﹣ 或 ，

故点N的坐标为( ，﹣ )或(﹣ ， )；

②当AE是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：﹣ + ＝n+ ，解得：n＝﹣ ，

s＝﹣ n²+ ＝ ，

故点N的坐标(﹣ ， )；

综上点N的坐标为：( ，﹣ )或(﹣ ， )或(﹣ ， )．

26.△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2 ．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．

(1)如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；

(2)如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；

(3)连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．

【考点】RB：几何变换综合题．

【专题】152：几何综合题；69：应用意识．

【分析】(1)如图1中，连接BE，CF．解直角三角形求出BE，再利用全等三角形的性质证明CF＝BE，利用三角形的中位线定理即可解决问题．

(2)结论：∠DNM＝120°是定值．利用全等三角形的性质证明∠EBC+∠BCF＝120°，再利用三角形的中位线定理，三角形的外角的性质证明∠DNM＝∠EBC+∠BCF即可．

(3)如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．首先证明当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．解直角三角形求出NH即可解决问题．

【解答】解：(1)如图1中，连接BE，CF．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，

∴AD＝ BD＝4 ，

∵AE＝2 ，

∴DE＝AE＝2 ，

∴BE＝ ＝ ＝2 ，

∵△ABC，△AEF答等边三角形，

∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

∴△BAE≌△CAF(SAS)，

∴CF＝BE＝2 ，

∵EN＝CN，EG＝FG，

∴GN＝ CF＝ ．

(2)结论：∠DNM＝120°是定值．

理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF(SAS)，

∴∠ABE＝∠ACF，

∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，

∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，

∵EN＝NC，EM＝MF，

∴MN∥CF，

∴∠ENM＝∠ECM，

∵BD＝DC，EN＝NC，

∴DN∥BE，

∴∠CDN＝∠EBC，

∵∠END＝∠NDC+∠ACB，

∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACN+∠ECM＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．

(3)如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．

∵AJ＝CJ，EN＝NC，

∴JN＝ AE＝ ，

∵BJ＝AD＝4 ，

∴BN≤BJ+JN，

∴BN≤5 ，

∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．

∵KJ＝AJ•tan30°＝ ，JN＝ ，

∴KN＝ ，

在Rt△HKN中，∵∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，

∴HN＝NK•sin60°＝ × ＝ ，

∴S_△ADN＝ •AD•NH＝ ×4 × ＝7 ．

 

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