2020年各科中考真题2020年北京市中考物理试题（教师版含解析）

2020年北京高级中学招生考试

物 理

2020.07.18

一、单项选择题

1.如图所示的滑动变阻器上标记的各部件中，通常情况下，属于绝缘体的是(　　)

A. 金属杆 B. 瓷筒 C. 电阻丝 D. 金属滑片

【答案】B

【解析】

【详解】ACD．金属杆、电阻丝和金属滑片的材料是金属，容易导电，属于导体，故ACD不符合题意；

B．瓷筒的材料是陶瓷，不容易导电，属于绝缘体，故B符合题意。

故选B。

2.如图所示的光现象中由于光的反射形成的是(　　)

A. 桥在水中形成的倒影

B. 日晷上呈现针的影子

C. 透过放大镜看到放大的字

D. 人透过水球所成的像

【答案】A

【解析】

【详解】A．桥在水中形成的倒影，属于平面镜成像，是光的反射形成的，故A符合题意；

B．日晷面上呈现晷针的影子是由光的直线传播形成的，故B不符合题意；

C．透过放大镜看到放大的字，属于凸透镜成像，是由于光的折射形成的，故C不符合题意；

D．水球相当于凸透镜，人透过水球成的像，是光的折射形成的，故D不符合题意。

故选A。

3.如图所示，正在使用的四种工具，属于费力杠杆的是( )

【答案】D

【解析】

【详解】A．羊角锤在使用过程中，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，不符合题意；

B．核桃夹在使用过程中，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，不符合题意；

C．园艺剪在使用过程中，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，不符合题意；

D．食品夹在使用的过程中，阻力臂大于动力臂，属于费力杠杆，符合题意。

故选D。

4.为了观察光的直线传播，将一束单色光从玻璃槽的外侧由左侧倾斜向上射入盐水中，但光在盐水中并不是沿着直线传播，而是发生了弯曲，如图所示。这是由于(　　)

A. 光从空气到玻璃发生了折射

B. 盐水不均匀使光发生了弯曲

C. 光发生了色散

D. 光从玻璃到盐水发生了折射

【答案】B

【解析】

【详解】玻璃槽中盐水不均匀了，越深密度越大，光在不均匀的盐水中会发生折射现象，因此光在盐水中并不是沿着直线传播，而是发生了弯曲。

故选B。

5.隆冬，滴水成冰的过程中，发生的物态变化是(　　)

A. 熔化 B. 凝固 C. 液化 D. 升华

【答案】B

【解析】

【详解】滴水成冰的过程中，物质由液态变成固态，属于凝固现象。

故选B

6. 以下实验中，为了减小压强的是(　　)

A.逃生锤的锤头很尖

B.载重车装有很多车轮

C.盲道上有凸起

D.吸管的一端剪成斜口

【答案】B

【解析】

【详解】A．逃生锤的锤头很尖，是在压力一定时，通过减小受力面积来增大压强，故A不符合题意；

B．载重车装有很多车轮，是在压力一定时，通过增大受力面积来减小压强，故B符合题意；

C．盲道上有凸起，是在压力一定时，通过减小受力面积来增大压强，故C不符合题意；

D．吸管的一端剪成斜口，是在压力一定时，通过减小受力面积来增大压强，故D不符合题意。

故选B。

7.古诗《春夜洛阳城闻笛》中有“谁家玉笛暗飞声，散入春风满洛城”，诗人辨别出是玉笛的声音，是依据声音的( )

A. 音调 B. 响度 C. 音色 D. 速度

【答案】C

【解析】

【详解】由于物体的材料和结构不同，物体振动发出声音的音色不同；所以诗人辨别出是玉笛的声音，是依据声音的音色。故ABD不符合题意；C符合题意。

故选C。

8.如图所示的情境中，人对物体做功的是( )

A.用力搬石头没有搬动

B.人将重物从地面拉到高处

C.人推一块大石头没推动

D.人使箱子沿水平方向做匀速直线运动

【答案】B

【解析】

【详解】A．人用力搬石头但没有搬动，有力，但物体没有在力的方向上通过距离，没有做功，不符合题意；

B．人将重物从地面拉到高处，对物体有向上的拉力，物体在拉力的方向上通过了距离，所以拉力对物体做了功，符合题意；

C．人推一块大石头没推动，有力，但物体没有在力的方向上通过距离，没有做功，不符合题意；

D．人使箱子沿水平方向做匀速直线运动，人给箱子一个向上的力，箱子向上没有移动距离，人对箱子没有做功，不符合题意。

故选B。

9.关于家庭电路和安全用电，下列说法正确是(　　)

A. 电能表是测量消耗电能的仪表

B. 家庭电路中的电冰箱和空调是串联的

C. 用电器电线的绝缘皮破损了仍能继续使用

D. 导致家庭电路中电流过大的原因一定是短路

【答案】A

【解析】

【详解】A．电能表是测量用电器消耗电能多少的仪表，故A正确；

B．家庭电路中的电冰箱和空调互不影响，是并联的，故B错误；

C．使用绝缘皮破损的导线，易引发触电事故，不符合安全用电原则，故C错误；

D．家庭电路中电流过大的原因，可能是电路中某处发生短路，也可能是用电器总功率过大，故D错误。

故选A。

10.如图所示是一种温度测试仪的电路，R₁为定值电阻，R₂为热敏电阻(阻值随温度升高而减小，电路图符号 )。电源两端的电压不变，闭合开关S，当所测物体温度升高时，下列判断正确的是( )

A. 电流表示数变小

B. 电流表示数不变

C. 电压表示数变小

D. 电压表示数变大

【答案】D

【解析】

【详解】已知R₂为热敏电阻，其阻值随温度升高而减小。由图可知定值电阻R₁、热敏电阻R₂串联，电流表测电路电流，电压表测定值电阻R₁两端电压，闭合开关S，当所测物体温度升高时，热敏电阻R₂阻值减小，则通过电路电流增大，即电流表示数变大；定值电阻R₁阻值不变，通过电流增大，根据U=IR可知，两端电压增大，即电压表示数变大。故ABC错误，D正确。

故选D。

11.如图所示电路中，将开关S闭合，完全相同的灯L₁和灯L₂均发光。下列说法正确的是(　　)

A. 灯L₁比灯L₂亮

B. 通过A点的电流大于通过B点的电流

C. 灯L₁的实际电功率比灯L₂的实际电功率小

D. 电路中AB两点间的电压等于BC两点间的电压

【答案】D

【解析】

【详解】ABC．由图可知，两个灯泡串联，两个灯泡完全相同，两个灯泡的电阻相同，串联电路中各处的电流相等，所以通过A点的电流等于通过B点的电流，由P=I²R可知两个灯泡的实际功率相同，两个灯泡亮度相同，故ABC错误；

D．由U=IR可知两个灯泡两端的电压相等，所以AB两点间的电压等于BC两点间的电压，故D正确。

故选D。

12.人用水平方向的力推物体，使物体在粗糙程度相同的水平面上做匀速直线运动，下列说法正确的是(　　)

A. 人对物体的推力大于水平面对物体的摩擦力

B. 若增大推力，物体所受摩擦力也将增大，物体仍做匀速直线运动

C. 若撤去推力，物体在继续运动过程中所受摩擦力大小不变

D. 若撤去推力，物体的运动状态不会发生改变

【答案】C

【解析】

【详解】A．物体在粗糙程度相同的水平面上做匀速直线运动，处于平衡状态，推力和摩擦力是平衡力，人对物体的推力等于水平面对物体的摩擦力，故A错误；

B．若增大推力，物体对水平面的压力和接触面的粗糙程度不变，摩擦力不变，推力大于摩擦力，物体做加速运动，故B错误；

C．若撤去推力，物体在继续运动过程中，物体对水平面的压力和接触面的粗糙程度不变，摩擦力不变，故C正确；

D．若撤去推力，物体水平方向受到摩擦力的作用，物体的速度减小，物体的运动状态发生改变，故D错误。

故选C。

13.依据表格中的数据，下列说法正确的是( )

物质	比热容c/ 【J/(kg·°C)-1】
水	4.2×103
煤油	2.1×103
砂石	约0.92×103

A. 一杯水倒出一半，杯内剩余水的比热容变小

B. 水和砂石放出相等热量，水的温度降低得较多

C. 水的比热容表示水的温度升高1°C吸收的热量是4.2×10³J

D. 质量相等的水和煤油，吸收相等热量，煤油温度升高得较多

【答案】D

【解析】

【详解】A．比热容是物质特有的一种物理属性，只跟物质的种类、状态有关，所以一杯水倒出一半，杯内剩余水的比热容不变，故A错误；

B．根据可知，相同质量的水和沙石放出相等热量，由于沙石的比热容比水小，则沙石的温度降低得较多，故B错误；

C．水的比热容表示的是1kg的水温度升高(或降低)1°C时吸收(或放出)的热量是4.2×10³J，故C错误；

D．根据可知，相同质量的水和煤油吸收相等热量，由于煤油的比热容比水小，则沙石的温度升高得较多，故D正确。

故选D。

14.如图所示，把小桌甲倒放在海绵上，其上放一个物体乙，它们静止时，物体乙的下表面和小桌甲的桌面均水平。已知小桌甲重G₁，桌面面积为S₁；物体乙重G₂，下表面的面积为S₂，下列说法正确的是( )

A. 甲对海绵的压力就是甲受到的重力

B. 乙对甲的压力就是乙受到的重力

C. 甲对海绵的压强大小为

D. 乙对甲的压强大小为

【答案】C

【解析】

【详解】AB．不能说压力就是物体的重力，压力是由于物体的形变而生的，重力是由于地球的吸引而产生的，二者不是同一种力，故AB错误；

C．甲对海绵的压力大小为

F_甲=G₁+G₂

_{甲对海绵的压强大小为}

p_甲=

故C正确；

D．乙对甲的压强大小为

p_乙=

故D错误

故选C。

15.某同学在粗细均匀的木棒上缠绕一些细铜丝，制作简易密度计A，如图甲所示。将A依次放入一系列密度已知的液体中，每次当A在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值ρ，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出ρ–h图像，如图乙中图线①所示。该同学继续选用了与A完全相同的木棒，并缠绕了不同质量的铜丝制作简易密度计B。将B同样依次放入一系列密度已知的液体中进行实验，得到图乙中图线②。他进一步研究发现对同一密度计浸入液体的深度h和对应密度ρ的乘积不变。铜丝的体积可以忽略，下列说法正确的是( )

A. 上述实验中密度计A在不同液体中漂浮时，浸入的深度h越大，受到的浮力越大

B. 密度计B上越靠近铜丝的位置，其刻度线对应的密度值越小

C. 密度计A上缠绕铜丝的质量小于密度计B上缠绕铜丝的质量

D. 若图乙中ρ₃–ρ₂=ρ₂–ρ₁，则密度计A上ρ₃与ρ₂刻度线的间距大于ρ₂与ρ₁刻度线的间距

【答案】C

【解析】

【详解】A．密度计A的重力不变，不同的液体中，处于竖直漂浮状态，浮力等于重力，重力不变，浮力不变，故A错误；

B．对同一密度计浸入液体的深度h和对应密度ρ的乘积不变，密度计B上越靠近铜丝的位置，浸入液体的深度越小，对应密度越大，故B错误；

C．由图乙可知，密度计浸入液体深度相同，密度计B对应的密度较大，根据F_浮=ρ_液gV_排可知，V_排相同，密度计B受到的浮力较大，由漂浮条件可知密度计B的重力较大，由G=mg可知密度计B的质量较大，故C正确；

D．如图所示：

密度计A上三个密度和对应的深度的乘积相等，即

，，

ρ₃与ρ₂刻度线的间距

①

ρ₂与ρ₁刻度线的间距

因为

ρ₃–ρ₂=ρ₂–ρ₁

所以

②

比较①②，由于

h₂＞h₃，ρ₂＞ρ₁

所以

h₂–h₃＜h₁–h₂

密度计A上ρ₃与ρ₂刻度线的间距小于ρ₂与ρ₁刻度线的间距，故D错误。

故选C。

二、多项选择题

16.关于分子热运动和分子之间的作用力，下列说法正确的是( )

A. 扩散现象说明分子是运动的

B. 固体之间也可以发生扩散现象

C. 液体很难被压缩，是由于液体分子间存在引力

D. 固体很难被拉伸，说明固体分子间只存在引力

【答案】AB

【解析】

【详解】A．扩散现象是由于分子在做不停息地无规则运动造成的，故A正确；

B．扩散现象是不同的物质相互接触时，彼此进入对方的现象，固体、液体、气体之间都可以发生扩散现象，故B正确。

CD．分子引力、和斥力同时存在，距离较近时，表现为斥力，距离较远时表现为引力；液体很难被压缩，是因为液体分子排列相对紧密，分子之间距离小，表现为斥力；固体很难被拉伸，是因为固体的分子排列规则且紧密，分子之间距离小，表现为斥力。故CD错误。

故选AB。

17.如图所示为游乐园的过山车运行的情境，下列说法正确的是( )

A. 过山车从高处加速滑下的过程中，动能增加

B. 过山车从高处加速滑下是由于受到惯性的作用

C. 过山车从低处上升的过程中，重力势能增加

D. 过山车从低处上升的过程中，重力势能转化为动能

【答案】AC

【解析】

【详解】A．过山车从高处加速滑下的过程中，质量不变，速度增大，所以动能增加，故A正确；

B．过山车从高处加速滑下是因为受重力的作用，故B错误；

C．过山车从低处上升的过程中，质量不变，高度升高，所以重力势能增加，故C正确；

D．过山车从低处上升的过程中，动能减小，重力势能增大，且克服阻力做功，将动能转化为重力势能和内能，故D错误。

故选AC。

18.某同学研究磁体周围的磁场情况，将一根条形磁体放在水平桌面上，在它周围放置一些小磁针，小磁针的指向情况如图甲所示；将小磁针拿掉之后，在条形磁体上面放一块有机玻璃，玻璃上均匀撒一层铁屑，轻轻敲打玻璃，可以看到铁屑的分布情况如图乙所示；根据甲图和乙图所示的实验现象，用磁感线描述条形磁体周围的磁场情况如图丙所示。下列说法正确的是( )

A. 图甲所示的实验，研究的是条形磁体周围的磁场方向特点

B. 图乙所示的实验，研究的是条形磁体周围的磁场分布特点

C. 图丙所示的条形磁体周围的磁感线，是人们为了描述磁场建立的物理模型

D. 由图丙可知，条形磁体周围的磁场是由磁感线组成的

【答案】ABC

【解析】

【详解】A．图甲中，条形磁体周围不同位置上放一些小磁针，小磁针N极所指的方向不同，可以研究条形磁体周围的磁场方向特点，故A正确；

B．图乙中，利用撒在磁体周围的铁屑可以判断该磁体周围磁场的分布，故B正确；

C．图丙中条形磁体周围的磁感线，是人们利用建模的方法画出来的并不真实存在的曲线，故C正确；

D．磁场是一种物质，为了描述磁场的分布引入了磁感线，磁感线其实不存在，故D错误。

故选ABC。

19.如图所示，在一个配有活塞的厚玻璃筒里放一小团硝化棉，迅速压下活塞，观察到硝化棉燃烧起来。关于该实验，下列说法正确的是( )

A. 硝化棉被点燃，表明筒内气体的温度升高

B. 下压活塞的过程中，筒内气体内能减小

C. 下压活塞的过程中，活塞对筒内气体做了功

D. 下压活塞的过程中，气体的内能转化为活塞的机械能

【答案】AC

【解析】

【详解】ABC．迅速压下活塞，此时活塞对筒内的空气做功，空气的内能变大，温度升高，空气和棉花之间发生热传递，使得棉花的温度升高，达到着火点，发生燃烧，故AC正确，B错误；

D．下压活塞时，活塞对筒内的空气做功，活塞的机械能转化为空气的内能，故D错误。

故选AC。

20.如图所示，滑轮组悬挂在水平支架上，某工人站在水平地面上，竖直向下拉动绳子自由端，使物体A以0.2m/s的速度匀速上升，提升过支架过程中滑轮组的机械效率为90%。已知物体A重540N，该工人重500N，两个滑轮质量相等，不计滑轮组的绳重和摩擦，关于该过程，下列说法正确的是(　　)

A. 绳子自由端受到竖直向下的拉力为200N

B. 绳子自由端拉力的功率为120W

C. 该工人对地面的压力为200N

D. 支架受到滑轮组的拉力为960N

【答案】BCD

【解析】

【详解】A．滑轮组的动滑轮绕2段绳，滑轮组的机械效率

η=

F==300N

故A错误；

B．绳子自由端的速度

v_绳=2v_物=2×0.2m/s=0.4m/s

绳子自由端拉力的功率为

P=

故B正确；

C．地面对工人的支持力

F_支=G–F=500N-300N=200N

由力的作用相互性可知工人对地面的压力等于地面对工人的支持力，即

F_压=F_支=200N

故C正确；

D．不计滑轮组的绳重和摩擦，拉力

F_拉=(G+G_动)

G_动=2F_拉–G=2×300N-540N=60N

支架受到滑轮组的拉力为

F_支架=3F+G_动=3×300N+60N=960N

故D正确。

故选BCD。

三、实验解答题

21.如图所示，体温计示数为______℃。

【答案】36.3

【解析】

【详解】由图可知，体温计的分度值是0.1℃，体温计的示数是36.3℃。

22.根据图中的电流方向，可知通电螺线管的______端是N极。

【答案】A

【解析】

【详解】用右手握住螺线管，四指的方向和电流方向相同，那么大拇指所指的A端即为螺线管的N极。

23.如图所示，手持用丝绸摩擦过的玻璃棒，靠近吊起的用毛皮摩擦过的橡胶棒的一端，发现橡胶棒的这端被吸引过来，这是由于______。

【答案】异种电荷相互吸引

【解析】

【详解】毛皮摩擦过的橡胶棒带负电，丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，而两者相互吸引，是由于异种电荷相互吸引。

24.做研究水沸腾的实验时，当水温为8℃时，每隔一分钟记录一次水的温度，水沸腾后持续加热一段时间。利用记录的数据绘制出水的温度随时间变化的关系图线，如图所示。从图像可知，从计时开始，水被加热______min开始沸腾，水的沸点是______。

【答案】 (1). 5 (2). 99

【解析】

【详解】[1][2]由图可知，从第5min开始，水的温度保持99℃不变，所以从第5min水开始沸腾，并且沸点是99℃。

25.如图所示是研究光的反射规律的实验情境，一束光贴着垂直于平面镜的纸板，从A点射到平面镜上的O点，ON是法线，入射角∠AON=45°。已知纸板上∠NOB=30°，∠NOC=45°，∠NOD= 60°。则入射光线AO的反射光线将沿着图中______方向射出。

【答案】OC

【解析】

【详解】根据光的反射定律可知，反射角等于入射角，因为入射角AON等于45°，所以反射角也等于45°，已知，∠NOC=45°，则反射角是∠NOC，所以反射光线将沿OC射出。

26.某同学想探究电流通过导体产生的热量与电流、电阻通电时间是否有关。他连接了如图所示的电路进行实验，其中两个完全相同的烧瓶内分别装有质量和初温都相同的煤油，以及阻值为R₁和R₂的电阻丝(R₁<R₂)。

(1)该实验探究的问题是电流通过导体产生的热量与______是否有关；

(2)该实验中，电流通过导体产生热量的多少用______来反映。

【答案】 (1). 电阻 (2). 温度计示数的变化量

【解析】

【详解】(1)[1]该实验两段电阻丝串联，通过电流、通电时间相同，电阻丝的阻值不同，所以探究的是电流通过导体产生的热量与电阻是否有关。

(2)[2]在探究电流通过导体产生的热量与电流、电阻通电时间是否有关的实验中，利用转换法，将电流通过导体产生热量的多少用温度计示数的变化量来反映。

27.如图所示，用隔板将容器分成左、右两部分，隔板下部有一个圆孔用薄橡皮膜封闭。当在容器左、右两部分注入不同深度的水时(水面位置如图中虚线所示)，橡皮膜发生了形变，形变情况是向______侧凸起；产生这种现象的原因是______。

【答案】 (1). 左 (2). 见解析

【解析】

【详解】[1]由图可知，到橡皮膜位置右侧水的深度比左侧水的深度大，橡皮膜向左凸起。

[2]根据p=ρgh，因为水的密度相等，右侧水深度大，所以右侧水对橡皮膜的压强大，根据F=pS，因为受力面积相等，右侧水对橡皮膜的压强大，所以右侧水对橡皮膜的压力大，使得橡皮膜向左侧凸起。

28.测量某种液体密度的主要实验步骤如下

(1)用调节好的天平测量烧杯和液体的总质量，当天平再次平衡时，如图甲所示，烧杯和液体的总质量为______g；

(2)将烧杯中的部分液体倒入量筒中，如图所示，量筒中液体的体积为______cm³；

(3)用天平测出烧杯和杯内剩余液体的总质量为74g；

(4)计算出液体的密度为______g/cm³。

【答案】 (1). 122 (2). 60 (3). 0.8

【解析】

【详解】(1)[1]如图甲所示，天平标尺的分度值为0.2g，游码右端在2g处，则烧杯和液体的总质量

m=100g+20g+2g=122g

(2)[2]如图乙所示，量筒分度值为2mL，液柱上表面在60mL处，则量筒中液体的体积

V=60mL=60cm³

(4)[3]由实验步骤(1)(3)可知倒入量筒中的液体质量为

则液体的密度

29.某同学利用焦距为y₁的凸透镜做了三次实验，透镜、蜡烛、光屏所在位置以及光屏上得到清晰像的情况如图所示。

(1)由图所示的实验现象可知：随着物距的不断变小，像距和像的大小变化情况是______；

(2)在图乙所示的实验中，只将凸透镜换为焦距为f₁的凸透镜(f₁< y₁)，为在光屏上得到清晰的像，光屏应向______侧移动。

【答案】 (1). 都变大 (2). 左

【解析】

【详解】(1)[1]观察甲、乙、丙三个图的实验现象发现，凸透镜位置不变，蜡烛靠近凸透镜时，即物距缩短，光屏远离凸透镜，即像距变大，且光屏上成的像变大。

(2)[2]由图乙可知成的是倒立、放大的实像，此时物距大于一倍焦距且小于两倍焦距，像距大于两倍焦距，即

只将凸透镜换为焦距为f₁的凸透镜(f₁< y₁)，焦距变小了，相当于物距变大，要想在光屏上得到清晰的像，应该将光屏向左移动。

30.如图甲所示是测量未知电阻R_x的实验电路，电源两端电压不变，定值电阻R₀=30Ω。请补充完成主要实验步骤，并进行数据处理。

(1)实验步骤

①只闭合开关S、S₁，读出并记录电流表示数I₁；

②______读出并记录电流表示数I₂(如图乙所示)；

③计算R_x的阻值。

(2)数据记录与处理(请你补充完整表中①②位置的数据)

实验数据记录表(定值电阻R₀=30Ω)

I1/A	I2/A	Rx/Ω
0.2	①______	②______

【答案】 (1). 只闭合开关S、S₂ (2). 0.5 (3). 20

【解析】

【详解】(1)②[1]只闭合开关S、S₁，两个电阻并联，电流表测量通过R₀的电流，电流表示数I₁；只闭合开关S、S₂，两个电阻并联，电流表测量干路中的电流，电流表示数I₂。

(2)[2]由图乙可知，电流表的量程是0-0.6A，电流表的分度值是0.02A，电流表的示数是0.5A。

[3]由并联电路电流的规律可知通过R_x的电流

I_x=I₂–I₁=05A-0.2A=0.3A

电源电压

U=U₀=I₁R₀=0.2A×30Ω=6V

R_x的阻值

R_x==20Ω

31.在其他条件相同的情况下，电阻较小的导体，其材料的导电性能较强。如图所示的电路中，R₁是甲种材料制成的电阻丝，R₂是乙种材料制成的电阻丝，它们的横截面积相同，长度分别为L₁、L₂且L₁>L₂。闭合开关S后，观察到电流表A₁的示数I₁大于电流表A₂的示数I₂。请分析并判断甲、乙两种材料导电性能的强弱。

【答案】见解析

【解析】

【详解】根据，因为电压相等，通过的电流I₁>I₂，所以R₁<R₂；若只是将甲材料制成的电阻丝的长度减小至L₂，则其电阻减小为，则；又因为R₁<R₂，所以，即当甲、乙同种材料制成的电阻丝的长度和模截面积都相等时，则，所以甲材科的导电性能较强。

四、科普阅读题

32.请阅读《科学重器一原子钟》并回答问题。

科学重器一原子钟

星空浩瀚，地球章动，四季更替，草木枯荣。从人类意识觉醒开始，“时间”便如影随形。从太阳升落、日晷、沙漏、水钟、机械钟、石英钟到目前最准确的计时工具原子钟，这些计时方法与工具的发展体现了不同时代劳动人民的智慧计时工具大多是以某种规则运动的周期(完成一次规则运动所用的时间)为基准计时的，比如日晷以日地相对运动的周期为基准；机械摆钟以摆的振荡周期为基准；石英钟以石英晶体有规则的振荡周期为基准。选作时钟基准的运动周期越稳定，测量时间的精准度就越高，基于此科学家制造出了原子钟(如图所示)。它以原子释放能量时发出电磁波的振荡周期为基准，由于电磁波的振荡周期很稳定，使得原子钟的计时精准度可达每百万年才差1秒。

人们通常选取自然界中比较稳定、世界各国都能接受的事物作为测量标准。正是由于原子辐射电磁波振荡周期的高稳定性，适合作为时间的测量标准，于是在1967年，国际计量大会将“1秒”重新定义为铯133原子辐射电磁波荡9192631770个周期的持续时间。时间单位“秒”作为国际通用的测量语言，是人类描述和定义时空的标尺。

虽然制定了统一的时间测量标准，但若各地时间不能同步，也会给人们带来麻烦。比如，若电网调节时间不同步，可能会烧坏电机；金融市场时间不同步，可能会导致巨大的经济损失。这就需要有一个时间基准，用于实现时间的同步，就像日常生活中，我们常常根据电视台播报的时间来校准自己的时间一样。在我国，提供校准时间的是位于西安的国家授时中心的原子钟，它被用作基准钟向电视、广播、网络等提供报时服务。在导航系统中，如果导航定位的精准度为1米，则要求卫星上原子钟的时间同步必须在3×10^-9之内，这需要卫星上的原子钟和地面上的基准钟定期校准，以保证定位的精准度。我国自主研制的北斗导航系统中，原子钟堪称“导航卫星的心脏”，使我国在导航精准度方面达到厘米级，处于全球领先水准。北斗导航系统可以给安装了芯片的共享单车设定电子围栏，也可以判断汽车行驶在哪个车道，甚至还可以实现送货的无人机精准地降落在客户的阳台上。计时工具的演变，展现了人类“时间文化”的进程更彰显出人类精益求精、不探索、追求卓越的科学精神。

请根据上述材料，回答下列问题：

(1)原子钟可以作为时间同步的基准钟，依据的是原子辐射电磁波振荡周期的______；

(2)下列物体相比较，最适合提供计时基准的是______；(填写正确选项前的字母)

A.摆动小球 B.沿直线运动的汽车 C.静止的书本

(3)在实际生活中会出现各种“标准”。请你结合对文中时间“标准”的理解，除文中提到的实例外，再列举一个“标准”______，并说明该“标准”在具体实例中是如何应用的______。

【答案】 (1). 高稳定性 (2). A (3). 见解析 (4). 见解析

【解析】

【详解】(1)[1]由材料可知，原子钟可以作为时间同步的基准钟，由于原子辐射电磁波振荡周期的高稳定性。

(2)[2]由材料可知，以某种规则运动的周期(完成一次规则运动所用的时间)为基准计时。

A．以摆动的小球振荡周期为基准计时，符合题意。

BC．沿直线运动的汽车和静止的书不能完成一次规则的运动，不能作为计时基准，不符合题意。

故选A。

(3)[3][4]实际生活中会出现各种“标准”，比如：1.30m是儿童免费乘坐北京地铁的身高标准，身高低于1.30m的儿童可享受免费乘车待遇，身高不低于1.30m的则不能享受免费乘车待遇。

五、计算题

33.排水量是轮船装满货物时排开水的质量。一艘排水量为2000t的轮船，装满货物在河水中航行。河水密度取1.0×10³kg/m³，g取10N/kg。求：

(1)装满货物时，轮船和货物受到的总重力；

(2)轮船排开水的体积。

【答案】(1)2×10⁷N；(2)2000m³

【解析】

【详解】(1)依据阿基米德原理

轮船满载时，在水面漂浮根据浮沉条件

G_总=F_浮=2×10⁷N

(2)由可得排开水的体积

答：(1)装满货物时，轮船和货物受到的总重力是2×10⁷N；

(2)轮船排开水的体积是2000m³。

34.如图所示的电路中，定值电阻R₀为10Ω，电源两端电压为3V并保持不变。闭合开关S，调节滑动变阻器R_P，使电压表示数为2V。

(1)画出实物电路所对应的电路图；

(2)求R_P接入电路的阻值；

(3)求R₀的电功率。

【答案】(1)；(2)5Ω；(3)0.4W

【解析】

【详解】(1)按照实物图连接画电路图，如图所示

(2)闭合开关S，调节滑动变阻器R_P，使电压表示数为2V，则串联电路中的电流

根据串联分压可知R_P两端的电压

由可得R_P接入电路的阻值

(3)R₀的电功率

答：(2) R_P接入电路的阻值是5Ω；

(3) R₀的电功率是0.4W。

2020年北京市中考数学

一．选择题(第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个)

1.如图是某几何体的三视图，该几何体是( )

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱锥 D. 长方体

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三视图都是长方形即可判断该几何体为长方体．

【详解】解：长方体的三视图都是长方形，

故选D．

【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体．

2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数绝对值小于1时，n是负数．

【详解】解： 36000=，

故选：C．

【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．

3.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是( )

A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3 C. ∠1＞∠4+∠5 D. ∠2＜∠5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．

【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；

由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知

B选项为∠2＞∠3，

C选项为∠1=∠4+∠5，

D选项为∠2＞∠5．

故选：A．

【点睛】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．

4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误；

C、不轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形定义，正确理解定义是关键．

5.正五边形的外角和为( )

A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据多边形的外角和定理即可得．

【详解】任意多边形的外角和都为，与边数无关

故选：B．

【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟记多边形的外角和定理是解题关键．

6.实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是( )

A. 2 B. -1 C. -2 D. -3

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得．

【详解】由数轴的定义得：

又

到原点的距离一定小于2

观察四个选项，只有选项B符合

故选：B．

【点睛】本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．

7.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．

【详解】解：画树状图如下：

所以共4种情况：其中满足题意的有两种，

所以两次记录的数字之和为3的概率是

故选C．

【点睛】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键．

8.有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是( )

A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系

【答案】B

【解析】

【分析】

设水面高度为 注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案．

【详解】解：设水面高度为 注水时间为分钟，

则由题意得：

所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，

故选B．

【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．

二、填空题

9.若代数式有意义，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．

【详解】∵代数式有意义，分母不能为0，可得，即，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．

10.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．

【答案】1

【解析】

【分析】

由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．

【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，

可得判别式，

∴，

解得：．

故答案为：

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．

11.写出一个比大且比小的整数______．

【答案】2(或3)

【解析】

【分析】

先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．

【详解】∵1＜＜2，3＜＜4，

∴比大且比小的整数是2或3．

故答案为：2(或3)

【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．

12.方程组的解为________．

【答案】

【解析】

【分析】

用加减消元法解二元一次方程组即可．

【详解】解：两个方程相加可得，

∴，

将代入，

可得，

故答案为：．

【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．

13.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______．

【答案】0

【解析】

【分析】

根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.

【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，

∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，

∴，

故答案为：0.

【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.

14.在ABC中，AB=AC，点D在BC上(不与点B，C重合)．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是________(写出一个即可)

【答案】∠BAD=∠CAD(或BD=CD)

【解析】

【分析】

证明ABD≌ACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．

详解】解：

要使

则可以添加：∠BAD=∠CAD，

此时利用边角边判定：

或可以添加：

此时利用边边边判定：

故答案为：∠BAD=∠CAD或()

【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键．

15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则ABC的面积与ABD的面积的大小关系为：______(填“＞”，“＝”或“＜”)

【答案】=

【解析】

【分析】

在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．

【详解】解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，

由网格图可得个平方单位，

，

故有=．

故答案为：“＝”

【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积．

16.如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．

【答案】丙，丁，甲，乙

【解析】

【分析】

根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．

【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．

丁选：5，7，9，11，13．

甲选：6，8．

乙选：10，12，14．

∴顺序为丙，丁，甲，乙．

(答案不唯一)

【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．

三、解答题(解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)

17.计算：

【答案】5

【解析】

【分析】

分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．

【详解】解：原式=

【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．

18.解不等式组：

【答案】

【解析】

【分析】

分别解每一个不等式，然后即可得出解集．

【详解】解：

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴此不等式组的解集为．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的解法是解题关键．

19.已知，求代数式的值．

【答案】，-2

【解析】

【分析】

先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把变形后，整体代入求值即可．

【详解】解：原式=

∵，

∴，

∴，

∴原式=．

【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键．

20.已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB．

求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．

作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明．

证明：∵CD∥AB，

∴∠ABP= ．

∵AB=AC，

∴点B在⊙A上．

又∵∠BPC=∠BAC( )(填推理依据)

∴∠ABP=∠BAC

【答案】(1)见解析；(2)∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

【解析】

【分析】

(1)按照作法的提示，逐步作图即可；

(2)利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案．

【详解】解：(1)依据作图提示作图如下：

(2)证明：∵CD∥AB，

∴∠ABP= ．

∵AB=AC，

∴点B在⊙A上．

又∵∠BPC=∠BAC(在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． )(填推理依据)

∴∠ABP=∠BAC

故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．

【点睛】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．

21.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

(1)求证：四边形OEFG是矩形；

(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.

【解析】

【分析】

(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；

(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．

【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，

∴点O为BD的中点，

∵点E为AD中点，

∴OE为△ABD的中位线，

∴OE∥FG，

∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形

∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．

(2)∵点E为AD的中点，AD=10，

∴AE=

∵∠EFA=90°，EF=4，

∴在Rt△AEF中，．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AD=10，

∴OE=AB=5，

∵四边形OEFG为矩形，

∴FG=OE=5，

∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．

故答案为：OE=5，BG=2．

【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．

22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)．

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．

【答案】(1)；(2)

【解析】

【分析】

(1)根据一次函数由平移得到可得出k值，然后将点(1，2)代入可得b值即可求出解析式；

(2)由题意可得临界值为当时，两条直线都过点(1，2)，即可得出当时，都大于，根据，可得可取值2，可得出m的取值范围．

【详解】(1)∵一次函数由平移得到，

∴，

将点(1，2)代入可得，

∴一次函数的解析式为；

(2)当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知：

临界值为当时，两条直线都过点(1，2)，

∴当时，都大于，

又∵，

∴可取值2，即，

∴的取值范围为．

【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．

23.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．

(1)求证：∠ADC=∠AOF；

(2)若sinC=，BD=8，求EF的长．

【答案】(1)见解析；(2)2．

【解析】

【分析】

(1)连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明；

(2)设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF．

【详解】(1)证明：连接OD，

∵CD是⊙O的切线，

∴OD⊥CD，

∴∠ADC+∠ODA=90°，

∵OF⊥AD，

∴∠AOF+∠DAO=90°，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠DAO，

∴∠ADC=∠AOF；

(2)设半径r，

在Rt△OCD中，，

∴，

∴，

∵OA=r，

∴AC=OC-OA=2r，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

又∵OF⊥AD，

∴OF∥BD，

∴，

∴OE=4，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．

24.小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

(1)当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．

(2)当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：

	0		1		2		3
	0				1

综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．

(3)过点(0，m)()作平行于轴的直线，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ．

【答案】(1)减小，减小，减小；(2)见解析；(3)

【解析】

【分析】

(1)根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；

(2)根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；

(3)根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．

【详解】解：(1)根据题意，在函数中，

∵,

∴函数在中，随的增大而减小；

∵，

∴对称轴为：，

∴在中，随的增大而减小；

综合上述，在中，随的增大而减小；

故答案为：减小，减小，减小；

(2)根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：

(3)由(2)可知，当时，随的增大而增大，无最大值；

由(1)可知在中，随的增大而减小；

∴中，有

当时，，

∴m的最大值为；

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．

25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量(单位：千克)，相关信息如下：

．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：

．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

时段	1日至10日	11日至20日	21日至30日
平均数	100	170	250

(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 (结果取整数)

(2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍(结果保留小数点后一位)；

(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为．直接写出的大小关系．

【答案】(1)173；(2)2.9倍；(3)

【解析】

【分析】

(1)利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案；

(2)利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案；

(3)直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案．

【详解】解：(1)平均数：(千克)；

故答案为：173；

(2)倍；

故答案为：2.9；

(3)方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，

所以从图中可知：；

【点睛】本题考查了方差的意义，平均数，以及数据的分析处理，解题的关键是熟练掌握题意，正确的分析数据的联系．

26.在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中．

(1)若抛物线的对称轴为，当为何值时，

(2)设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围．

【答案】(1)；(2)

【解析】

【分析】

(1)根据抛物线解析式得抛物线必过(0，c)，因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值；

(2)根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t值，再进行总结即可．

【详解】解：(1)当x=0时，y=c，

即抛物线必过(0，c)，

∵，抛物线的对称轴为，

∴点M，N关于对称，

又∵，

∴，；

(2)由题意知，a＞0，

∴抛物线开口向上

∵抛物线的对称轴为，

∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立

情况2：当都位于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立

情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即

解得，

∴3≥2t，

∴

综上所述，．

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想．

27.在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长(用含的式子表示)；

(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

【答案】(1)；(2)图见解析，，证明见解析．

【解析】

【分析】

(1)先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得；

(2)如图(见解析)，先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证．

【详解】(1)∵D是AB的中点，E是线段AC的中点

∴DE为的中位线，且

∴，

∵

∴

∵

∴

∴四边形DECF为矩形

∴

∴

则在中，；

(2)过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG

∵

∴，

∵D是AB的中点

∴

在和中，

∴

∴，

又∵

∴DF是线段EG的垂直平分线

∴

∵，

∴

在中，由勾股定理得：

∴．

【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题(2)，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．

28.在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦(分别为点A，B的对应点)，线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

(1)如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；

(2)若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；

(3)若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．

【答案】(1)平行，P₃；(2)；(3)

【解析】

【分析】

(1)根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；

(2)过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由得到的最小值；

(3)线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离的最大值即点A，B点的位置，由此得出的取值范围．

【详解】解：(1)平行；P₃；

(2)如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为(-2，0)，直线与x轴夹角为60°，∴．

由垂径定理得：，

∴；

(3)线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；

点A到O的距离为．

如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值：；

平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A₁,A₂关于OA对称，且A₁B₂⊥A₁A₂且A₁B₂=1时.∠B₂A₂A₁=60°，则∠OA₂A₁=30°,

∵OA₂=1,∴OM=, A₂M=,

∴MA=3,AA₂= ,

∴的取值范围为：．

【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．

 

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