2020年中考各科考点一遍过讲义01–备战2020年中考数学考点考点02 整式及因式分解-备战2020年中考数学考点一遍过

考点02整式及因式分解

一、代数式

代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.

二、整式

1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.

2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.

3．整式：单项式和多项式统称为整式.

4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

6．幂的运算：a^m·aⁿ=a^m+n；（a^m）ⁿ=a^mn；（ab）ⁿ=aⁿbⁿ；a^m÷aⁿ=.

7．整式的乘法：

（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.

（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.

8．乘法公式：

（1）平方差公式：.

（2）完全平方公式：.

9．整式的除法：

（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.

（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.

三、因式分解

1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.

（2）公式法：

运用平方差公式：.

运用完全平方公式：.

3．分解因式的一般步骤：

（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;

（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：

为两项时，考虑平方差公式；

为三项时，考虑完全平方公式；

为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;

（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.

以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.

考向一代数式及相关问题

1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.

2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.

典例1某商品进价为每件元，销售商先以高出进价销售，因库存积压又降价出售，则现在的售价为元.

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据题意：销售商先以高出进价销售后的售价为：，然后又降价出售，此时的售价为：.故选C.

【名师点睛】此题考查的是列代数式，解决此题的关键是找到各个量之间的关系，列代数式.

1．（2019•海南）当m=–1时，代数式2m+3的值是

A．–1 B．0

C．1 D．2

2．下列式子中，符合代数式书写格式的是

A． B．

C． D．

考向二整式及其相关概念

单项式与多项式统称整式.

观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．

多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．

考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.

典例2下列说法中正确的是

A．的系数是–5 B．单项式x的系数为1，次数为0

C．的次数是6 D．xy＋x–1是二次三项式

【答案】D

【解析】A.的系数是–，则A错误；

B.单项式x的系数为1，次数为1，则B错误；

C.的次数是1+1+2=4，则C错误；

D.xy＋x–1是二次三项式，正确，故选D.

3．按某种标准把多项式分类，与属于同一类，则下列多项式中也属于这一类的是

A． B．

C． D．

4．下列说法正确的是

A．2a²b与﹣2b²a的和为0

B．b的系数是π，次数是4次

C．2x²y﹣3y²﹣1是三次三项式

D．x²y³与﹣是同类项

考向三规律探索题

解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.

典例3（2019•十堰）一列数按某规律排列如下：，…，若第n个数为，则n=

A．50 B．60

C．62 D．71

【答案】B

【解析】，…，可写为：，…，

∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，

∴第n个数为，则n=1+2+3+4+…+10+5=60，故选B．

【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．

5．（2019•武汉）观察等式：2+2²=2³-2；2+2²+2³=2⁴-2；2+2²+2³+2⁴=2⁵-2，…，已知按一定规律排列的一组数：2⁵⁰、2⁵¹、2⁵²、…、2⁹⁹、2¹⁰⁰．若2⁵⁰=a，用含a的式子表示这组数的和是

A．2a²-2a B．2a²-2a-2

C．2a²–a D．2a²+a

6．（2019•滨州）观察下列一组数：a₁=，a₂=，a₃=，a₄=，a₅=，…，

它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a_n=__________．（用含n的式子表示）

典例4如图，用棋子摆成的“上”字：

第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字

如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：

（1）第四、第五个“上”字分别需用　　和　　枚棋子．

（2）第n个“上”字需用　　枚棋子．

（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？

【答案】（1）18，22；（2）4n+2；（3）102.

【解析】（1）∵第一个“上”字需用棋子4×1+2=6枚；

第二个“上”字需用棋子4×2+2=10枚；

第三个“上”字需用棋子4×3+2=14枚；

∴第四个“上”字需用棋子4×4+2=18枚，第五个“上”字需用棋子4×5+2=22枚，

故答案为：18，22；

（2）由（1）中规律可知，第n个“上”字需用棋子4n+2枚，

故答案为：4n+2；

（3）根据题意，得：4n+2=102，

解得n=25，

答：第25个“上”字共有102枚棋子．

7．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为

A．672 B．673

C．674 D．675

8．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼搭而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案需小木棒的根数是

A．54 B．63

C．74 D．84

考向四幂的运算

幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．

典例5下列运算错误的是

A．（m）=m B．a÷a=a

C．x·x=x D．a+a=a

【答案】D

【解析】A、（m）=m，故此选项正确，不符合题意；

B、a÷a=a，故此选项正确，不符合题意；

C、x·x=x，故此选项正确，不符合题意；

D、a⁴和a³不是同类项不能合并，故此选项错误，符合题意．

故选D．

【名师点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法法则，熟记法则是解决此题的关键，注意此题是选择错误的，不用误选．

9．下列计算中，结果是a⁷的是

A．a–a B．a·a

C．a+a D．a÷a

10．阅读下面的材料，并回答后面的问题

材料：由乘方的意义，我们可以得到

，

．

于是，就得到同底数幂乘法的运算性质：

问题：（1）计算：①；②．

（2）将写成底数是2的幂的形式；

（3）若，求的值.

考向五整式的运算

整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．

典例6　已知a﹣b=5，c+d=﹣3，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为

A．2 B．﹣2

C．8 D．﹣8

【答案】D

【解析】根据题意可得：（b+c）﹣（a﹣d）=（c+d）﹣（a﹣b）=﹣3﹣5=﹣8，故选D．

11．一个长方形的周长为，相邻的两边中一边长为，则另一边长为

A． B．

C． D．

12．已知与的和是，则等于

A．–1 B．1

C．–2 D．2

典例7　若（x+2）（x–1）=x²+mx–2，则m的值为

A．3 B．–3

C．1 D．–1

【答案】C

【解析】因为（x+2）（x–1）=x²–x+2x–2=x²+x–2=x²+mx–2，所以m=1，故选C．

13．已知（x+3）（x²+ax+b）的积中不含有x的二次项和一次项，求a，b的值．

考向六因式分解

因式分解的概念与方法步骤

①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．

②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.

③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．

一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.

典例8下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是

A．（x+1）（x–1）=x²–1 B．x²–2x+1=x（x–2）+1

C．x²–4y²=（x–2y）² D．x²+2x+1=（x+1）²

【答案】D

【解析】A、右边不是积的形式，故本选项错误；

B、右边不是积的形式，故本选项错误；

C、x²–4y²=（x+2y）（x–2y），故本项错误；

D、是因式分解，故本选项正确．

故选D．

14．下列因式分解正确的是

A．x²–9=（x+9）（x–9） B．9x²–4y²=（9x+4y）（9x–4y）

C．x²–x+=（x−）² D．–x²–4xy–4y²=–（x+2y）²

典例9把多项式x²﹣6x+9分解因式，结果正确的是

A．（x﹣3）² B．(x﹣9）²

C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）

【答案】A

【解析】x²﹣6x+9=（x﹣3）²，故选A．

15．分解因式：=_________________．

16．已知a﹣b=1，则a³﹣a²b+b²﹣2ab的值为

A．﹣2 B．﹣1

C．1 D．2

1．已知长方形周长为cm，设长为cm，则宽为

A． B．

C． D．

2．已知3a﹣2b=1，则代数式5﹣6a+4b的值是

A．4 B．3

C．﹣1 D．﹣3

3．在0，﹣1，﹣x，，3﹣x，，中，是单项式的有

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

4．若多项式是三次三项式，则m等于

A．-1 B．0

C．1 D．2

5．如果2x^3my⁴与–3x⁹y²ⁿ是同类项，那么m、n的值分别为

A．m=–3，n=2 B．m=3，n=2

C．m=–2，n=3 D．m=2，n=3

6．下列算式的运算结果正确的是

A．m³•m²=m⁶ B．m⁵÷m³=m²（m≠0）

C．（m⁻²）³=m⁻⁵ D．m⁴﹣m²=m²

7．计算（﹣ab²）³的结果是

A．﹣3ab² B．a³b⁶

C．﹣a³b⁵ D．﹣a³b⁶

8．已知x＋y=–1，则代数式2019–x–y的值是

A．2018 B．2019

C．2020 D．2021

9．三种不同类型的纸板的长宽如图所示，其中A类和C类是正方形，B类是长方形，现A类有1块，B类有4块，C类有5块.如果用这些纸板拼成一个正方形，发现多出其中1块纸板，那么拼成的正方形的边长是

A．m+n B．2m+2n

C．2m+n D．m+2n

10．把多项式ax³-2ax²+ax分解因式，结果正确的是

A．ax（x²-2x） B．ax²（x-2）

C．ax（x+1）（x-1） D．ax（x-1）²

11．观察下图“ ”形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为

A．241 B．113

C．143 D．271

12．如图，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前m个格子中所填整数之和是1684，则m的值可以是

9

a

b

c

—5

1

…

A．1015 B．1010

C．1012 D．1018

13．若是完全平方式，则常数k的值为

A．±6 B．12

C．±2 D．6

14．若有理数a，b满足，，则的值为

A．2 B．–2

C．8 D．–8

15．下列说法中，正确的个数为

①倒数等于它本身的数有0，±1；②绝对值等于它本身的数是正数；③–a²b³c是五次单项式；④2πr的系数是2，次数是2；⑤a²b²–2a＋3是四次三项式；⑥2ab²与3ba²是同类项．

A．4 B．3

C．2 D．1

16．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…第2017次得到的结果为

A．1 B．2

C．3 D．4

17．已知单项式与是同类项，那么的值是___________.

18．分解因式：3x³﹣27x=__________．

19．某种商品的票价为x元，如果按标价的六折出售还可以盈利20元，那么这种商品的进价为__________元（用含x的代数式表示）．

20．下面是按一定规律排列的代数式：a²、3a⁴、5a⁶、7a⁸、…，则第10个代数式是__________．

21．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，那么n=__________．

22．观察下列等式：

第1个等式：a₁=；

第2个等式：a₂=；

第3个等式：a₃=；

…

请按以上规律解答下列问题：

（1）列出第5个等式：a₅=_____________；

（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n=，那么n的值为______________．

23．已知，求代数式的值.

24．已知，求的值．

25．如图，在一块长为a，宽为2b的长方形铁皮中，以2b为直径分别剪掉两个半圆.

（1）求剩下的铁皮的面积（用含a，b的式子表示）；

（2）当a=4，b=1时，求剩下的铁皮的面积是多少（π取3）．

26．已知：，且．

（1）求等于多少；

（2）若，求的值．

27．定义新运算：对于任意数a，b，都有a⊕b=（a﹣b）（a²+ab+b²）+b³，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如5⊕2=（5﹣2）（5²+5×2+2²）+2³=3×39+8=

117+8=125．

（1）求3⊕（﹣2）的值；

（2）化简（a﹣b）（a²+ab+b²）+b³．

28．阅读材料：把形如ax²+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a²±2ab+b²=（a±b）²．请根据阅读材料解决下列问题：

（1）填空：a²﹣4a+4=__________．

（2）若a²+2a+b²﹣6b+10=0，求a+b的值．

（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a²+4b²+c²﹣2ab﹣6b﹣2c+4=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．

1．（2019•锦州）下列运算正确的是

A．x⁶÷x³=x² B．（-x³）²=x⁶

C．4x³+3x³=7x⁶ D．（x+y）²=x²+y²

2．（2019•上海）下列运算正确的是

A．3x+2x=5x² B．3x-2x=xC．3x·2x=6x D．3x÷2x

3．（2019•滨州）若8x^my与6x³yⁿ的和是单项式，则（m+n）³的平方根为

A．4 B．8C．±4 D．±8

4．（2019•毕节市）如果3ab^2m-1与9ab^m+1是同类项，那么m等于

A．2 B．1C．-1 D．0

5．（2019•海南）当m=-1时，代数式2m+3的值是

A．-1 B．0C．1 D．2

6．（2019•台州）计算2a-3a，结果正确的是

A．-1 B．1C．-a D．a

7．（2019•怀化）单项式-5ab的系数是

A．5 B．-5C．2 D．-2

8．（2019•黄石）化简（9x-3）-2（x+1）的结果是

A．2x-2 B．x+1C．5x+3 D．x-3

9．（2019•连云港）计算下列代数式，结果为x⁵的是

A．x²+x³ B．x·x⁵C．x⁶–x D．2x⁵–x⁵

10．（2019•眉山）下列运算正确的是

A．2x²y+3xy=5x³y² B．（-2ab²）³=-6a³b⁶

C．（3a+b）²=9a²+b² D．（3a+b）（3a–b）=9a²–b²

11．（2019•绥化）下列因式分解正确的是

A．x²–x=x（x+1） B．a²-3a-4=（a+4）（a-1）

C．a²+2ab–b²=（a–b）² D．x²–y²=（x+y）（x–y）

12．（2019•湘西州）因式分解：ab-7a=__________．

13．（2019•常德）若x²+x=1，则3x⁴+3x³+3x+1的值为__________．

14．（2019•南京）分解因式（a–b）²+4ab的结果是__________．

15．（2019•赤峰）因式分解：x³-2x²y+xy²=__________．

16．（2019•绥化）计算：（-m³）²÷m⁴=__________．

17．（2019•湘潭）若a+b=5，a–b=3，则a²–b²=__________．

18．（2019•乐山）若3^m=9ⁿ=2．则3^m+2n=__________．

19．（2019•怀化）合并同类项：4a²+6a²–a²=__________．

20．（2019•绵阳）单项式x^-|a-1|y与2xy是同类项，则a^b=__________．

21．（2019•兰州）化简：a（1-2a）+2（a+1）（a-1）．

22．（2019•凉山州）先化简，再求值：（a+3）²-（a+1）（a-1）-2（2a+4），其中a．

23．（2019•安徽）观察以下等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

第5个等式：，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：__________；

（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．

24．（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+2²+…+2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁸的值，采用以下方法：

设S=1+2+2²+…+2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁸①，

则2S=2+2²+…+2²⁰¹⁸+2²⁰¹⁹②，

②-①得2S–S=S=2²⁰¹⁹-1，

∴S=1+2+2²+…+2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁸=2²⁰¹⁹-1．

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1）1+2+2²+…+2⁹=__________；

（2）3+3²+…+3¹⁰=__________；

（3）求1+a+a²+…+aⁿ的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．

变式拓展

1．【答案】C

【解析】把m=–1代入代数式2m+3中，得2m+3=2×（–1）+3=1．故选C．

2．【答案】C

【解析】A．正确的格式为：，即A项不合题意，

B．正确的格式为：5a，即B项不合题意，

C．符合代数式的书写格式，即C项符合题意，

D．正确的格式为：，即D项不合题意，

故选C．

【名师点睛】本题考查了代数式，正确掌握代数式的书写格式是解题的关键．

3．【答案】A

【解析】与都是三次多项式，只有A是三次多项式，故选A．

4．【答案】C

【解析】A、2a²b与-2b²a不是同类项，不能合并，此选项错误；

B、πa²b的系数是π，次数是3次，此选项错误；

C、2x²y-3y²-1是三次三项式，此选项正确；

D、x²y³与﹣不是同类项，此选项错误；

故选C．

5．【答案】C

【解析】∵2+2²=2³-2；2+2²+2³=2⁴-2；2+2²+2³+2⁴=2⁵-2；…

∴2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2，

∴2⁵⁰+2⁵¹+2⁵²+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰=（2+2²+2³+…+2¹⁰⁰）-（2+2²+2³+…+2⁴⁹）=（2¹⁰¹-2）-（2⁵⁰-2）=2¹⁰¹-2⁵⁰，

∵2⁵⁰=a，∴2¹⁰¹=（2⁵⁰）²·2=2a²，∴原式=2a²–a．故选C．

【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．

6．【答案】

【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2ⁿ+1，

观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，

∴a_n=，故答案为：．

【名师点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．

7．【答案】A

【解析】当有1个黑色纸片时，有4个白色纸片；

当有2个黑色纸片时，有个白色纸片；

当有3个黑色纸片时，有个白色纸片；

以此类推，当有个黑色纸片时，有个白色纸片.

当时，化简得，解得.故选A.

故选C．

8．【答案】A

【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒，

拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒，

拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒，

拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒，

…

拼搭第n个图案需小木棒n(n+3)=n²+3n根.

当n=6时，n²+3n=6²+3×6=54.

故选A.

【名师点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的关系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.

9．【答案】B

【解析】A、不是同类项不能合并，故此选项错误；

B、a³·a⁴=a³⁺⁴=a⁷，故此选项正确；

C、不是同类项不能合并，故此选项错误；

D、a³÷a⁴=a^3–4=a^–1=，故此选项错误．

故选B．

【名师点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法法则，熟记法则是解决此题的关键．

10．【解析】（1）①；

②；

（2）；

（3）∵，

∴2＋p＋5＝2018，

解得：p＝2011．

【名师点睛】本题主要考查的是同底数幂的乘法，正确理解材料中同底数幂乘法的运算性质是解题的关键．

11．【答案】B

【解析】∵长方形的周长为，

∴相邻的两边的和是,

∵一边长为，

∴另一边长为，

故选B.

【名师点睛】由长方形的周长=（长+宽）×2，可求出相邻的两边的和是3a+4b,再用3a+4b减去2a＋3b，即可求出另一边的长.

12．【答案】A

【解析】∵与的和是，∴与是同类项，∴，

∴.故选A.

13．【解析】原式=x³+ax²+bx+3x²+3ax+3b

=x³+ax²+3x²+3ax+bx+3b

=x³+（a+3）x²+（3a+b）x+3b，

由题意可知：a+3=0，3a+b=0，

解得a=–3，b=9．

14．【答案】D

【解析】A．原式=（x+3）（x–3），选项错误；

B．原式=（3x+2y）（3x–2y），选项错误；

C．原式=（x–）²，选项错误；

D．原式=–（x²+4xy+4y²）=–（x+2y）²，选项正确．

故选D．

15．【答案】(a+4)(a-2)

【解析】=.

16．【答案】C

【解析】a³﹣a²b+b²﹣2ab=a²（a﹣b）+b²﹣2ab=a²+b²﹣2ab=（a﹣b）²=1．

故选C．

考点冲关

1．【答案】D

【解析】∵矩形的宽=−长，∴宽为：（10-x）cm．故选D．

2．【答案】B

【解析】∵3a﹣2b=1，

∴5﹣6a+4b=5﹣2（3a﹣2b）=5﹣2×1=3，

故选：B．

3．【答案】D

【解析】根据单项式的定义可知，只有代数式0，﹣1，﹣x,a,是单项式，一共有4个.故选D.

4．【答案】C

【解析】由题意可得，，解得且．

则m等于1，故选C．

5．【答案】B

【解析】∵2x^3my⁴与–3x⁹y²ⁿ是同类项，

∴3m=9,4=2n，

∴m=3，n=2.

故选：B.

6．【答案】B

【解析】A、m³•m²=m⁵，故此选项错误；

B、m⁵÷m³=m²（m≠0），故此选项正确；

C、（m⁻²）³=m⁻⁶，故此选项错误；

D、m⁴–m²，无法计算，故此选项错误；

故选：B．

7．【答案】D

【解析】（﹣ab²）³=﹣a³b⁶，故选：D．

8．【答案】C

【解析】∵–x–y=–（x+y），∴2019–x–y=2019–（x+y）=2019–（–1）=2020，故选C．

【名师点睛】此题考查代数式求值，难度不大．

9．【答案】D

【解析】∵所求的正方形的面积等于一张正方形A类卡片、4张正方形B类卡片和4张长方形C类卡片的和，

∴所求正方形的面积=m²+4mn+4n²=（m+2n）²，

∴所求正方形的边长为m+2n．

故选：D.

10．【答案】D

【解析】原式=ax（x²﹣2x+1）=ax（x﹣1）²，故选：D．

11．【答案】A

【解析】∵15=2×8﹣1，∴m=2⁸=256，则n=256﹣15=241，故选A．

【名师点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是得出第n个图形中最上方的数字为2n﹣1，左下数字为2ⁿ，右下数字为2ⁿ﹣（2n﹣1）．

12．【答案】B

【解析】由题意可知：9+a+b=a+b+c，∴c=9．

∵9-5+1=5，1684÷5=336…4，

且9-5=4，∴m=336×3+2=1010．故选：B．

13．【答案】A

【解析】由完全平方公式可得：.故选A.

【名师点睛】做此类问题的重点在于判断完全平方式的结构特点.

14．【答案】D

【解析】由，得，又，则，所以.故选D.

15．【答案】D

【解析】①倒数等于它本身的数有±1，故①错误，

②绝对值等于它本身的数是非负数，故②错误，

③是六次单项式，故③错误，

④的系数是次数是，故④错误，

⑤是四次三项式，故⑤正确，

⑥与不是同类项，故⑥错误.

故选D.

【名师点睛】单项式中的数字因数就是单项式的系数，所有字母的指数的和就是多项式的次数.

16．【答案】A

【解析】当x=2时，第一次输出结果==1；

第二次输出结果=1+3=4；

第三次输出结果=4×=2，；

第四次输出结果=×2=1，

…

2017÷3=672…1．

所以第2017次得到的结果为1．

故选A．

17．【答案】3

【解析】∵与是同类项，

∴，

解得，

∴=3.

故答案为3.

18．【答案】3x（x+3）（x﹣3）

【解析】3x³﹣27x=3x（x²﹣9）=3x（x+3）（x﹣3）．

【名师点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

19．【答案】0.6x–20

【解析】根据题意进价为：0.6x–20.故答案为0.6x–20.

【名师点睛】此题考查列代数式，难度不大．

20．【答案】19a²⁰

【解析】∵a²，3a⁴，5a⁶，7a⁸，…

∴单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数，

∴第10个代数式是：（2×10﹣1）a^2×10=19a²⁰．

故答案为：19a²⁰．

【名师点睛】此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题关键．

21．【答案】1010

【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．

第2幅图中有2×2﹣1=3个．

第3幅图中有2×3﹣1=5个．

第4幅图中有2×4﹣1=7个．

…．

可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．

故第n幅图中共有（2n﹣1）个．

当图中有2019个菱形时，2n﹣1=2019，解得n=1010，

故答案为：1010．

【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．

22．【答案】,49

【解析】(1)观察等式,可得以下规律：，

∴

（2）

解得：n=49.

故答案为（1）；（2）49.

23．【解析】=+2=（a−1）²+2

当a=时，原式=（）²+2=（）²+2=2+2=4.

24．【解析】由已知，得，

则

=

=

=

=2–1

=1．

【名师点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决证明问题．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．

25．【解析】（1）长方形的面积为：a×2b=2ab，

两个半圆的面积为：π×b²=πb²，

∴阴影部分面积为：2ab–πb²．

（2）当a=4，b=1时，

∴2ab–πb²=2×4×1–3×1=5．

【名师点睛】本题考查列代数式，涉及代入求值，有理数运算等知识，解题的关键是根据题意正确列出代数式.

26．【解析】（1）∵，，

∴，

∴

.

（2）依题意得：，，

∴，．

∴．

【名师点睛】考查了整式的化简求值、非负数的性质、绝对值、平方根的知识．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项.

27．【解析】（1）3⊕（﹣2）

=（3+2）×[3²+3×（﹣2）+（﹣2）²]+（﹣2）³

=5×7﹣8

=27．

（2）（a﹣b）（a²+ab+b²）+b³

=a³+a²b+ab²﹣a²b﹣ab²﹣b³+b³

=a³．

【名师点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．

28．【解析】（1），故答案为：；

（2），

，

，，

；

（3）为等边三角形．理由如下：

，

，

，，

，

为等边三角形．

【名师点睛】本题考查配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判定.解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．

直通中考

1．【答案】B

【解析】∵x⁶÷x³=x³，∴选项A不符合题意；

∵（-x³）²=x⁶，∴选项B符合题意；

∵4x³+3x³=7x³，∴选项C不符合题意；

∵（x+y）²=x²+2xy+y²，∴选项D不符合题意．故选B．

【名师点睛】此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，合并同类项的方法，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．

2．【答案】B

【解析】A．原式=5x，故A错误；C．原式=6x²，故C错误；D．原式，故D错误，故选B．

【名师点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

3．【答案】D

【解析】由8x^my与6x³yⁿ的和是单项式，得m=3，n=1．

（m+n）³=（3+1）³=64，64的平方根为±8．故选D．

【名师点睛】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．

4．【答案】A

【解析】根据题意可得：2m-1=m+1，解得m=2，故选A．

【名师点睛】此题考查同类项问题，关键是根据同类项的定义得出m的方程．

5．【答案】C

【解析】将m=-1代入2m+3=2×（-1）+3=1，故选C．

【名师点睛】本题考查代数式求值；熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键．

6．【答案】C

【解析】2a-3a=-a，故选C．

【名师点睛】本题考查了合并同类项法则的应用，能熟记合并同类项法则的内容是解此题的关键．

7．【答案】B

【解析】单项式-5ab的系数是-5，故选B．

【名师点睛】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

8．【答案】D

【解析】原式=3x-1-2x-2=x-3，故选D．

【名师点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．【答案】D

【解析】A、x²与x³不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意；

B、x·x⁵=x⁶，故选项B不合题意；

C、x⁶与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意；

D、2x⁵–x⁵=x⁵，故选项D符合题意．故选D．

【名师点睛】本题主要考查了合并同类项的法则：系数下降减，字母以及其指数不变．

10．【答案】D

【解析】A．2x²y和3xy不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；

B．（-2ab²）³=-8a³b⁶，故选项B不合题意；

C．（3a+b）²=9a²+6ab+b²，故选项C不合题意；

D．（3a+b）（3a–b）=9a²–b²，故选项D符合题意．故选D．

【名师点睛】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关公式是解答本题的关键．

11．【答案】D

【解析】A、原式=x（x-1），错误；B、原式=（a-4）（a+1），错误；

C、a²+2ab–b²，不能分解因式，错误；D、原式=（x+y）（x–y），正确．故选D．

【名师点睛】此题考查了提公因式法、十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12．【答案】a（b-7）

【解析】原式=a（b-7），故答案为：a（b-7）．

【名师点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．

13．【答案】4

【解析】∵x²+x=1，∴3x⁴+3x³+3x+1=3x²（x²+x）+3x+1=3x²+3x+1=3（x²+x）+1=3+1=4，故答案为：4．

【名师点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．

14．【答案】（a+b）²

【解析】（a–b）²+4ab=a²-2ab+b²+4ab=a²+2ab+b²=（a+b）²．故答案为：（a+b）²．

【名师点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

15．【答案】x（x–y）²

【解析】原式=x（x²-2xy+y²）=x（x–y）²，故答案为：x（x–y）²．

【名师点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

16．【答案】m²

【解析】（-m³）²÷m⁴=m⁶÷m⁴=m²．故答案为：m²．

【名师点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

17．【答案】15

【解析】∵a+b=5，a–b=3，∴a²–b²=（a+b）（a–b）=5×3=15，故答案为：15．

【名师点睛】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．

18．【答案】4

【解析】∵3^m=3²ⁿ=2，∴3^m+2n=3^m·3²ⁿ=2×2=4，故答案为：4．

【名师点睛】此题考查幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方与积的乘方解答．

19．【答案】9a²

【解析】原式=a²（4+6-1）=9a²，故答案为：9a²．

【名师点睛】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．

20．【答案】1

【解析】由题意知-|a-1|0，∴a=1，b=1，则a^b=（1）¹=1，故答案为：1．

【名师点睛】此题考查了同类项的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．

21．【解析】原式=a-2a²+2（a²-1）

=a-2a²+2a²-2

=a-2．

【名师点睛】本题主要考查平方差公式及单项式的乘法，熟练运用公式及运算规则是解题的关键．

22．【解析】原式=a²+6a+9-（a²-1）-4a-8

=2a+2．

将a代入原式=2×（）+2=1．

【名师点睛】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变．

23．【解析】（1）第6个等式为：，故答案为：．

（2），

证明：∵右边==左边．

∴等式成立，

故答案为：．

【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用．

24．【解析】（1）设S=1+2+2²+…+2⁹①，

则2S=2+2²+…+2¹⁰②，

②-①得2S–S=S=2¹⁰-1，

∴S=1+2+2²+…+2⁹=2¹⁰-1，故答案为：2¹⁰-1．

（2）设S=3+3+3²+3³+3⁴+…+3¹⁰①，

则3S=3²+3³+3⁴+3⁵+…+3¹¹②，

②-①得2S=3¹¹-1，

所以S=，

即3+3²+3³+3⁴+…+3¹⁰=，

故答案为：．

（3）设S=1+a+a²+a³+a⁴+…+aⁿ①，

则aS=a+a²+a³+a⁴+…+aⁿ+aⁿ⁺¹②，

②-①得：（a-1）S=aⁿ⁺¹-1，

a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1，

a不等于1时，a-1才能做分母，所以S=，

即1+a+a²+a³+a⁴+…+aⁿ=．

【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．

 

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