考点06 分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④验根．
易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：
①设未知数；
②找等量关系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；
⑥答．
考向一 解分式方程
分式方程的解法：
①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．
典例1 解分式方程：．
【解析】去分母得：6-x=x-2，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
典例2 方程的解为_______________．
【答案】【解析】方程两边同乘以，得，
解得，
检验：时，，
所以是原分式方程的解．
故填．
【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．
1．解分式方程，去分母得
A． B．
C． D．
2．方程的解为
A．2 B．2或4 C．4 D．无解
考向二 分式方程的解
（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.
（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.
（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.
（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
典例3 若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是
A．6 B．0 C．1 D．9
【答案】D
【解析】分式方程去分母得：ax-1-x=3，
解得：x=，
由分式方程的解为整数解，得到a-1=±1，a-1=±2，a-1=±4，
解得：a=2，0，3，-1，5，-3（舍去），
则满足条件的所有整数a的和是9，
故选D．
【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
典例4 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为_______________．
【答案】且
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得，解得，由分式方程的解为负数，可得且，即，解得且．
3．若关于的方程有增根，则的值为
A．－ B．
C． D．
4．关于的方程的解为，则
A．1 B．3 C．-1 D．-3
考向三 分式方程的应用
分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．
典例5 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】由题意可知原计划每天生产个零件，则实际每天生产了个零件，实际15天共生产了个零件，因此根据题意可列分式方程为．
故选A．
典例6 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】B 【解析】设乙种商品单价为元，则甲种商品单价为元，
由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400元，所以，
解得元．
故选B．
5．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书本，则根据题意列得方程为
A． B．
C． D．
6．在“双十一”购物节中，某儿童品牌玩具淘宝专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查发现：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同
（1）求A、B的进价分别是每个多少元？
（2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A类玩具多少个？
1．下列关于的方程：
①，②，③，④中，是分式方程的有
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
2．方程的解为
A． B．
C． D．
3．解分式方程
A．是方程的解
B．是方程的解
C．是方程的解
D．无解
4．若关于x的方程的解为x=1，则a等于
A．0.5 B．-0.5 C．2 D．-2
5．若代数式和的值相等，则x的值为
A．x=-7 B．x=7 C．x=-5 D．x=3
6．若关于的方程有增根，则的值为
A． B．
C． D．
7．若分式方程无解，则
A． B．
C． D．
8．关于的方程的解不小于0，则的取值范围是
A．且 B．且
C． D．
9．一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为千米/时，则可列出的方程为
A． B．
C． D．
10．若分式方程有增根，则m的值是
A．-1或1 B．-1或2 C．1或2 D．1或-2
11．已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是
A．a≤2 B．a<2
C．a≤2且a≠-4 D．a<2且a≠-4
12．一项工程，甲队单独做需20天完成，甲、乙合作需12天完成，则乙队单独做需多少天完成？若设乙单独做需x天完成，则可得方程
A． B．=1
C．=x D．
13．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x千米/时，根据题意列方程得
A． B．
C． D．
14．整数a满足下列两个条件，使不等式-2≤<a+1恰好只有3个整数解，使得分式方程=1的解为整数，则所有满足条件的a的和为
A．2 B．3 C．5 D．6
15．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时对“……”，设实际每天铺设管道米，则可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为
A．每天比原计划多铺设米，结果延期天才完成
B．每天比原计划少铺设米，结果延期天才完成
C．每天比原计划多铺设米，结果提前天才完成
D．每天比原计划少铺设米，结果提前天才完成
16．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是
A．20元 B．18元 C．15元 D．10元
17．分式方程的解为_______________．
18．若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为__________．
19．关于x的方程的解为非正数，则a的取值范围为__________．
20．分式与的和为，则的值为_______________．
21．已知x=3是方程=2的解，那么k的值为__________．
22．某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20 kg，A型机器人搬运1000 kg所用时间与B型机器人搬运800 kg所用时间相等，设B型机器人每小时搬运x kg物品，列出关于x的方程为_______________．
23．解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
24．“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用1500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用2700元购进第二批，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元，求第二批玩具每套的进价是多少元？
25．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚恤衫，甲种款型共用了元，乙种款型共用了元．甲种款型的件数是乙种款型件数的倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少元．
（）甲、乙两种款型的恤衫各购进多少件？
（）商店进价提高标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批恤衫商店共获利多少元？
26．某商店计划购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价是甲种商品进价的九折，用3600元购买乙种商品要比购买甲种商品多买10件．
（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？
（2）该商店计划购进甲、乙两种商品共80件，且乙种商品的数量不低于甲种商品数量的3倍．甲种商品的售价定为每件80元，乙种商品的售价定为每件70元，若甲、乙两种商品都能卖完，求该商店能获得的最大利润．
1．（2019•海南）分式方程=1的解是
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
2．（2019•成都）分式方程=1的解为
A．x=-1 B．x=1 C．x=2 D．x=-2
3．（2019•益阳）解分式方程+=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是
A．x+2=3 B．x-2=3
C．x-2=3（2x-1） D．x+2=3（2x-1）
4．（2019•黑龙江）已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则m的取值范围是
A．m≤3 B．m<3 C．m>-3 D．m≥-3
5．（2019•广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是
A． B．
C． D．
6．（2019•甘肃）分式方程的解为__________．
7．（2019•凉山州）方程+=1的解是__________．
8．（2019•绵阳）一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相同，则江水的流速为__________km/h．
9．（2019•江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A–B–C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：__________．
10．（2019•仙桃）解分式方程：=．
11．（2019•南京）解方程：．
12．（2019•达州）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？
13．（2019•威海）列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
14．（2019•菏泽）列方程（组）解应用题：
德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
15．（2019·云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.
16．（2019•威海）列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
变式拓展
1．【答案】A
【解析】方程两边同乘以得到，
故选A．
2．【答案】C
【解析】去分母得：2x=（x-2）2+4，
分解因式得：（x-2）[2-（x-2）]=0，
解得：x=2或x=4，
经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4，
故选C．
3．【答案】B
【解析】方程两边同时乘以，可得，
因为方程有增根，所以最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，可得．
故选B．
4．【答案】D
【解析】把x=1代入原方程得：，
去分母得，8a+12=3a-3，
解得a=-3，
故选D．
5．【答案】C
【解析】设每个A型包装箱可以装书本，则每个B型包装箱可以装书本，根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用个，列方程得，
故选C．
6．【解析】（1）设B类玩具的进价为x元，则A类玩具的进价是元，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解．
所以15+3=18（元）．
答：A类玩具的进价是18元，B类玩具的进价是15元．
（2）设购进A类玩具a个，则购进B类玩具个，由题意得：
，
解得：，
答：该淘宝专卖店至少购进A类玩具40个．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】关于x的方程①，该方程分母中不含未知数，不是分式方程．
关于x的方程②，该方程分母中含有未知数，是分式方程．
关于x的方程③，该方程分母中含有未知数，是分式方程．
关于x的方程④中，该方程分母中不含未知数，不是分式方程．
综上，是分式方程的有②、③，共2个．
故选C．
2．【答案】C
【解析】方程两边同乘，可得，即，即，
检验：当时，，所以是原方程的根，
故选C．
3．【答案】D
【解析】方程两边分别乘以x-2得：1-x+2（x-2）=-1，
去括号整理得：x=2，
经检验x=2是方程的增根，
故原方程无解．
故选D．
4．【答案】B
【解析】把x=1代入方程得：，
解得：a=-0.5，
经检验a=-0.5是原方程的解，
故选B．
5．【答案】B
【解析】根据题意得：，
去分母得：3x-6=2x+1，
解得：x=7，
经检验x=7是分式方程的解．
故选B．
6．【答案】A
【解析】将方程的两边同时乘以，可得，解得，根据方程有增根可得，即，所以．故选A．
7．【答案】B
【解析】去分母，可得，解得，
因为分式方程无解，所以，解得，
故选B．
8．【答案】A
【解析】
方程两边同时乘以（x-1）得：x+a-2a=2（x-1），
解得：x=2-a，
∵方程的解不小于0，∴2-a≥0，解得：a≤2，
∵分式方程分母不为0，∴2-a≠1，解得：a≠1，
即a的取值范围是：a≤2且a≠1，
故选A．
9．【答案】A
【解析】因为船在静水中的速度为千米/时，所以由题意可得，
故选A．
10．【答案】D
【解析】方程两边都乘x（x+1），得2x2-（m+1）=（x+1）2，
∵最简公分母x（x+1）=0，
∴x=0或x=-1．
当x=0时，m=-2；
当x=-1时，m=1．故选D．
11．【答案】C
【解析】，
去分母可得：，
移项可得： ，
合并同类项可得：，
系数化为1可得：，
根据分式方程的解为非负数和分式有解可得：，且，解得：a≤2且a≠-4，
故选C．
12．【答案】D
【解析】设乙单独做需x天完成，
由题意得：，故选D．
13．【答案】C
【解析】设慢车的速度为x千米/小时，则快车的速度为1.2x千米/小时，
根据题意可得：．
故选C．
14．【答案】C
【解析】由不等式组-2≤<a+1，可知-3≤x<，
∵x有且只有3个整数解，∴-1<≤0，∴0<a≤3，
由分式方程可知：x=-，将x=-代入x-2≠0，∴a≠1，
∵关于x的分式方程有整数解，∴6能被a-4整除，
∵a是整数，∴a=2、3、5、6、7、10、-2；
∵0<a≤3，∴a=2或3，
∴所有满足条件的整数a之和为5，
故选C．
15．【答案】C
【解析】题中方程表示原计划每天铺设管道米，即实际每天比原计划多铺设米，结果提前天完成，
故选C．
16．【答案】A
【解析】设文学类图书平均价格为x元/本，则科普类图书平均价格为1.2x元/本，
依题意得：，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意．
故选A．
17．【答案】
【解析】方程两边都乘以，可得，解得，检验：当时，，即是原方程的解，故答案为：．
18．【答案】1或
【解析】去分母得：x–a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-5a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=3，
则a的值为：1或；
故答案为：1或．
19．【答案】a≤3且a≠-12
【解析】去分母，得：（x+1）（x+3）-x（x-2）=x+a，
解得x=，
由题意知≤0且≠-3，
解得：a≤3且a≠-12，
故答案为：a≤3且a≠-12．
20．【答案】3
【解析】首先根据分式与的和为，可得，去分母，可得，解得，经检验是原方程的解，故的值为3．故答案为：3．
21．【答案】2
去分母得：9k-4k+2=12，5k=10，
解得：k=2，故答案为：2．
22．【答案】
【解析】设B型机器人每小时搬运x kg物品，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg物品，
根据题意可得，
故答案为：．
23．【解析】（1）去分母，可得，解得，
经检验是分式方程的解，
所以方程的解为．
（2）去分母，可得，解得，
经检验是分式方程的解，
所以方程的解为．
（3），即，即，
即，解得，
经检验，是原方程的根．
（4），去分母得，化简得，解得，
经检验为方程的增根，
所以方程无解．
24．【解析】设第一批玩具每套的进价是x元，则×1.5=，
解得：x=50．
经检验：x=50是原方程的解，
则第二批玩具每套的进价是x+10=60（元）．
答：第二批玩具每套的进价为60元．
25．【解析】（1）设乙种款型恤衫购进件，则甲种款型的恤衫购进件，根据题意：，
解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种款型的恤衫购进件，乙种款型的恤衫购进件．
（2），（元），
（元）
答：售完这批恤衫商店共获利元．
26．【解析】（1）设甲种商品的进价为x元/件，则乙种商品的进价为0.9x元/件，
，
解得，x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，
∴0.9x=36，
答：甲、乙两种商品的进价各是40元/件、36元/件．
（2）设甲种商品购进m件，则乙种商品购进（80-m）件，总利润为w元，
w=（80-40）m+（70-36）（80-m）=6m+2720，
∵80-m≥3m，
∴m≤20，
∴当m=20时，w取得最大值，此时w=2840，
答：该商店获得的最大利润是2840元．
直通中考
1．【答案】B
【解析】=1，两侧同时乘以（x+2），可得x+2=1，解得x=-1；
经检验x=-1是原方程的根；故选B．
2．【答案】A
【解析】方程两边同时乘以x（x-1）得，x（x-5）+2（x-1）=x（x-1），解得x=-1，
把x=-1代入原方程的分母均不为0，故x=-1是原方程的解．故选A．
3．【答案】C
【解析】方程两边都乘以（2x-1），得x-2=3（2x-1），故选C．
4．【答案】A
【解析】=1，
方程两边同乘以x-3，得2x–m=x-3，
移项及合并同类项，得x=m-3，
∵分式方程=1的解是非正数，x-3≠0，∴，
解得m≤3，故选A．
5．【答案】D
【解析】设甲每小时做x个零件，可得：，故选D．
6．【答案】
【解析】去分母得：3x+6=5x+5，解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．故答案为：．
7．【答案】x=-2
【解析】，
去分母，得（2x-1）（x+1）-2=（x+1）（x-1），
去括号，得2x2+x-3=x2-1，
移项并整理，得x2+x-2=0，
所以（x+2）（x-1）=0，
解得x=-2或x=1，
经检验，x=-2是原方程的解．
故答案为：x=-2．
8．【答案】10
【解析】设江水的流速为x km/h，根据题意可得：=，解得：x=10，
经检验得：x=10是原方程的根，所以江水的流速为10 km/h．故答案为：10．
9．【答案】=11
【解析】设小明通过AB时的速度是x米/秒，
由题意可得：=11，
故答案为：=11．
10．【解析】两边都乘以（x+1）（x-1），得：2（x+1）=5，
解得：x=，
检验：当x=时，（x+1）（x-1）=≠0，
∴原分式方程的解为x=．
11．【答案】x=2
【解析】方程两边都乘以（x+1）（x-1），
去分母得x（x+1）-（x2-1）=3，
即x2+x–x2+1=3，
解得x=2．
检验：当x=2时，（x+1）（x-1）=（2+1）（2-1）=3≠0，
∴x=2是原方程的解，
故原分式方程的解是x=2．
12．【解析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，
依题意，得：+=27，
解得：x=8，
经检验，x=8是原方程的解，且符合题意．
答：这种粽子的标价是8元/个．
13．【解析】设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，
根据题意可得：，
解得：x=50，
经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
14．【解析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/分钟，
由题意，得．
解得x=1．
经检验，x=1是所列方程的根，且符合题意．
所以1.8x=1.8（千米/分钟）．
答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8千米/分钟．
15．【解析】设甲校师生所乘大巴车的平均速度为x km/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为
1.5x km/h．
根据题意得，解得x=60，
经检验，x=60是原分式方程的解，
1.5x=90．
答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60 km/h和90 km/h．
16．【解析】设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，
根据题意可得：-4=，
解得：x=50，
经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
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