考点07 不等式与不等式组
一、不等式的概念、性质及解集表示
1．不等式
一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2．不等式的基本性质
| 理论依据 | 式子表示 | |
| 性质1 | 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 | 若，则 |
| 性质2 | 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 | 若，，则或 |
| 性质3 | 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 | 若，，则或 |
温馨提示：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
3．不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．
（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
二、一元一次不等式及其解法
1．一元一次不等式
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步骤
解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
三、一元一次不等式组及其解法
1．一元一次不等式组
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．
2．一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
3．一元一次不等式组的解法
先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
4．几种常见的不等式组的解集
设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
| 不等式组
（其中） |
数轴表示 | 解集 | 口诀 |
 |
同大取大 | ||
 |
同小取小 | ||
 |
大小、小大中间找 | ||
 |
无解 | 大大、小小取不了 |
考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；
（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；
（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
四、列不等式（组）解决实际问题
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：
①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．
考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．
考向一 不等式的定义及性质
（1）含有不等号的式子叫做不等式．
（2）不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因为忘记改变不等号方向而导致错误．
典例1 下列式子属于不等式的个数有
①>50；②3x=4；③–1>–2；④；⑤2x≠1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵（1）是不等式；（2）是等式；（3）是不等式；（4）是代数式（既不是等式，也不是不等式）；（5）是不等式；∴上述式子中属于不等式的有3个.故选C.
【名师点睛】解答本题的要点有两点：（1）熟记不等式的定义：“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”；（2）熟记常见的5种不等号：.
典例2 下列不等式变形正确的是
A．由a>b，得ac>bc B．由a>b，得–2a>–2b
C．由a>b，得–a>–b D．由a>b，得a–2>b–2
【答案】D
【解析】A、由a>b，当c<0时，得ac<bc，错误；
B、由a>b，得–2a<–2b，错误；
C、由a>b，得–a<–b，错误；
D、由a>b，得a–2>b–2，正确；
故选D．
【名师点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
1．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中是不等式的有
A．个 B．个 C．个 D．个
2．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a–b>0，则a__________b；
（2）若a–b=0，则a__________b；
（3）若a–b<0，则a__________b.
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4＋3a2–2b＋b2与3a2–2b＋1的大小．
考向二 一元一次不等式的解集及数轴表示
（1）一元一次不等式的求解步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．
（2）进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．
典例3 不等式的解集为________________．
【答案】【解析】去分母：，去括号：，移项：，合并同类项：，系数化为1：，故不等式的解集为．
典例4 某不等式的解集在数轴上表示如下图所示，则该不等式的解集是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】观察数轴可得，故该不等式的解集是，故选C．
【名师点睛】本题主要考查对在数轴上表示不等式的解集的理解和掌握，能根据数轴上不等式的解集得出答案是解此题的关键．
3．不等式的解集为
A． B．
C． D．
4．不等式的解集在数轴上表示正确的是
A． 
B． 
C． 
D． 
考向三 一元一次不等式组的解集及数轴表示
不等式解集的确定有两种方法：
（1）数轴法：在数轴上把各个不等式解集表示出来，寻找公共部分并用不等式表示出来；
（2）口诀法：“大大取大小小取小，大小小大中间找，大大小小取不了．”
典例5 已知点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示是
A． 
B． 
C． 
D． 
【答案】C
【解析】∵点在第二象限，∴，解得a<–1．故选C．
【名师点睛】本题考查了点所在象限的横纵坐标符号和解一元一次不等式组的有关知识，解答关键是根据题意正确构造不等式组并正确求解.
典例6 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】–1≤x<3
【解析】，
解不等式①，得：x≥–1，解不等式②，得：x<3，
则不等式组的解集为–1≤x<3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【名师点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，正确求得不等式组中每一个不等式的解集是解决问题的关键.
5．解不等式组：.
6．解不等式组，并把它的解集在如下的数轴上表示出来．
考向四 一元一次不等式（组）的整数解问题
此类问题的实质是解不等式（组），通过不等式（组）的解集，然后写出符合题意的整数解即可．
典例7 若实数是不等式的一个解，则可取的最小正整数为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】D
【解析】根据题意，是不等式的一个解，将代入不等式，可得，解得，则可取的最小正整数为5，故选D．
【名师点睛】本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解的定义及解不等式的能力是解题的关键．
典例8 不等式组的最小整数解是
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】不等式组即，即，大于2的最小整数是3，所以不等式组的最小整数解是3，故选C．
7．不等式的非负整数解有_______________个．
8．不等式组的所有整数解之和为_______________．
考向五 求参数的值或取值范围
求解此类题目的难点是根据不等式（组）的解的情况得到关于参数的等式或不等式，然后求解即可．
典例9 若关于的不等式组的解集是，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意得，解得，故选A．
典例10 已知不等式组仅有个整数解，那么的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，解不等式①可得，解不等式②可得，由题可得不等式组的解集为，因为不等式组仅有个整数解，即2和3，所以，解得．故选D．
【名师点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解．已知解集（整数解）求字母的取值或取值范围的一般思路：先把题目中除了未知数以外的字母当做常数看待，解不等式组，然后再根据题目中对结果的限制条件得到有关字母的式子，求解即可．
9．若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为
A． B．
C． D．
10．若关于的不等式的整数解共有个，则的取值范围为______________．
考向六 一元一次不等式（组）的应用
求解此类题目的难点是建立“不等式（组）模型”，通过求解不等式（组）的解集并与实际相结合即可．
典例11 对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{–2，–1，0}=–1；max{–2，–1，0}=0，max{–2，–1，a}=，根据以上材料，解决下列问题：若max{3，5–3x，2x–6}=M{1，5，3}，则x的取值范围为__________．
【答案】
【解析】∵max{3，5–3x，2x–6}=M{1，5，3}=3，
∴，∴，
故答案为．
【名师点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据题意得到不等式去求解，考查综合应用能力.
典例12 某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元.
（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有哪几种建造停车位的方案？
【答案】（1）0.1，0.5；（2）3．
【解析】（1）设该小区新建1个地上停车位需要x万元，1个地下停车位需y万元，
根据题意得：，解得：．
故该小区新建1个地上停车位需要0.1万元，1个地下停车位需0.5万元．
（2）设新建a个地上停车位，
根据题意得：，
解得：，
根据题意因为a只能取整数，
所以a=30或a=31或a=32，
对应的50–a=50–30=20或50–31=19或50–32=18，
所以则共有3种建造方案．
①建30个地上停车位，20个地下停车位；
②建31个地上停车位，19个地下停车位；
③建32个地上停车位，18个地下停车位.
11．“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
| 村庄 | 清理养鱼网箱人数/人 | 清理捕鱼网箱人数/人 | 总支出/元 |
| A | 15 | 9 | 57000 |
| B | 10 | 16 | 68000 |
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
12．某文化商店计划同时购进A、B两种仪器，若购进A种仪器2台和B种仪器3台，共需要资金1700元；若购进A种仪器3台，B种仪器1台，共需要资金1500元．
（1）求A、B两种型号的仪器每台进价各是多少元；
（2）已知A种仪器的售价为760元/台，B种仪器的售价为540元/台．该经销商决定在成本不超过30000元的前提下购进A、B两种仪器，若B种仪器是A种仪器的3倍还多10台，那么要使总利润不少于21600元，该经销商有哪几种进货方案？
1．不等式3x<18的解集是
A．x>6 B．x<6 C．x<–6 D．x<0
2．若，则下列式子一定成立的是
A． B． C． D．
3．对于实数a，b，若b<a<0，则下列四个数中，一定是负数的是
A．a–b B．ab C． D．a＋b
4．如果（a+1）x<a+1的解集是x>1，那么a的取值范围是
A．a<0 B．a<﹣1
C．a>﹣1 D．a是任意有理数
5．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，如图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列哪一种情形是正确的
A． 
B． 
C． 
D． 
6．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是
A． 
B． 
C． 
D． 
7．关于x的不等式组的解集为x>1，则a的取值范围是
A．a≥1 B．a>1 C．a≤1 D．a<1
8．若数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程=3的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为
A．﹣2 B．0 C．3 D．6
9．如图，直角△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，且∠ACB的度数为，则的值可能是
A．10 B．20 C．30 D．40
10．若数a使关于x的不等式组 至少有3个整数解，且使关于y的分式方程=2有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是
A．14 B．15 C．23 D．24
11．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是
A．a≥6 B．a>6 C．a≤﹣6 D．a<﹣6
12．在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是（0，﹣1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），已知OA=OD=4，则a的取值范围是
A． 
B． 
C． 
D． 
13．若不等式的解集是，则必须满足的条件是
A． B．
C． D．
14．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是
A． 
B． 
C． 
D． 
15．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高
A． B．
C． D．
16．已知关于的不等式组的整数解有4个，则的取值范围是
A． B．
C． D．
17．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是
A． B．
C． D．
18．适合不等式组的全部整数解的和是
A． B．
C． D．
19．老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有_________________个．
20．不等式的解集为_________________．
21．不等式组的整数解是_________________．
22．不等式组的解集是，则的取值范围是_________________．
23．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为_________________．
24．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是_________________．
25．不等式组的最小整数解是_________________．
26．若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是_________________．
27．张老师把手中一包棒棒糖准备分给幼儿园小班的小朋友，如果每个小朋友分3个棒棒糖，那么还剩59个；如果前面每一个小朋友分5个棒棒糖，则最后一个小朋友得到了棒棒糖，但不足3个．则张老师手中棒棒糖的个数为_________________．
28．“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
29．某商城销售A，B两种自行车型自行车售价为2100元辆，B型自行车售价为1750元辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元，商城用80000元购进A型自行车的数量与用64000元购进B型自行车的数量相等．
（1）求每辆A，B两种自行车的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13000元，求获利最大的方案以及最大利润．
30．学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑3000元，购买1台学习机800元．
（1）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，则购买平板电脑最多多少台？
（2）在（1）的条件下，购买学习机的台数不超过平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？
1．（2019•河北）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为
A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x=5
2．（2019•桂林）如果a>b，c<0，那么下列不等式成立的是
A．a+c>b B．a+c>b–c
C．ac-1>bc-1 D．a（c-1）<b（c-1）
3．（2019·广安）若，下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
4．（2019•宁波）不等式的解为
A． B． C． D．
5．（2019·滨州）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是
A． 
B． 
C． 
D． 
6．（2019·雅安）不等式组的解集为
A． B． C． D．
7．（2019·襄阳）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是
A． 
B． 
C． 
D． 
8．（2019·广元）不等式组的非负整数解的个数是
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2019·内江）若关于的代等式组恰有三个整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．或
10．（2019·永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2019·呼和浩特）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
12．（2019•呼和浩特）若不等式-1≤2-x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x-1）+5>5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是
A．m>- B．m<- C．m<- D．m>-
13．（2019•常德）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为
A．10<x<12 B．12<x<15 C．10<x<15 D．11<x<14
14．（2019•绥化）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
15．（2019·重庆A卷）若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为
A．0 B．1 C．4 D．6
16．（2019·无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为
A．10 B．9 C．8 D．7
17．（2019•重庆）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为
A．13 B．14 C．15 D．16
18．（2019•广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
19．（2019•河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
20．（2019·聊城）某商场的运动服装专柜，对两种品牌的远动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．
| 第一次 | 第二次 | |
| 品牌运动服装数/件 | 20 | 30 |
| 品牌运动服装数/件 | 30 | 40 |
| 累计采购款/元 | 10200 | 14400 |
（1）问两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服？
21．（2019·张家界）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？
22．（2019·遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
23．（2019·广元）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．
（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？
（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
变式拓展
1．【答案】B
【解析】①，是不等式，符合题意；
②，是不等式，符合题意；
③，是等式，不合题意；
④，是多项式，不符合题意；
⑤，是不等式，符合题意；
⑥，是不等式，符合题意，
故选B.
【名师点睛】本题考查了不等式的识别，明确用“>、<、≥、≤、≠”等表示不等关系的符号连接的式子叫不等式是解题的关键.
2．【答案】（1）>；（2）=；（3）<；（4）4＋3a2–2b＋b2>3a2–2b＋1．
【解析】（1）因为a–b>0，所以a–b+b>0+b，即a>b；
（2）因为a–b=0，所以a–b+b=0+b，即a=b；
（3）因为a–b<0，所以a–b+b<0+b，即a<b．
（4）（4+3a2–2b+b2）–（3a2–2b+1）
=4+3a2–2b+b2–3a2+2b–1
=b2+3．
因为b2+3>0，所以4+3a2–2b+b2>3a2–2b+1．
故答案为：>、=、<、4+3a2–2b+b2>3a2–2b+1．
【名师点睛】（1）本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
（2）此题还考查了“求差法比较大小”方法的应用，要熟练掌握．
3．【答案】C
【解析】移项，可得，系数化为1，可得．故选C．
4．【答案】D
【解析】对移项及合并同类项，可得，在数轴上表示为 
，故选D．
5．【答案】
【解析】，
由不等式①得，解得，
由不等式②得，解得，
将不等式①，②的解集表示在数轴上为
所以该不等式组的解集为.
【名师点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握不等式组解集的表示方法是关键.
6．【答案】–3<x≤1；
【解析】，
解不等式①，得：x>–3；
解不等式②，得：x≤1；
所以不等式组的解集为：–3<x≤1；
在数轴上表示为：
7．【答案】6
【解析】去括号可得，移项、合并同类项可得，系数化为1可得，则满足不等式的非负整数解为：0，1，2，3，4，5，共6个．
8．【答案】
【解析】，解不等式①可得，解不等式②可得，所以不等式组的解集是，该不等式组的整数解有，，，它们的和为．
9．【答案】C
【解析】，解不等式①可得，解不等式②可得，因为关于的一元一次不等式组有解，所以，．故选C．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断，也可以观察不等式的解，若大于较小的数、小于较大的数，那么该不等式组有解．
10．【答案】
【解析】不等式组可化为，由不等式的整数解有2个，可得，整数解为3，4，则的范围为．
11．【答案】（1）清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；（2）分配清理人员方案有两种：方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．
【解析】（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；
（2）设m人清理养鱼网箱，则（40–m）人清理捕鱼网箱，
根据题意，得：，
解得：18≤m<20，
∵m为整数，∴m=18或m=19，
则分配清理人员方案有两种：
方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；
方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．
【名师点睛】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系或不等关系，并据此列出方程或不等式组．
12．【答案】（1）A、B两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；（2）有三种具体方案：①购进A种仪器18台，购进B种仪器64台；②购进A种仪器19台，购进B种仪器67台；③购进A种仪器20台，购进B种仪器70台．
【解析】（1）设A、B两种型号的仪器每台进价各是x元和y元．
由题意得：，解得：．
答：A、B两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；
（2）设购进A种仪器a台，则购进A种仪器（3a+10）台．
则有：，
解得．
由于a为整数，∴a可取18或19或20．
所以有三种具体方案：
①购进A种仪器18台，购进B种仪器64台；
②购进A种仪器19台，购进B种仪器67台；
③购进A种仪器20台，购进B种仪器70台．
【名师点睛】考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．注意：利润=售价–进价．
考点冲关
1．【答案】B
【解析】系数化为1得：x<6．
2．【答案】B
【解析】A、若0>a>b时，a+b<0．故A选项错误；
B、在a>b的两边同时减去b，不等式仍成立，即a–b>0．故B选项正确；
C、若a>0>b时，ab<0．故C选项错误；
D、若b=0时，该不等式不成立．故D选项错误．
故选B．
【名师点睛】本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
3．【答案】D
【解析】∵b<a，∴a–b>0，故A选项不符合题意，
∵a<0，b<0，∴ab>0，>0，故B、C选项不符合题意，
∵b<a<0，∴a+b<0，故D选项符合题意，故选D.
【名师点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
4．【答案】B
【解析】如果（a+1）x<a+1的解集是x>1，得a+1<0，a<–1.故选B.
5．【答案】D
【解析】设1个糖果的质量为x克，则，解得5<x<．
则10<2x<；15<3x<16；20<4x<．故只有选项D正确．故选D．
6．【答案】B
【解析】．故选B．
【名师点睛】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>，≥向右画；<，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
7．【答案】C
【解析】∵不等式组的解集为x>1，根据大大取大可得：a≤1，故选C．
【名师点睛】本题主要考查的是求不等式组的解集，属于基础题型．理解不等式组的解集与不等式的解之间的关系是解决这个问题的关键．
8．【答案】B
【解析】解不等式，得：x≤3，
解不等式7x+4>﹣a，得：x>，
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴在的范围内只有4个整数解，
∴整数解为x=0，1，2，3，
∴，解得：﹣4<a≤3①，
解方程：=3，解得：y=，
∵>0，解得：a<5②，
∴所有满足①②的整数a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，
∴符合条件的所有整数a的和为0．故选B．
【名师点睛】本题考查了解一元一次不等式组及应用，解分式方程．解题关键是由不等式组有4个整数解推出不等式②解集的范围，再得到a的取值范围．
9．【答案】C
【解析】∠ACB=∠90°+∠CBD，∴（5x−10）°=∠90°+∠CBD，化简得：x=20+∠DBC，
∵0°<∠DBC<90°，∴20°<x<38°，故选C．
【名师点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，三角形内角和定理，三角形的外角性质三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，就可以得到x与∠CBD的关系，根据∠CBD是锐角，就可以得到一个关于x的不等式组，就可以求出x的范围．
10．【答案】A
【解析】解不等式，得：x≤11，
解不等式5x﹣2a>2x+a，得：x>a，
∵不等式组至少有3个整数解，∴a<9；
分式方程两边乘以y﹣1，得：a﹣3+2=2（y﹣1），解得：y=，
∵分式方程有非负整数解，∴a取﹣1，1，3，5，7，9，11，……
∵a<9，且y≠1，∴a只能取﹣1，3，5，7，
则所有整数a的和为﹣1+3+5+7=14，
故选A．
【名师点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解和分式方程的解，关键在于用含有a的式子表示y
11．【答案】A
【解析】由x﹣6<0知x<6，由x﹣a>0知x>a，
∵不等式组无解，∴a≥6，故选A．
【名师点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．【答案】D
【解析】∵AB=5，OA=4，∴OB=，∴点B（–3，0）．
∵OA=OD=4，∴点A（0，4），点D（4，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（0，4）、D（4，0）代入y=kx+b，，解得：，
∴直线AD的解析式为y=–x+4；
设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B（–3，0）、C（0，–1）代入y=mx+n，
，解得：，∴直线BC的解析式为y=–x–1．
联立直线AD、BC的解析式成方程组，，解得：，
∴直线AD、BC的交点坐标为（，–）．
∵点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），∴–3<a<．
故选D．
13．【答案】B
【解析】合并同类项可得，因为不等式的解集是，所以，即．故选B．
14．【答案】D
【解析】，解不等式①可得，解不等式②可得，所以不等式组的解集为，在数轴上表示为 
，故选D．
15．【答案】B
【解析】设购进这种水果千克，进价为元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高，则售价为元/千克，根据题意得购进这批水果用去元，但在售出时，水果只剩下千克，售货款为元，由题意得，解得．因为超市要想至少获得的利润，所以这种水果的售价在进价的基础上应至少提高．故选B．
16．【答案】C
【解析】，由①得，由②得，因为不等式组有4个整数解，所以，整数解为5，6，7，8，所以，故选C．
17．【答案】D
【解析】因为处是空心圆点，且折线向右，处是实心圆点，且折线向左，所以这个不等式组的解集是，对应的不等式组为，故选D．
18．【答案】B
【解析】，解不等式①得，解不等式②得，
不等式组的解集为−，整数解为，，，
全部整数解的和是，故选B．
19．【答案】4
【解析】因为用不等号连接的式子叫做不等式，其中常用不等号有：“>，<，≥，≤，≠”，所以属于不等式的是①②③⑥，共有4个．
20．【答案】
【解析】因为，所以，所以．故不等式的解集为．
21．【答案】3、4
【解析】解不等式x–1≥0，得：x≥3，
解不等式x–16<1–3x，得：x<，
则不等式组的解集为3≤x<，
所以不等式组的整数解为3、4，
故答案为：3、4．
【名师点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
22．【答案】
【解析】，解不等式①得，解不等式②得，
因为不等式组的解集是，所以，所以．
23．【答案】
【解析】解不等式组不等式组可得．
因为关于的不等式组的解集为，所以．
24．【答案】
【解析】，由①可得，由②可得，
因为关于的一元一次不等式组无解，所以．
25．【答案】
【解析】，由①可得，由②可得，不等式组的解集为，所以不等式组的最小整数解为．
26．【答案】
【解析】，由①可得，由②可得，
因为关于的不等式的整数解共有4个，所以，整数解应为3，4，5，6，
所以．
27．【答案】
【解析】设共有个小朋友，则棒棒糖有个，再根据最后一个小朋友得到了棒棒糖，但不足个列出不等式组，解得，所以，所以，故张老师手中棒棒糖的个数为．
28．【答案】（1）购买A型和B型公交车每辆各需100万元、150万元；（2）该公司有3种购车方案，第3种购车方案的总费用最少，最少总费为1100万元.
【解析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，解得．
答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10–a）辆，
由题意得，解得：6≤a≤8，
所以a=6，7，8；
则（10–a）=4，3，2；
三种方案：
①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；
购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
【名师点睛】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
29．【答案】（1）每辆A型自行车的进价为2000元，每辆B型自行车的进价为1600元；（2）当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．
【解析】（1）设每辆B型自行车的进价为x元，则每辆A型自行车的进价为（x+400）元，
根据题意，得=，解得x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，
x+400=1600+400=2000，
答：每辆A型自行车的进价为2000元，每辆B型自行车的进价为1600元；
（2）由题意，得y=（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）=﹣50m+15000，
根据题意，得，解得：33≤m≤40，
∵m为正整数，∴m=34，35，36，37，38，39，40．
∵y=﹣50m+15000，k=﹣50<0，
∴y随m的增大而减小，∴当m=34时，y有最大值，
最大值为：﹣50×34+15000=13300（元）．
答：当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．
【名师点睛】本题主要考查一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式组的应用.仔细审题，找出题目中的数量关系是解答本题的关键.
30．【答案】（1）平板电脑最多购买40台；（2）购买平板电脑38台，学习机62台最省钱．
【思路分析】（1）设购买平板电脑台，则购买学习机台，根据购买的总费用不超过168000列出不等式，求出解集即可；（2）购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍列出不等式，求出不等式组的解集，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案．
【解析】（1）设购买平板电脑台，则购买学习机台，
根据题意，得，解得．
答：平板电脑最多购买40台．
（2）设购买平板电脑台，则购买学习机台，
根据题意，得，解得，
又为正整数且，所以38，39，40，
因此该校有三种购买方案：
方案一：购买平板电脑38台，学习机62台，总费用为163600元；
方案二：购买平板电脑39台，学习机61台，总费用为165800元；
方案三：购买平板电脑40台，学习机60台，总费用为168000元；
显然163600<165800<168000，所以购买平板电脑38台，学习机62台最省钱．
答：购买平板电脑38台，学习机62台最省钱．
直通中考
1．【答案】A
【解析】“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．故选A．
2．【答案】D
【解析】∵c<0，∴c-1<-1，∵a>b，∴a（c-1）<b（c-1），故选D．
3．【答案】D
【解析】A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以-3，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C错误；
D、如，故D正确，故选D．
4．【答案】A
【解析】，3-x>2x，3>3x，x<1，故选A．
5．【答案】C
【解析】∵点关于原点对称的点在第四象限，∴点在第二象限，
∴，解得：．则的取值范围在数轴上表示正确的是： 
．故选C．
6．【答案】B
【解析】，
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集为，
故选B．
【名师点睛】本题考查了解一元一次方程组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．【答案】C
【解析】不等式组整理得：，
∴不等式组的解集为，
故选C．
【名师点睛】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．【答案】B
【解析】，
解①得：，
解②得：，
则不等式组的解集为．
故非负整数解为0，1，2，3共4个，
故选B．
【名师点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了．
9．【答案】B
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴这三个整数解为0、1、2，
∴，
解得，
故选B．
【名师点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键在于掌握运算法则．
10．【答案】C
【解析】解不等式2x-6+m<0，得：x，
解不等式4x–m>0，得：x，
∵不等式组有解，
∴，
解得m<4，
如果m=2，则不等式组的解集为m<2，整数解为x=1，有1个；
如果m=0，则不等式组的解集为0<m<3，整数解为x=1，2，有2个；
如果m=-1，则不等式组的解集为m，整数解为x=0，1，2，3，有4个，
故选C．
【名师点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．【答案】C
【解析】解不等式得：，
∵不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，
∴，
∴，
解得：，
故选C．
【名师点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
12．【答案】C
【解析】解不等式-1≤2-x得：x≤，
∵不等式-1≤2-x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x-1）+5>5x+2（m+x）成立，
∴x<，∴>，解得：m<-，故选C．
13．【答案】B
【解析】根据题意可得：，可得：12≤x≤15，∴12<x<15，故选B．
14．【答案】C
【解析】设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，，
解得，1≤x<3，∵x为整数，∴x=1或2或3，∴有3种购买方案．故选C．
15．【答案】B
【解析】由不等式组，解得，∵解集是x≤a，∴a<5．
由关于的分式方程得得2y–a+y-4=y-1，∴，
又∵非负整数解，∴a≥-3，且a=-3，a=-1（舍，此时分式方程为增根），a=1，a=3它们的和为1，故选B．
16．【答案】B
【解析】设原计划m天完成，开工x天后3人外出培训，则有15am=2160，得到am=144，
由题意得15ax+12（a+2）（m–x）<2160，即：ax+4am+8m-8x<720，
∵am=144，∴将其代入得：ax+576+8m-8x<720，即：ax+8m-8x<144，
∴ax+8m-8x<am，∴8（m–x）<a（m–x），
∵m>x，∴m–x>0，∴a>8，∴a至少为9，故选B．
17．【答案】C
【解析】设要答对x道．10x+（-5）×（20-x）>120，10x-100+5x>120，15x>220， 解得：x>，
根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．故选C．
18．【解析】（1）设购买篮球x个，购买足球y个，
依题意得： ．
解得．
答：购买篮球20个，购买足球40个．
（2）设购买了a个篮球，
依题意得：70a≤80（60-a），
解得a≤32．
答：最多可购买32个篮球．
19．【解析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得，
∴，
∴A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30-z）个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，z≥（30-z），
∴z≥，
W=30z+15（30-z）=450+15z，
当z=8时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少．
20．【解析】（1）设两种品牌运动服的进货单价分别为元和元，
根据题意，得，
解得，
经检验，方程组的解符合题意．
答：两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元．
（2）设购进品牌运动服件，则购进品牌运动服件，
∴，
解得，．
经检验，不等式的解符合题意，∴．
答：最多能购进65件品牌运动服．
21．【解析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗棵，
由题意可得，，
，
，
∴购买甲种树苗196棵，乙种树苗352棵．
（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗棵，
根据题意可得，，
，
∴，
∵y为自然数，
∴y=3、2、1、0，有四种购买方案，
购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；
购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；
购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；
购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵．
【名师点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系、不等关系是解题的关键．
22．【解析】（1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元，
，
解得，，
答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元．
（2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆，
，
解得，，，，
∴共有三种租车方案，
方案一：租用A型客车2辆，B型客车5辆，费用为9900元，
方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆，费用为9400元，
方案三：租用A型客车5辆，B型客车1辆，费用为9800元，
由上可得，方案二：租用A型客车4辆，B型客车2辆最省钱．
【名师点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质和方程的知识解答．
23．【解析】（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是元，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元．
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克，利润为w元，
，
∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，
∴，
解得，，
∴当时，w取得最大值，此时，，
答：水果商进货甲种水果145千克，乙种水果55千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．
【名师点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
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