2020年中考各科考点一遍过讲义01–备战2020年中考数学考点13 相交线与平行线-备战2020年中考数学考点一遍过

考点13 相交线与平行线

知识框架图

一、相交线

1．三线八角

（1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．

∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．

（2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如图：

2．垂直

（1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．

（2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．

3．点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．

4．邻补角

（1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．

（2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．

（3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．

5．对顶角

（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．

（2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．

二、平行线

1．定义

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．

2．平行线的判定

（1）定义．

（2）同位角相等，两直线平行．

（3）内错角相等，两直线平行．

（4）同旁内角互补，两直线平行．

（5）平行于同一直线的两直线互相平行．

（6）垂直于同一直线的两直线互相平行．

3．平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等．

（2）两直线平行，内错角相等．

（3）两直线平行，同旁内角互补．

4．平行线间的距离

（1）定义

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．

（2）性质

两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．

考向一 对顶角和邻补角

1．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．

2．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．

典例1 （2019·河南初一期中）如图，三条直线相交于点，于点，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，，∴∠1=90°－=90°－56°=34°，∵对顶角相等，∴=∠1=34°，故选B．

【名师点睛】本题考查了垂直的定义以及对顶角相等，熟练运用相关几何性质是解题的关键．

典例2 （2019·黑龙江八五八农场学校初一期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD=30°，则∠BOC=

A．150° B．140°

C．130° D．120°

【答案】D

【解析】∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°，∵∠EOD=30°，∴∠DOB=90°–30°=60°，

∴∠BOC=180°–∠DOB=180°–60°=120°，故选D．

【名师点睛】本题主要考查了垂线，邻补角，灵活运用垂线，邻补角的定义计算是解题的关键．

1．（2019·黑龙江初一月考）下列图中，与是对顶角的是

A． B．

C． D．

2．（2019·哈尔滨市光华中学校初一月考）如图，当剪子口增大时，增大度．

A． B．

C． D．

3．（2019·广东省台山一中大江实验中学初一期末）如图所示，直线a与b相交，如果，那么

A．45° B．135° C．30° D．90°

4．（2020·兰州市第五十五中学初一月考）如图所示，已知直线AB、CD相较于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是

A．20 B．25° C．30° D．70°

考向二 平行线的判定和性质

解决平行线性质求角度的问题，首先应在脑海中回顾下平行线的性质，再从所求角度出发，结合已知条件寻求所求角度与已知之间的数量关系，有时也会用到题中的隐含条件，如三角形内角和、三角形内外角关系等来求解．

典例3 如图，下列条件中，能判断直线l₁∥l₂的是

A．∠2=∠3 B．∠1=∠3

C．∠4+∠5=180° D．∠2=∠4

【答案】B

【解析】A、∠2和∠3不是直线l₁、l₂被第三条直线所截形成的角，故不能判断直线l₁∥l₂；B、∵∠1=∠3，∴l₁∥l₂（同位角相等，两直线平行）；C、∠4、∠5是直线l₁、l₂被第三条直线所截形成的同位角，故∠4+∠5=180°不能判断直线l₁∥l₂；D、∠2、∠4是直线l₁、l₂被第三条直线所截形成的同旁内角，故∠2=∠4不能判断直线l₁∥l₂，故选B．

典例4 如图，直线l₁∥l₂，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=__________．

【答案】140°

【解析】如图，∵l₁∥l₂，∴∠3=∠1=40°，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-

∠3=180°-40°=140°．故答案为：140°．

典例5 如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=120°，则∠4=__________°．

【答案】60

【解析】如图，∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠4=∠5，∵∠3=120°，∴∠4=∠5=180°-∠3=60°，故答案为：60．

5．如图，，，…，是两条直线，被直线所截后形成的八个角，则能够判定直线的是

A． B．

C． D．

6．如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠2=50°，那么∠1的度数为

A．10° B．20°

C．30° D．40°

7．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=87°，求∠AGD的度数．

1．（2019·黑龙江省红光农场学校初二期中）如图，直线m、n相交，则∠1与∠2的位置关系为

A．邻补角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角

2．（2019·山东初一月考）下列说法中正确的有

①一个角的余角一定比这个角大；②同角的余角相等；③若，则，，互补；④对顶角相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（2019·江西初一期末）如图所示，下列说法不正确的是

A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠1和∠3是对顶角

C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是内错角

4．（2019·江西初一期末）如图，于点，经过点，，则为

A． B． C． D．

5．（2019·山东初一期中）如图，直线AB、CD、EF相交于一点，∠1=50°，∠2=64°，则∠COF=度．

A．66 B．50 C．64 D．76

6．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D=_________度．

7．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A‘、D‘对应．若∠1=65°，则∠2=__________°．

8．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，已知AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AB∥DE．

9．如图，四边形中，分别取，的延长线上一点和，连接，分别交，于点和，若∠1=∠2，∠3=∠4，求证：∠=∠．

1．（2019·甘肃兰州）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠80°，则∠2=

A．130° B．120° C．110° D．100°

2．（2019•广西贺州）如图，已知直线a∥b，∠1=60°，则∠2的度数是

A．45° B．55° C．60° D．120°

3．（2019•湖南湘西州）如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=40°，则∠3的度数为

A．40° B．90° C．50° D．100°

4．（2019•贵州安顺）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是

A．35° B．45° C．55° D．65°

5．（2019•深圳）如图，已知l₁∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是

A．∠1=∠4 B．∠1=∠5 C．∠2=∠3 D．∠1=∠3

6．（2019•河南）如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为

A．45° B．48° C．50° D．58°

7．（2019•海南）如图，直线l₁∥l₂，点A在直线l₁上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l₁、l₂于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC=70°，则∠1的大小为

A．20° B．35° C．40° D．70°

8．（2019•河北）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

则回答正确的是

A．◎代表∠FEC B．@代表同位角

C．▲代表∠EFC D．※代表AB

9．（2019•新疆）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的度数是

A．40° B．50° C．130° D．150°

10．（2019•兰州）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=80°，则∠2=

A．130° B．120° C．110° D．100°

11．（2019•甘肃）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是

A．48° B．78° C．92° D．102°

12．（2019•随州）如图，直线l_l∥l₂，直角三角板的直角顶点C在直线l₁上，一锐角顶点B在直线l₂上，若∠1=35°，则∠2的度数是

A．65° B．55° C．45° D．35°

13．（2019•长沙）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1=80°，则∠2的度数是

A．80° B．90° C．100° D．110°

14．（2019•常州）如果∠α=35°，那么∠α的余角等于__________°．

15．（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为__________．

16．（2019•吉林）如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC=70°，∠CED=50°，则∠B=__________°．

17．（2019•广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是__________cm．

18．（2019•广东）如图，已知a∥b，∠1=75°，则∠2=__________．

19．（2019•南京）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：

∵__________，∴a∥b．

20．（2019•四川自贡）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=120°，则∠2=__________．

21．（2019·四川绵阳）如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2=______．

22．（2019·云南）如图，若AB∥CD，∠1=40度，则∠2=__________度.

23．（2019·湖南益阳）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1=142°，则∠2=__________度．

24．（2019•山东威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1=23°，则∠2=__________°．

25．（2019·江苏盐城）如图，直线a∥b，∠1=50°，那么∠2=________.

26．（2019•武汉）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A=∠1，CE∥DF，求证：∠E=∠F．

27．（2019•湖北武汉）如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A=∠1，CE∥DF，求证：∠E=∠F．

变式拓展

1．【答案】C

【解析】A、B、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有C．故选C．

【名师点睛】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形是解题的关键．

2．【答案】B

【解析】因为∠AOB和∠COD是一组对顶角，根据对顶角相等

当剪子口∠AOB增大25°时，∠COD增大25°，故选B.

【名师点睛】本题考查对顶角，能把实际问题抽象成数学问题，从中找出对顶角是解决本题的关键.

3．【答案】B

【解析】根据题意，∠1与∠2是邻补角，∴，

∴；故选B.

【名师点睛】本题考查了邻补角的定义，解题的关键是掌握邻补角之和等于180°.

4．【答案】D

【解析】∵OE平分∠COB，若∠EOB=55°，∴∠COB=2∠EOB=110°，

∵∠BOD与∠COB是邻补角，∴∠BOD=180°–∠COB=70°，故选D.

【名师点睛】本题考查了角平分线的定义及邻补角的概念，掌握角平分线的定义和邻补角之和为180°是解题的关键．

5．【答案】B

【解析】根据定义A、C、D均不能判定两直线平行，B选项中，，，即：同旁内角互补，两直线平行，故选B．

6．【答案】A

【解析】如图，过E作EF∥直线a，则EF∥直线b，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∴∠1=60°-∠2=10°，故选A．

7．【解析】∵EF∥AD，∴∠2=∠3．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），

∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵∠BAC=87°，∴∠AGD=93°．

考点冲关

1．【答案】A

【解析】直线m、n相交，则∠1与∠2互为邻补角．故选A．

【名师点睛】本题考查了邻补角的意义，掌握两个角的位置关系是解决问题的关键．

2．【答案】B

【解析】一个角的余角不一定比这个角大，如60°的余角为30°，小于60°，①错误；

同角的余角相等，②正确；

两个角的和是180°，这两个角互补，所以互补是指两个角的关系，③错误；

对顶角相等，④正确，

故选B．

【名师点睛】本题考查的是余角和补角的概念、对顶角的性质，掌握对顶角相等、余角和补角的概念是解题的关键．

3．【答案】A

【解析】【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．

【详解】A.∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；

B.∠1和∠3是对顶角，此选项正确；

C.∠3和∠4是同位角，此选项正确；

D.∠1和∠4是内错角，此选项正确；

故选A.

【名师点睛】此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义.

4．【答案】B

【解析】∵CO⊥AB，∴∠COB=90°，又∵∠COD=50°，∴∠DOB=90°−50°=40°，∴∠AOE=∠DOB=40°，故选B.

【名师点睛】此题考查对顶角、邻补角，垂线，解题关键在于掌握∠COD与∠DOB互余.

5．【答案】A

【解析】∵∠1=50°，∠2=64°，∴∠DOE=180°−∠1−∠2=66°，∴∠COF=∠DOE=66°，

故选A.

【名师点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角的性质，熟练掌握对顶角、邻补角的性质是关键.

6．【答案】36

【解析】∵AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，∴∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，在△CDE中，∠D=180°-∠DCE-∠DEC=180°-72°-72°=36°，故答案为：36．

7．【答案】50

【解析】∵AB∥CD，∴∠AEF=∠1=65°，∵∠A′EF=∠AEF，∴∠2=180°-∠AEF-∠A′EF=180°-65°-

65°=50°，故答案为：50．

8．【解析】∵BE=CF（已知），

∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，

在△ABC和△DEF中，，

∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠ABC=∠DEF（全等三角形的对应角相等），

∴AB∥DE．

9．【解析】∵∠1=∠AHE，∠1=∠2，

∴∠AHE=∠2，∴AD∥BC，∴∠3+∠C=180°，

∵∠3=∠4，∴∠4+∠C=180°，

∴AB∥CD，∴∠E=∠F．

直通中考

1．【答案】D

【解析】∵∠1=80°，∴∠1的对顶角为80°，又∵a∥b，∴∠1的对顶角和∠2互补，∴∠2=180°–80°=100°，故选D．

2．【答案】C

【解析】∵直线a∥b，∠1=60°，∴∠2=60°．故选C．

【名师点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确把握平行线的性质是解题关键．

3．【答案】B

【解析】∵a∥b，∴∠4=∠1=50°，∵∠2=40°，∴∠3=90°，故选B．

4．【答案】C

【解析】如图，∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，∴∠3=55°，∴∠2=∠3=55°，故选C．

5．【答案】B

【解析】∵l₁∥AB，∴∠2=∠4，∠3=∠2，∠5=∠1+∠2，

∵AC为角平分线，∴∠1=∠2=∠4=∠3，∠5=2∠1．故选B．

【名师点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

6．【答案】B

【解析】如图，∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∵∠1=∠D+∠E，∴∠D=∠B–∠E=75°–27°=48°，故选B．

【名师点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．

7．【答案】C

【解析】∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l₁、l₂于B、C，

∴AC=AB，∴∠CBA=∠BCA=70°，

∵l₁∥l₂，∴∠CBA+∠BCA+∠1=180°，∴∠1=180°–70°–70°=40°，故选C．

【名师点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．

8．【答案】C

【解析】延长BE交CD于点F，则∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．

又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC．

故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

综上可得※代表CD，◎代表∠EFC，▲代表∠EFC，@代表内错角．故选C．

【名师点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．

9．【答案】C

【解析】如图，∵AB∥CD，∴∠2=∠A=50°，∴∠1=180°–∠2=180°–50°=130°，故选C．

【名师点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．

10．【答案】D

【解析】如图，∵∠1=80°，∴∠3=80°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°–80°=100°．故选D．

【名师点睛】本题考查了平行线的性质，要熟记平行线的有关性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

11．【答案】D

【解析】∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1=48°，

∴∠2=∠3=180°–48°–30°=102°．故选D．

【名师点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．

12．【答案】B

【解析】如图，∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，∴∠3=55°．又∵直线l_l∥l₂，∴∠2=∠3=55°．故选B．

【名师点睛】本题考查了平行线的性质，余角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．

13．【答案】C

【解析】∵∠1=80°，∴∠3=100°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=100°．故选C．

【名师点睛】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题关键．

14．【答案】55

【解析】∵∠α=35°，∴∠α的余角等于90°﹣35°=55°，故答案为：55．

【名师点睛】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．

15．【答案】15°或45°

【解析】分情况讨论：

①当DE⊥BC时，∠BAD=75°，∴α=90°﹣∠BAD=15°；

②当AD⊥BC时，∠BAD=45°，即α=45°．

故答案为：15°或45°．

【名师点睛】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．

16．【答案】60

【解析】∵ED∥BC，∴∠CED=∠C=50°，又∵∠BAC=70°，∴△ABC中，∠B=180°﹣50°﹣70°=60°，

故答案为：60．

【名师点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．

17．【答案】5

【解析】∵PB⊥l，PB=5cm，∴点P到直线l的距离是垂线段PB的长度，即为5cm，故答案为：5．

【名师点睛】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度．

18．【答案】105°

【解析】∵直线c与直线a，b相交，且a∥b，∠1=75°，

∴∠3=∠1=75°，

∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣75°=105°．

故答案为：105°．

【名师点睛】此题考查平行线的性质，解题关键为：两直线平行，同旁内角互补，对顶角相等．

19．【答案】∠1+∠3=180°

【解析】∵∠1+∠3=180°，

∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．

故答案为：∠1+∠3=180°．

【名师点睛】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

20．【答案】60°

【解析】∵∠1=120°，∴∠3=180°﹣120°=60°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．

21．【答案】90°

【解析】∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，

∵BE是∠ABD的平分线，∴∠1=∠ABD，

∵BE是∠BDC的平分线，∴∠2=∠CDB，∴∠1+∠2=90°，故答案为：90°．

22．【答案】140°

【解析】∵AB∥CD，∴同位角相等，∴∠1与∠2互补，∴∠2=180°–40°=140°，故答案为：140°．

23．【答案】52

【解析】∵AB∥CD，∴∠OCD=∠2，

∵OA⊥OB，∴∠O=90°，

∵∠1=∠OCD+∠O=142°，

∴∠2=∠1﹣∠O=142°﹣90°=52°，

故答案为：52．

【名师点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．

24．【答案】68

【解析】∵△ABC是含有45°角的直角三角板，∴∠A=∠C=45°，

∵∠1=23°，∴∠AGB=∠C+∠1=68°，

∵EF∥BD，∴∠2=∠AGB=68°；

故答案为：68．

【名师点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．

25．【答案】50°

【解析】根据“两直线平行，同位角相等”得∠1=∠2=50°．故答案为：50°.

【名师点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠2=∠3是解题关键．

26．【答案】见解析

【解析】∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，

∵∠A=∠1，∴180°﹣∠ACE﹣∠A=180°﹣∠D﹣∠1，

又∵∠E=180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F=180°﹣∠D﹣∠1，

∴∠E=∠F．

【名师点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．

27．【解析】∵CE∥DF，

∴∠ACE=∠D，

∵∠A=∠1，

∴180°﹣∠ACE﹣∠A=180°﹣∠D﹣∠1，

又∵∠E=180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F=180°﹣∠D﹣∠1，

∴∠E=∠F．

【名师点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．

 

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