2020年中考各科考点一遍过讲义01–备战2020年中考数学考点14 三角形及其全等-备战2020年中考数学考点一遍过

考点14 三角形及其全等

一、三角形的基础知识

1．三角形的概念

由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．

2．三角形的三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．

推论：三角形的两边之差小于第三边．

（2 ）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．

3．三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．

推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的 一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

4．三角形中的重要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．

（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

二、全等三角形

1．三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

2．全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；

（2）全等三角形的周长相等，面积相等；

（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．

考向一 三角形的三边关系

在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．

典例1 小芳有两根长度为6 cm和9 cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为__________的木条．

A．2 cm B．3 cm

C．12 cm D．15 cm

【答案】C

【解析】设木条的长度为x cm，则9–6<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12 cm的木条．

故选C．

1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是

A．2 cm，5 cm，8 cm B．3 cm，3 cm，6 cm

C．3 cm，4 cm，5 cm D．1 cm，2 cm，3 cm

考向二 三角形的内角和外角

在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．

典例2 小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，

∵，，

∵，，

∴

=

=，

故选C．

2．如图，CE是△ABC的外角的平分线，若，则__________．

3．如图，在△ABC中，∠ACB=68°，若P为△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC=__________．

考向三 三角形中的重要线段

三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.

典例3 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是

A．5 B．7 C．9 D．11

【答案】B

【解析】∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，

∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7，故选B．

【名师点睛】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

典例4 在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为

A．50° B．40° C．30° D．25°

【答案】A

【解析】∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=65°，

∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，

∴EA=EB，GA=GC，

∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，

∴∠EAG=∠BAC–（∠EAB+∠GAC）=∠BAC–（∠B+∠C）=50°，

故选A．

4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB=4，BD=5，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是__________．

考向四 全等三角形

1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：

（1）已知两边

（2）已知一边、一角

（3）已知两角

2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．

典例5 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A=∠D，BF=EC．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）若∠A=120°，∠B=20°，求∠DFC的度数．

【解析】（1）∵AB∥DE，

∴∠B=∠E，

∵BF=EC

∴BF+FC=EC+CF，

即BC=EF，

在△ABC和△DEF中，，

∴△ABC≌△DEF．

（2）∵∠A=120°，∠B=20°，

∴∠ACB=40°，

由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，

∴∠DFE=40°，∴∠DFC=40°．

【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；

②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．

5．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

6．如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE．

1．下列线段，能组成三角形的是

A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cm

C．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，8 cm

2．下列图形不具有稳定性的是

A．正方形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．钝角三角形

3．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为

A．45° B．55°

C．65° D．50°

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=1，则BC=

A． B．2 C．3 D．+2

5．如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是

A．∠A=∠D B．∠E=∠C

C．∠A=∠C D．∠1=∠2

6．如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH=AC，则∠ABC=__________．

7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3=__________度．

8．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=__________．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E．

求证：（1）∠ABD=∠FAD；

（2）AB=2CE．

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=CB．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．

（1）求证：△BCD≌△FCE；

（2）若EF∥CD．求∠BDC的度数．

11．如图，操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12 m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3 m，小强同学行走的速度为0.5 m/s，则：

（1）请你求出另一旗杆BD的高度；

（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？

1．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是

A．，， B．，，12C．，， D．，，

2．（2019•百色）三角形的内角和等于

A． B． C． D．

3．（2019•荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则的度数是

A． B． C． D．

4．（2019•大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是

A．15° B．30° C．45° D．60°

5．（2019•长春）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是

A． B．

C． D．

6．（2019•张家界）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于

A．4 B．3 C．2 D．1

7．（2019•梧州）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且

，则的周长是

A．12 B．13 C．14 D．15

8．（2019•临沂）如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2

9．（2019•河南）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为

A．2 B．4 C．3 D．

10．（2019•宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于

A． B． C． D．

11．（2019•青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为

A．35° B．40° C．45° D．50°

12．（2019•滨州）如图，在和中，，

连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为

A．4 B．3 C．2 D．1

13．（2019•兰州）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B=__________．

14．（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=50 m，则AB的长是__________m．

15．（2019•成都）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为__________．

16．（2019•南通）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．

17．（2019•泸州）如图，，和相交于点，．求证：．

18．（2019•广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：．

19．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O．

求证：（1）；

（2）．

变式拓展

1．【答案】C

【解析】2cm+5cm<8cm，A不能组成三角形；

3cm+3cm=6cm，B不能组成三角形；

3cm+4cm＞5cm，C能组成三角形；

1cm+2cm=3cm，D不能组成三角形；

故选C．

2．【答案】85°

【解析】∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∴∠A=∠ACD-∠B=85°，故答案为：85°．

3．【答案】112°

【解析】∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠PCB=68°，∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，∴∠BPC=180°-68°=112°，故答案为：112°．

4．【答案】3

【解析】由勾股定理知AD=，BD平分∠ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，故答案为：3．

5．【答案】D

【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，

∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；

∴OD=CO，∴BD=AC，

∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；

∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），

∴∠AOE=∠BOE，∴点E在∠O的平分线上，故③正确，

故选D．

6．【解析】∵AC⊥BE，∴∠BAD=∠CAE=90°，

在Rt△ABD和Rt△ACE中，，

∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD=AE．

考点冲关

1．【答案】B

【解析】A、3+2=5，故选项错误；

B、5+6>10，故正确；

C、1+1<3，故错误；

D、4+3<8，故错误．

故选B．

2．【答案】A

【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A不具有稳定性，故选A．

3．【答案】B

【解析】设两个锐角分别为x、y，由题意得，，解得，所以最大锐角为55°．

故选B．

4．【答案】C

【解析】根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=3．故选C．

5．【答案】D

【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证△ABE≌△DBC还需补充条件AB，BE与BC，BD的夹角相等，即∠ABE=∠CBD或者∠1=∠2，故选D．

6．【答案】45°

【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，

∴∠HBD=∠CAD，

∵在△HBD和△CAD中，，

∴△HBD≌△CAD，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA，

∵∠ADB=90°，

∴∠ABD=45°，

即∠ABC=45°

故答案为：45°．

7．【答案】135

【解析】如图所示：

由题意可知△ABC≌△EDC，∴∠3=∠BAC，
又∵∠1+∠BAC=90°，∴∠1+∠3=90°，
∵DF=DC，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度，
故答案为：135．

8．【答案】3

【解析】∵AB∥CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE，

∴AD=CF=5，

∵AB=8，∴BD=AB–AD=8–5=3，

故答案为：3．

9．【解析】(1)∵∠BAC=90°，∴∠FAD＋∠BAF=90°.

∵AF⊥BD，∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF=90°，

∴∠ABD=∠FAD．

(2)∵CE∥AB，∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，

在△BAD和△ACE中，

∵∠ABD=∠CAE，AB=CA，∠BAC=∠ACE=90°，

∴△BAD≌△ACE(ASA)，∴AD=CE.

∵BD为△ABC中AC边上的中线．∴AC=2AD，∴AC=2CE.

又∵AB=AC，∴AB=2CE.

10．【解析】（1）∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，

∴CD=CE，∠DCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCD=90°–∠ACD=∠FCE，

在△BCD和△FCE中，CB=CF，

∵BCD=∠FCE，CD=CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE，

∴△BCD≌△FCE．

（2）由（1）可知△BCD≌△FCE，

∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，

∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，

∵EF∥CD，

∴∠E=180°–∠DCE=90°，

∴∠BDC=90°．

11．【解析】（1）如图，∵CM和DM的夹角为90°，

∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，

在△CAM和△MBD中，，

∴△CAM≌△MBD（AAS），∴AM=DB，AC=MB，

∵AC=3m，∴MB=3m，

∵AB=12m，∴AM=9m，∴DB=9m；

（2）9÷0.5=18（s）．

答：小强从M点到达A点还需要18秒．

直通中考

1．【答案】D

【解析】∵，∴，，不能组成三角形，故选项A错误，

∵，∴，，不能组成三角形，故选项B错误，

∵，∴，，不能组成三角形，故选项C错误，

∵，∴，，能组成三角形，故选项D正确，故选D．

2．【答案】B

【解析】因为三角形的内角和等于180度，故选B．

3．【答案】C

【解析】如图，

由题意得，，∴，

由三角形的外角性质可知，，故选C．

4．【答案】B

【解析】∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=∠ABC，

∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=∠ACM，

则∠BEC=∠ECM–∠EBM=×（∠ACM–∠ABC）=∠A=30°，故选B．

5．【答案】B

【解析】∵且，∴，∴，

∴点是线段中垂线与的交点，故选B．

6．【答案】C

【解析】如图，过点D作于E，

∵，，∴，

∵，BD平分，∴，即点D到AB的距离为2，故选C．

7．【答案】B

【解析】∵是的边的垂直平分线，∴，∵，∴的周长是：．故选B．

8．【答案】B

【解析】∵，∴，，

在和中，，∴，∴，

∵，∴．故选B．

9．【答案】A

【解析】如图，连接FC，则AF=FC．

∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO．

在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），

∴AF=BC=3，∴FC=AF=3，FD=AD–AF=4-3=1．

在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD²+DF²=FC²，∴CD²+1²=3²，∴CD=2．故选A．

10．【答案】A

【解析】由题意知，，∵，∴，

在中，，故选A．

11．【答案】C

【解析】∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，

∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，∴AB=BE，∴AF=EF，∴AD=ED，∴∠DAF=∠DEF，

∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CDE=95°-50°=45°，故选C．

12．【答案】B

【解析】∵，∴，即，

在和中，，∴，∴，①正确；

∴，由三角形的外角性质得：，

∴°，②正确；

作于，于，如图所示：

则°，

在和中，，∴，∴，∴平分，④正确，正确的个数有3个，故选B．

13．【答案】70°

【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°-40°）=70°．故答案为：70°．

14．【答案】100

【解析】∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×50=100 m．

故答案为：100．

15．【答案】9

【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，

∴BD=CE=9，故答案为：9．

16．【答案】70

【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，

在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．

17．【解析】∵，∴，，

在和中，，

∴，

∴．

18．【解析】∵FC∥AB，

∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，

所以在△ADE与△CFE中，，

∴△ADE≌△CFE．

19．【解析】（1）∵AB=AC，

∴∠ECB=∠DBC，

在与中，，

∴≌．

（2）由（1）≌，

∴∠DCB=∠EBC，

∴OB=OC．

 

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