考点16 多边形与平行四边形
一、多边形
1．多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．
2．多边形的内角和、外角和
（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3．正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．
（3）正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
二、平行四边形的性质
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.
2．平行四边形的性质
（1）边：两组对边分别平行且相等．
（2）角：对角相等，邻角互补．
（3）对角线：互相平分．
（4）对称性：中心对称但不是轴对称．
3．注意：
利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
4．平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．
（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．
三、平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
考向一 多边形
多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；
正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．
典例1 若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】180°×（n–2）=720°，解得n=6．故选B．
典例2 如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形是
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
【答案】C
【解析】多边形外角和为360°，此多边形外角个数为：360°÷60°=6，所以此多边形是六边形.
故选C．
【名师点睛】计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到.
1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是
A．17 B．16 C．15 D．16或15或17
2．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形
考向二 平行四边形的性质
平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.
平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．
典例3 在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是
A．3∶4∶3∶4 B．5∶2∶2∶5
C．2∶3∶4∶5 D．3∶3∶4∶4
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是：3∶4∶3∶4．故选A．
【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．
3．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为
A．4，4，8，8 B．5，5，7，7
C．5.5，5.5，6.5，6.5 D．3，3，9，9
考向三 平行四边形的判定
平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面．
典例4 如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有
A．15个 B．16个 C．17个 D．18个
【答案】D
【解析】平行四边形有：AEOG，AEFD，ABHG，GOFD，GHCD，EBHO，EBCF，OHCF，ABCD，EHFG，AEHO，AOFG，EODG，BHFO，HCOE，OHFD，OCFG，BOGE．
共18个．
故选D．
4．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1．下面四个图形中，是多边形的是
2．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是
A．3 B．4 C．5 D．6
3．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加
A．180° B．360°
C．(n–2)·180° D．n180°
4．平行四边形一定具有的性质是
A．四边都相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．是轴对称图形
5．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交DC于E，若∠DEA=30°，则∠B=
A．100° B．120°
C．135° D．150°
6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG=EF，其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10 cm，AD=8 cm，AC⊥BC，则OB=_________cm．
8．一个平行四边形两对角之和为116°，则相邻的两内角分别是__________和_________．
9．如图，某人从点A出发，前进5 m后向右转60°，再前进5 m后又向右转60°，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了__________m．
10．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，，则的度数为__________．
11．如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．
12．如图，在ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．
（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF=CD+CF．
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD的中点，连接BE并延长至点F，使得EF=EB，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A=30°，BC=4，CF=6，求CD的长．
14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
1．（2019•福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为
A．12 B．10 C．8 D．6
2．（2019•湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
3．（2019•咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为
A．45° B．60° C．72° D．90°
4．（2019·云南）一个十二边形的内角和等于
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
5．（2019•庆阳）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是
A．180° B．360° C．540° D．720°
6．（2019•广州）如图，ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是
A．EH=HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
7．（2019•海南）如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为
A．12 B．15 C．18 D．21
8．（2019▪池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是
A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF
9．（2019•威海）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是
A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF C．∠AEB=∠BCD D．∠AEC=∠CBD
10．（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是__________．
11．（2019•新疆）五边形的内角和为__________度．
12．（2019•武汉）如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．
13．（2019•达州）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为__________．
14．（2019·安徽）如图，点E在ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值.
变式训练
1．【答案】D
【解析】多边形的内角和可以表示成(且n是整数)，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据解得：n=16，
则多边形的边数是15，16，17．故选D．
2．【答案】B
【解析】180−108=72，多边形的边数是：360÷72=5.则这个多边形是五边形．故选B．
3．【答案】B
【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边长为7，较短的一边长为5．故选B．
4．【答案】A
【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.故选A．
考点冲关
1．【答案】D
【解析】根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形,得：D是多边形．故选D．
2．【答案】B
【解析】设这个正多边形的边数是n，则（n–2）•180°=900°，
解得：n=7．
则这个正多边形是正七边形．
所以，从一点引对角线的条数是：7–3=4．
故选B．
3．【答案】D
【解析】∵n边形的内角和是（n–2）•180°，∴2n边形的内角和是（2n–2）•180°，
∴将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n–2）•180°–（n–2）•180°= n 180°，故选D．
4．【答案】B
【解析】A、平行四边形的四条边不相等，故此选项错误；
B、平行四边形的对角相等，故此选项正确；
C、平行四边形的对角线不相等，故此选项错误；
D、平行四边形不是轴对称图形，故此选项错误，
故选B．
5．【答案】B
【解析】根据平行四边形的性质邻角互补来解答．∠A的平分线交DC于E，若∠DEA=30°，所以∠A的度数应为60°．∠A与∠B互补，所以∠B=120°．故选B．
6．【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，AB∥CD，
∵BD=2AD，
∴BO=DO=AD=BC，且点E是OC中点，
∴BE⊥AC，
∴①正确；
∵E、F、分别是OC、OD中点，
∴EF∥DC，CD=2EF，
∵G是AB中点，BE⊥AC，
∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CD∥AB，
∴BG=EF=GE，EF∥CD∥AB，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴②④正确；
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG=EF，GF=BE，且GE=GE，
∴△BGE≌△FEG，
∴③正确，
故选D．
7．【答案】
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为:．
8．【答案】58°；122°
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：58°；122°．
9．【答案】30
【解析】依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则60n=360，解得n=6，
∴他第一次回到出发点A时一共走了：5×6=30（m），
故答案为：30．
10．【答案】108°
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG，
由折叠可得∠ADB=∠BDG，
∴∠DBG=∠BDG，
又∵∠1=∠BDG+∠DBG=48°，
∴∠ADB=∠BDG=24°，
又∵∠2=48°，
∴△ABD中，∠A=108°，
∴∠A‘=∠A=108°，
故答案为：108°．
11．【解析】如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC．
∵AB∥DC，∴∠1=∠3.
又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴BC=CF=10，∴DF=CF–DC=10–6=4．
12．【解析】
（三角形内角和定理）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．
（两直线平行，内错角相等）；
（已知），
（等量代换）．
即
（2）在AF上截取连接
∴≌，
又∵E为BC中点，
∵AB∥CD，
又
又
又
13．【解析】（1）∵E为CD的中点，
∴CE=DE，又EF=EB，
∴四边形DBCF是平行四边形．
（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC，
∴∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°，
在Rt△FCG中，CF=6，
∴FG=CF=3，CG=3，
∵DF=BC=4，
∴DG=1，
14．【解析】（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF，∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵AF=BC，AE=BA，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．
又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
直通中考
1．【答案】B
【解析】360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．故选B．
2．【答案】D
【解析】设所求多边形边数为n，
则（n﹣2）•180°=1080°，
解得n=8．
故选D．
3．【答案】C
【解析】∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴多边形的每个外角=360÷5=72°．
故选C．
4．【答案】D
【解析】多边形内角和公式为，其中为多边形的边的条数.∴十二边形内角和为，故选D．
5．【答案】C
【解析】黑色正五边形的内角和为：（5–2）×180°=540°，
故选C．
6．【答案】B
【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在ABCD中，AB=2，AD=4，
∴EH=AD=2，HG=AB=1，∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH=，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF=，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
故选B．
7．【答案】C
【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，
又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，
由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，
∴∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，
∴△ADE的周长为6×3=18，
故选C．
8．【答案】B
【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DEAC．
A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选B．
9．【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠CDB，
∴BD∥CE，∴BCED为平行四边形，故A正确；
∵DE∥BC，∴∠DEF=∠CBF，
在△DEF与△CBF中，，
∴△DEF≌△CBF（AAS），∴EF=BF，
∵DF=CF，
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBF，
∵∠AEB=∠BCD，∴∠CBF=∠BCD，∴CF=BF，
同理，EF=DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；
∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，
∵∠AEC=∠CBD，∴∠BDE=∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，
故选C．
10．【答案】8
【解析】设多边形边数有x条，
由题意得：180°（x–2）=1080°，
解得x=8，故答案为：8．
11．【答案】540
【解析】五边形的内角和为（5–2）×180°=540°．故答案为：540．
12．【答案】21°
【解析】设∠ADE=x，
∵AE=EF，∠ADF=90°，
∴∠DAE=∠ADE=x，DE=AF=AE=EF，
∵AE=EF=CD，∴DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCA=x，
∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x，
∴2x=63°﹣x，解得x=21°，即∠ADE=21°,故答案为：21°．
13．【答案】16
【解析】∵ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴BO=DO=BD，BD=2OB，∴O为BD中点，
∵点E是AB的中点，∴AB=2BE，BC=2OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴CD=2BE．
∵△BEO的周长为8，∴OB+OE+BE=8，
∴BD+BC+CD=2OB+2OE+2BE=2（OB+OE+BE）=16，
∴△BCD的周长是16，故答案为16．
14．【解析】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴，
，
又，
，
，
，
同理可得：，
在和中，，
∴△BCE≌△ADF．
（2）连接EF，
∵△BCE≌△ADF，，
又，
∴四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，
∴，
∴，
设点E到AB的距离为h1，到CD的距离为h2，线段AB到CD的距离为h，
则h=h1+h2，
∴，即=2.
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