2020年中考各科考点一遍过讲义01–备战2020年中考数学考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系-备战2020年中考数学考点一遍过

考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系

一、圆的有关概念

1．与圆有关的概念和性质

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．

（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．

（6）弦心距：圆心到弦的距离．

2．注意

（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．

（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．

二、垂径定理及其推论

1．垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．

2．推论

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

三、圆心角、弧、弦的关系

1．定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．

2．推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

四、圆周角定理及其推论

1．定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

2．推论

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

（2）直径所对的圆周角是直角．

圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．

五、与圆有关的位置关系

1．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d．

(1)d<r⇔点在⊙O内；

(2)d=r⇔点在⊙O上；

(3)d>r⇔点在⊙O外．

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．

2．直线和圆的位置关系

位置关系	相离	相切	相交
图形
公共点个数	0个	1个	2个
数量关系	d>r	d=r	d<r

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．

六、切线的性质与判定

1．切线的性质

（1）切线与圆只有一个公共点．

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．

（3）切线垂直于经过切点的半径．

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．

2．切线的判定

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．

七、三角形与圆

1．三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．

外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．

2．三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．

考向一 圆的基本认识

1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．

2．直径是弦，但弦不一定是直径．

3．在同一个圆中，直径是最长的弦．

4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．

5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．

典例1 下列命题中正确的有

①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】A

【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；

②半径不是弦，所以②错误；

③直径是最长的弦，正确；

④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．

1．把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的

A． B．

C． D．

2．半径为5的圆的一条弦长不可能是

A．3 B．5 C．10 D．12

考向二 垂径定理

1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．

2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．

典例2 如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=

A．cm B．3cm C．5cm D．6cm

【答案】D

【解析】如图，连接OA，

∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，

∴CD是⊙O的直径，

∵CD⊥AB，

∴AE=BE，OE=3，OA=6，

∴AE=，

∴AB=2AE=，

故选D．

典例3 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为

A．2 cm B． cm

C． D．

【答案】C

【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．

作OD⊥AB于D，连接OA．

根据题意得OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，

根据垂径定理得AB=2cm．

故选C．

3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是

A．3 B．6 C．4 D．8

4．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．

（1）求该圆弧形所在圆的半径；

（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？

考向三 弧、弦、圆心角、圆周角

1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．

2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．

典例4 如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为

A．50° B．20° C．30° D．25°

【答案】D

【解析】∠A=BOC=×50°=25°．

故选D．

典例5　如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是

A．20° B．25° C．30° D．35°

【答案】B

【解析】如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，

∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，

∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，

∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．

5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则弧BC的长为

A．π B．π C．π D．π

6．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD和弧DE相等，∠COD=38°，则∠AEO的度数是

A．52° B．57° C．66° D．78°

考向四 点、直线与圆的位置关系

1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．

2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．

典例6　已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是

A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内

C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合

【答案】C

【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，

即点A到圆心O的距离大于圆的半径，

∴点A在⊙O外．故选C．

【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

典例7　在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是

A．相离 B．相切

C．相交 D．无法确定

【答案】B

【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD==1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．

7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是

A．在⊙O内 B．在⊙O上

C．在⊙O外 D．以上都有可能

8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．

考向五 切线的性质与判定

有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．

典例8　如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=

A．30° B．40° C．50° D．60°

【答案】B

【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，

∴∠PBA=90°，

∵∠PBC=50°，

∴∠ABC=40°．

故选B．

典例9　如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为

A． B．

C． D．1

【答案】B

【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，

∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC==4，而AD为中线，∴DC=2，

∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，

∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，

∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=，

∵S_△ABE+S_△BCE+S_△ACE=S_△ABC，

∴，∴．故选B．

9．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD<BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是

A．大于 B．等于

C．小于 D．不能确定

10．如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙的直径交底边于，于．

求证：（1）；

（2）为⊙的切线．

1．下列关于圆的叙述正确的有

圆内接四边形的对角互补；

相等的圆周角所对的弧相等；

正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；

同圆中的平行弦所夹的弧相等．

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=136°，则∠C的度数是

A．44° B．22° C．46° D．36°

3．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC＋∠EAD=180°，则弦BC的长等于

A． B． C．8 D．6

4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是

A．点（1，0） B．点（2，1）

C．点（2，0） D．点(2．5，1)

5．如图，的直径，，则的长为

A．2 B． C．4 D．

6．如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为

A．32 B．34 C．36 D．38

7．已知在⊙O中，AB=BC，且，则∠AOC=__________．

8．如图，A、B、C、D都在⊙O上，∠B=130°，则∠AOC的度数是__________．

9．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与圆O的切线DC分别相交于D、C．已知△PCD的周长等于

14 cm，则PA=__________cm．

10．如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，的度数为__________．

11．如图，半圆O的直径是AB，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，若∠DEF=60°，则tan∠ABD=__________．

12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长．

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．

14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；

（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．

1．（2019•吉林）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为

A．30° B．45°C．55° D．60°

2．（2019•贵港）如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是

A． B．C． D．

3．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为

A． B．4C． D．4.8

4．（2019•益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是

A．PA=PB B．∠BPD=∠APDC．AB⊥PD D．AB平分PD

5．（2019•福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB=55°，则∠APB等于

A．55° B．70° C．110° D．125°

6．（2019•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°，则∠B的度数为

A．60° B．50° C．40° D．30°

7．（2019•甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=

A．54° B．64° C．27° D．37°

8．（2019•仙桃）如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有

A．4个 B．3个C．2个 D．1个

9．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．

10．（2019•安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为__________．

11．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．

（1）求证：∠BAC=2∠CAD；

（2）若AF=10，BC=，求tan∠BAD的值．

12．（2019•河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．

（1）求证：△ADF≌△BDG；

（2）填空：

①若AB=4，且点E是的中点，则DF的长为__________；

②取的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．

变式训练

1．【答案】D

【解析】设原来的圆的半径为r，则面积S₁=πr²，

∴半径缩小到原来的后所得新圆的面积，

∴，故选D．

2．【答案】D

【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，

又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度，故选D．

3．【答案】B

【解析】如图，连接OA，∵⊙O的直径为10，，

∵圆心O到弦AB的距离OM的长为4，

由垂径定理知，点M是AB的中点，

由勾股定理可得，所以故选B．

4．【解析】（1）如图所示：

CO⊥AB于点D，

设圆弧形所在圆的半径为xm，根据题意可得：DO²+BD²=BO²，

则（x–2．3）²+（×）²=x²，解得x=3．

答：圆弧形所在圆的半径为3米；

（2）如图所示：当MN=1.7米，则过点N作NF⊥CO于点F，

可得：DF=1.7米，则FO=2.4米，NO=3米，故FN==1.8（米），

故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米．

5．【答案】B

【解析】根据题意可知：∠OAC=∠OCA=50°，则∠BOC=2∠OAC=100°，则弧BC的长度为：，故选B．

6．【答案】B

【解析】∵弧BC、弧CD和弧DE相等，∴∠BOC=∠DOE=∠COD=38°，

∴∠BOE=∠BOC+∠DOE+∠COD=114°，∴∠AOE=180°–∠BOE=66°，

∵OA=OE，∴∠AEO=（180°–∠AOE）÷2=57°，故选B．

7．【答案】A

【解析】如图，连接OA，则在直角△OMA中，根据勾股定理得到OA=．

∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．故选A．

8．【答案】2

【解析】连接OA．∵直线和圆相切时，OH=5，

又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2=4，OA=5，∴OH=3．

∴需要平移5–3=2（cm）．故答案为：2．

【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d=R．

9．【答案】B

【解析】如图，连接OF，OA，OE，作AH⊥BC于H．

∵AD是切线，∴OF⊥AD，易证四边形AHOF是矩形，∴AH=OF=OE，

∵S_△AOB=•OB•AH=•AB•OE，∴OB=AB，同理可证：CD=CO，

∴AB+CD=BC，故选B．

【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键．

10．【解析】（1）如图，连，

∵是直径，∴，，

又，∴为中点，；

（2）连，

∵为中点，，

∴为中位线，，

又于∴，

∴为⊙的切线．

考点冲关

1．【答案】B

【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；

③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确；

正确的有2个，故选B．

2．【答案】B

【解析】∵∠AOD=136°，∴∠BOD=44°，∴∠C=22°，故选B．

3．【答案】C

【解析】如图，延长CA，交⊙A于点F，

∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，

∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，

∴BC=．故选C．

4．【答案】C

【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．

5．【答案】C

【解析】如图，作直径DE，连接CE，

则∠DCE=90°，

∵∠DBC=30°，

∴∠DEC=∠DBC=30°，

∵DE=AB=8，

∴=4，

故选C．

6．【答案】B

【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，

所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．

7．【答案】144°

【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC=144°．

8．【答案】100°

【解析】∵∠B=130°，∴∠D=180°－130°=50°，∴∠AOC=2∠D=100°．故答案为100°．

9．【答案】7

【解析】如图，设DC与⊙O的切点为E；

∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B，∴PA=PB；

同理，可得：DE=DA，CE=CB；

则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14（cm）；

∴PA=PB=7cm，故答案是：7．

10．【答案】

【解析】如图，连接，，，，

∵四边形是圆的内接四边形，∴，

∵，∴，

∵，∴是正三角形，∴，，

∵恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴，

∴，∴的度数为84°．故答案为：84°．

11．【答案】

【解析】∵OD⊥AC，∠DEF=60°，

∴∠D=30°，

∵OD=OB，

∴∠ABD=∠D=30°，

∴tan∠ABD=，

故答案为：．

12．【解析】（1）连接OC，如图．

∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．

∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；

（2）在Rt△OCD中，∵tanD=，OC=3，

∴CD=4，∴OD==5，∴AD=OD+AO=8．

在Rt△ADE中，∵sinD=，∴AE=．

13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：

如图，连接OD，

∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，

∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，

∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，

∴直线DE与⊙O相切；

（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，

∵∠C=∠ODE=90°，∴OC²+CE²=OE²=OD²+DE²，

∴4²+（8–x）²=2²+x²，解得：x=4.75，则DE=4.75．

14．【解析】（1）如图1，连接OC．

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠B，

∵∠DCA=∠B，

∴∠DCA=∠OCB，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°，

∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，

∴CD是⊙O的切线．

（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．

∴，

由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，即，

∴AB=5．

（3），

如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．

∵AB是直径，∠DAB=45°，

∴∠AEB=90°，

∴△AEB是等腰直角三角形，

∴AE=BE，

又∵∠EAC=∠EBC，

∴△ECB≌△EFA，∴EF=EC，

∵∠ACE=∠ABE=45°，

∴△FEC是等腰直角三角形，

∴，

∴．

直通中考

1．【答案】B

【解析】∵∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠ACB=100°，∵∠AOP=55°，∴∠POB=45°，故选B．

2．【答案】B

【解析】∵，，∴，

∵，∴，

∴，故选B．

3．【答案】C

【解析】∵AB为直径，∴，∴，

∵，∴，

在中，．故选C．

4．【答案】D

【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，所以A成立；∠BPD=∠APD，所以B成立；

∴AB⊥PD，所以C成立；

∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC=BC，

只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D．

5．【答案】B

【解析】如图，连接OA，OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB=55°，∴∠AOB=110°，

∴∠APB=360°-90°-90°-110°=70°．故选B．

6．【答案】B

【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，且∠C=40°，∴∠ABC=50°，故选B．

7．【答案】C

【解析】∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°-∠AOC=54°，∵∠CDB=∠BOC=27°．故选C．

8．【答案】A

【解析】如图，连接．

∵为的直径，为的切线，∴，

∵，∴，．

又∵，∴，∴．

在和中，，∴，∴．

又∵点在上，∴是的切线，故①正确，

∵，∴，

∵，∴垂直平分，即，故②正确；

∵为的直径，为的切线，∴，

∴，∴，

∵，∴，∴，

∵，∴，故③正确；

∵，，∴，

∴，∵，

∴，故④正确，故选A．

9．【答案】1

【解析】∵AB为直径，∴，∵，∴．

故答案为：1．

10．【答案】

【解析】如图，连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，

则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O的半径为2，∴CE=4，∴BC=CE=2，

∵CD⊥AB，∠CBA=45°，∴CD=BC=，故答案为：．

11．【解析】（1）∵AB=AC，

∴，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ADB，∠ABC= （180°-∠BAC）=90°- ∠BAC，

∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°-∠CAD，

∴∠BAC=∠CAD，

∴∠BAC=2∠CAD．

（2）∵DF=DC，

∴∠DFC=∠DCF，

∴∠BDC=2∠DFC，

∴∠BFC=∠BDC=∠BAC=∠FBC，

∴CB=CF，

又BD⊥AC，

∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．

又BC=，

设AE=x，CE=10-x，

由AB²–AE²=BC²–CE²，得100-x²=80-（10-x）²，

解得x=6，

∴AE=6，BE=8，CE=4，

∴DE==3，

∴BD=BE+DE=3+8=11，

如图，作DH⊥AB，垂足为H，

∵AB·DH=BD·AE，

∴DH=，

∴BH=，

∴AH=AB–BH=10-，

∴tan∠BAD=．

12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=45°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，

∴∠DAF=∠DBG，

∵∠ABD+∠BAC=90°，

∴∠ABD=∠BAC=45°，

∴AD=BD，

∴△ADF≌△BDG．

（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，

∵点E是的中点，

∴∠BAE=∠DAE，

∵FD⊥AD，FH⊥AB，

∴FH=FD，

∵=sin∠ABD=sin45°=，

∴，即BF=FD，

∵AB=4，

∴BD=4cos45°=2，即BF+FD=2，（ +1）FD=2，

∴FD==4-2，

故答案为：4-2．

②连接OH，EH，

∵点H是的中点，

∴OH⊥AE，

∵∠AEB=90°，

∴BE⊥AE，

∴BE∥OH，

∵四边形OBEH为菱形，

∴BE=OH=OB=AB，

∴sin∠EAB==，

∴∠EAB=30°．

故答案为：30°．

 

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