考点20 尺规作图
一、尺规作图
1．尺规作图的定义
在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
2．五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）作一个角等于已知角；
（3）作一个角的平分线；
（4）作一条线段的垂直平分线；
（5）过一点作已知直线的垂线．
3．根据基本作图作三角形
（1）已知三角形的三边，求作三角形；
（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；
（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；
（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；
（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．
4．与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；
（2）作三角形的内切圆．
5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．
6．作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
二、尺规作图的方法
1．尺规作图的关键
（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．
2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．
考向一 基本作图
1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图．
2．基本作图有五种：
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）作一个角等于已知角；
（3）作一个角的平分线；
（4）作一条线段的垂直平分线；
（5）过一点作已知直线的垂线．
典例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是
A．AD=BD B．BD=CD
C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC
【答案】D
【解析】∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°，
∵∠ACB=90°，∴CD=BD，
∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED，∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．
典例2 如图，已知∠MAN，点B在射线AM上．
（1）尺规作图：
①在AN上取一点C，使BC=BA；
②作∠MBC的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN．
【解析】（1）①以B点为圆心，BA长为半径画弧交AN于C点；
如图，点C即为所求作；
②利用基本作图作BD平分∠MBC；如图，BD即为所求作；
（2）先利用等腰三角形的性质得∠A=∠BCA，再利用角平分线的定义得到∠MBD=∠CBD，然后根据三角形外角性质可得∠MBD=∠A，最后利用平行线的判定得到结论．
∵AB=AC，∴∠A=∠BCA，
∵BD平分∠MBC，∴∠MBD=∠CBD，
∵∠MBC=∠A+∠BCA，
即∠MBD+∠CBD=∠A+∠BCA，
∴∠MBD=∠A，∴BD∥AN．
1．根据下图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．都有可能
2．（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D（要求：保留作图痕迹）；
（2）∠ADC的度数．
考向二 复杂作图
利用五种基本作图作较复杂图形．
典例2 如图，在同一平面内四个点A，B，C，D．
（1）利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论．
①作射线AC；
②连接AB，BC，BD，线段BD与射线AC相交于点O；
③在线段AC上作一条线段CF，使CF=AC–BD．
（2）观察（1）题得到的图形，我们发现线段AB+BC>AC，得出这个结论的依据是__________．
【答案】见解析．
【解析】（1）①如图所示，射线AC即为所求；②如图所示，线段AB，BC，BD即为所求；
③如图所示，线段CF即为所求；
（2）根据两点之间，线段最短，可得AB+BC>AC．
故答案为：两点之间，线段最短．
3．作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′=∠BAC，再作线段A′C′=AC，最后连接B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）
1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是
A．用尺规作一条线段等于已知线段
B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角
D．不能确定
2．下列作图属于尺规作图的是
A．画线段MN=3 cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α
3．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC·AH D．AB=AD
4．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB=∠NCB，作图痕迹中，弧FG是
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
5．如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG交BC边于点D．
则∠ADC的度数为
A．65° B．60° C．55° D．45°
6．如图，△ABC为等边三角形，要在△ABC外部取一点D，使得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学做法：
甲：①作∠A的角平分线l；
②以B为圆心，BC长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求；
乙：①过点B作平行于AC的直线l；
②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
7．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=__________．
8．如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为__________度．
9．按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）
已知：线段AB；
求作：线段AB的垂直平分线MN．
10．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠C=30°，求证：DC=DB．
1．（2019•河南）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为
A． B．4 C．3 D．
2．（2019•包头）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是
A．1 B． C．2 D．
3．（2019•北京）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
A．∠COM=∠COD B．若OM=MN．则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
4．（2019•广西）如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．（2019•新疆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD=BD
C．S△CBD∶S△ABD=1∶3 D．CD=BD
6．（2019•荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA=OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．（2019•河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是
A． 
B． 
C． 
D． 
8．（2019•长沙）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是
A．20° B．30° C．45° D．60°
9．（2019•襄阳）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是
A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
10．（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若=2，求的值．
11．（2019•长春）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是
A． 
B． 
C． 
D． 
12．（2019•贵阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE=2，BE=1，则EC的长度是
A．2 B．3C． D．
13．（2019•宜昌）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是
A． 
B． 
C． 
D． 
14．（2019•潍坊）如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接；②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，；③连接交于点．下列结论中错误的是
A． B．
C． D．
15．（2019•东营）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连接．若，
，则的长为
A． B．C． D．
16．（2019•宁夏）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则__________．
17．（2019•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知，请根据“SAS”基本事实作出，使．
18．（2019•玉林）如图，已知等腰顶角．
（1）在AC上作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：是等腰三角形．
19．（2019•长春）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6．
（2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6．
（3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且．
20．（2019•哈尔滨）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；
（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8．
21．（2019•济宁）如图，点和点在内部．
（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
22．（2019•河池）如图，为的直径，点在上．
（1）尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究与的位置及数量关系，并证明你的结论．
23．（2019•赤峰）已知：是的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求的周长．
24．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC<AB<BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求
∠B的度数．
25．（2019•吉林）图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD=
∠CHD=90°．
26．（2019•武汉）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF=DC．
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD=∠BGC．
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM=AB．
27．（2019•江西）在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．
变式拓展
1．【答案】B
【解析】由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，∴线段AD是△ABC的中线，故选B．
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°．
2．【解析】（1）如图，AD为所作；
（2）∵∠C=90°，∠B=40°．∴∠BAC=90°–40°=50°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=25°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+25°=65°．
3．【解析】首先作一条射线，进而截取AB=A′B′，∠CAB=∠C′A′B′，进而截取AC=A′C′，进而得出答案．
如图所示：△A′B′C′即为所求．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】根据已知条件作符合条件的三角形，需要使三角形的要素符合要求，或者是作边等于已知线段，或者是作角等于已知角，故选C．
2．【答案】D
【解析】选项A，画线段MN=3 cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；选项B，用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；选项C，用三角尺作过点A垂直于直线l的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；选项D，正确．故选D．
3．【答案】A
【解析】由作法可得BH为线段AD的垂直平分线，故选A．
4．【答案】D
【解析】作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，故选D．
5．【答案】A
【解析】由题意得AG为∠CAB的角平分线，则∠ADC=25°，
∵∠C=90°，
∴∠ADC=65°，
故选A．
6．【答案】A
【解析】（甲）如图一所示，
∵△ABC为等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BEA=90°，
∴∠BED=90°，∴∠BEA=∠BED=90°，由甲的作法可知，AB=BD，
∴∠ABC=∠DBC，在△ABC与△DBC中，，
∴△ABC≌△DBC，故甲的作法正确；
（乙）如图二所示，
∵BD∥AC，CD∥AB，∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，
在△ABC和△DCB中，，
∴△ABC≌△DCB（ASA），∴乙的作法是正确的．故选A．
7．【答案】40°
【解析】∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，
∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=35°，
∵CD=BC，∴∠CDB=∠CBD=2∠A=70°，∴∠C=40°，
故答案为：40°．
8．【答案】37
【解析】∵AB=AC，∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACB=74°，
又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°，
故答案为：37．
9．【解析】作法：
（1）分别以A，B点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（2）作直线MN，MN即为线段AB的垂直平分线．
10．【解析】（1）射线BD即为所求．
（2）∵∠A=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=90°﹣30°=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABC=30°，
∴∠C=∠CBD=30°，
∴DC=DB．
直通中考
1．【答案】A
【解析】如图，连接FC，则AF=FC．
∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO．
在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF=BC=3，
∴FC=AF=3，FD=AD–AF=4-3=1．在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+12=32，
∴CD=．故选A．
2．【答案】C
【解析】由作法得AG平分∠BAC，∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积=×4×1=2．故选C．
3．【答案】D
【解析】由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，
又∠CMN=∠AON=20°，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN>MN，且CM=CD=DN，∴3CD>MN，故D选项错误，故选D．
4．【答案】C
【解析】由作法得CG⊥AB，∵AC=BC，∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，∵∠ACB=180°-40°-40°=100°，
∴∠BCG=∠ACB=50°．故选C．
5．【答案】C
【解析】由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠ABD=30°=∠A，∴AD=BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD=∠ABC=30°，∴BD=2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD=2CD，∴S△ABD=2S△CBD，所以C选项的结论错误．故选C．
6．【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AE=CE，而OA=OC，∴OE为∠AOC的平分线．故选C．
7．【答案】C
【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选C．
8．【答案】B
【解析】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故选B．
9．【答案】D
【解析】由作图可知：AC=AD=BC=BD，∴四边形ACBD是菱形，故选D．
10．【解析】（1）如图，∠ADE为所作．
（2）∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴=2．
11．【答案】B
【解析】∵且，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，故选B．
12．【答案】D
【解析】由作法得CE⊥AB，则∠AEC=90°，
AC=AB=BE+AE=2+1=3，
在Rt△ACE中，CE=．故选D．
13．【答案】A
【解析】作线段的垂直平分线可得线段的中点．
由此可知：选项A符合条件，故选A．
14．【答案】C
【解析】由作图步骤可得：是的角平分线，∴∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，
∴△COE≌△DOE，∴∠CEO=∠DEO，
∵∠COE=∠DOE，OC=OD，∴CM=DM，OM⊥CD，
∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=，
但不能得出，
∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，故选C．
15．【答案】A
【解析】由作法得垂直平分，
∴，，，
∵，∴，∴，
∴为斜边上的中线，
∵，
∴．故选A．
16．【答案】
【解析】由作法得平分，
∵，，∴，
∴，∴，
在中，，∴，
∴．故答案为：．
17．【解析】如图，
即为所求．
18．【解析】（1）如图，点D为所作．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
19．【解析】（1）如图①所示，即为所求．
（2）如图②所示，即为所求．
（3）如图③所示，四边形即为所求．
20．【解析】（1）作的垂直平分线，作以为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点．
（2）以为圆心，为半径作圆，格点即为点．
21．【解析】（1）如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等．
（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
22．【解析】（1）如图所示：
（2），．
理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，．
23．【解析】（1）如图，为所作．
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴的周长．
24．【解析】（1）∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA=PB，
∴∠B=∠BAP，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2∠B．
（2）根据题意可知BA=BQ，
∴∠BAQ=∠BQA，
∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，
∴∠BQA=2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，
∴5∠B=180°，∴∠B=36°．
25．【解析】（1）如图，菱形AEBF即为所求．
（2）如图，四边形CGDH即为所求．
26．【解析】（1）如图所示，线段AF即为所求．
（2）如图所示，点G即为所求．
（3）如图所示，线段EM即为所求．
27．【解析】（1）如图1，EF为所作．
（2）如图2，∠BCD为所作．
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