考点21 定义、命题、定理
一、定义与命题
1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
2．判断一件事情的语句叫做命题．
3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
二、真命题、假命题
1．正确的命题叫做真命题．
2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．
3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
三、逆命题
1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．
2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．
4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
四、公理与定理
1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．
2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．
4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．
五、互逆命题
1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．
六、反证法
1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法的步骤：
①假设命题结论的反面正确；
②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；
③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
考向一 命题的改写
每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的．但有些命题的题设和结论不明显，它不是以“如果……那么……”的形式给出的．区分这类命题的题设和结论的具体方法：添上省去的词语后再进行分析．
典例1 把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果……，那么……”的形式为_________．
【答案】如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直
【解析】如果的后面是条件，那么的后面是结论，注意语句的通顺，表达的准确.
故答案为如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直.
1．【浙江省绍兴市浣江教育集团2018–2019学年八年级上学期期中数学试题】把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式_________．
考向二 真命题、假命题
1．判断语句是否为命题要抓住两条：①命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断．
2．辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决．命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．
典例2 下列命题是真命题的是
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形
【答案】C
【解析】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形；故本选项错误；
B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．故本选项错误；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形．故本选项正确；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；故选C．
2．下列命题中，假命题的是
A．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．一组邻边相等的矩形是正方形
D．菱形对角线互相垂直平分
考向三 互逆命题与互逆定理
1．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
3．“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设．
典例3 下列命题中，逆命题为真命题的是
A．对顶角相等
B．若a=b，则|a|=|b|
C．同位角相等，两直线平行
D．若ac2<bc2，则a<b
【答案】C
【解析】A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，假命题；B、若a=b，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=b，假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，两直线平行，真命题；D、若ac2<bc2，则a<b的逆命题是若a<b，则ac2<bc2，假命题；故选C．
3． “内错角相等，两直线平行”的逆命题是__________．
4．有下列命题：
①若x2=x，则x=1；
②若a2=b2，则a=b；
③线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
④相等的弧所对的圆周角相等；
其中原命题与逆命题都是真命题的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考向四 反证法
①当命题的结论涉及“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法．
②矛盾的类型：
a．与已知定义、定理、公理相矛盾；
b．与已知条件相矛盾；
c．推出自相矛盾的结果．
③用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏；利用反证法证明时，每一
步都要有依据，直到推出矛盾．
典例4 【福建省福州市仓山区福州时代中学2019–2020学年九年级上学期10月月考数学试题】
用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角”时，下列假设正确的是
A．三角形中最少有一个角是直角
B．三角形中没有一个角是直角
C．三角形中三个角全是直角
D．三角形中有两个或三个角是直角
【答案】D
【解析】根据反证法的步骤，则可假设为三角形中有两个或三个角是直角．故选D．
【名师点睛】本题考查反证法，判断命题的反面是解题的关键．
5．【山西省临汾市襄汾县2019–2020学年八年级上学期期末数学试题】用反证法证明“若，，则”，第一步应假设：
A． B．与垂直
C．与不一定平行 D．与相交
6．【江苏省泰兴市黄桥初级中学2015–2016学年八年级下学期期中考试数学试题】用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设_________．
1．下列命题为真命题的是
A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．垂直于同一直线的两直线互相垂直
D．三角形的外角和为
2．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是
A．120°，60° B．95°，105° C．30°，60° D．90°，90°
3．【山东省淄博市沂源县2018–2019学年七年级下学期期末数学试题】下列命题的逆命题是真命题的是
A．若a>0，b>0，则a+b>0 B．直角都相等
C．同位角相等，两直线平行 D．若a＝b，则|a|＝|b|
4．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是
A．a=3，b=2 B．a=3，b=–2
C．a=–3，b=–2 D．a=–2，b=–3
6．写出一个能说明命题：“若，则”是假命题的反例：__________.
7．请写出“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：__________．
8．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____．
9．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+=0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是__________．
10．若命题“不是方程ax–2y=1的解”为假命题，则实数a满足：__________．
11．如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
12．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）写出这个定理的逆命题；
（2）判断逆命题的真假并说明你的理由．
13．【广西贺州市八步区2019–2020学年八年级上学期段考数学试题】写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．
（1）如果，，那么．
（2）对顶角相等．
13．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：
A：①②⇒③；B：①③⇒②；C：②③⇒①．
（1）以上三个命题是真命题的为__________（直接作答）；
（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
14．阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-3=0有两个实根x1和x2．
求证：x1≠x2．
1．【江苏省常州市2019年中考数学试题】判断命题“如果n<1，那么n2﹣1<0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
2．【2019年四川省巴中市中考数学试题】下列命题是真命题的是
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．四边相等的平行四边形是正方形
3．【2019年四川省凉山州中考数学试题】下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
4．【湖南省娄底市2019年中考数学试题】下列命题是假命题的是
A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．n边形的内角和是
D．旋转不改变图形的形状和大小
5．【2019年广东省深圳市中考数学试题】下列命题正确的是
A．矩形对角线互相垂直
B．方程的解为
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
6．【广西贵港市2019年中考数学试题】下列命题中假命题是
A．对顶角相等 B．直线不经过第二象限
C．五边形的内角和为 D．因式分解
7．【山东省德州市2019年中考数学试题】下列命题是真命题的是
A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
8．【2019年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试题】下列说法正确的是
①函数中自变量的取值范围是．
②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．
③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．
④同旁内角互补是真命题．
⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤
9．【广西百色市2019年中考数学试题】下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直，其中逆命题是真命题的是
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①
10．【2019年湖南省永州市中考数学试卷】下列说法正确的是
A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形
C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°
D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度
11．【2019年湖南省湘西州中考数学试题】下列命题是真命题的是
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．相等的两个角是对顶角
D．圆内接四边形对角相等
12．【2019年内蒙古通辽市中考数学试题】现有以下命题：
①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；
②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等；
③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
其中真命题的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．【2019年湖南省衡阳市中考数学试题】下列命题是假命题的是
A．边形（）的外角和是
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．矩形的对角线互相平分且相等
14．【湖南省岳阳市2019年中考数学试题】下列命题是假命题的是
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
15．【2019年北京市中考数学试题】用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
16．【2019年浙江省宁波市中考数学试题】能说明命题“关于的方程一定有实数根”是假命题的反例为
A． B． C． D．
17．【2019年四川省广安市中考数学试题】下列命题是假命题的是
A．函数的图象可以看作由函数的图象向上平移6个单位长度而得到
B．抛物线与x轴有两个交点
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．垂直于弦的直径平分这条弦
18．【江苏省泰州市2019年中考数学试题】命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是_____（填“真命题”或“假命题”）．
19．【安徽省2019年中考数学试题】命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________.
变式拓展
1．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
【解析】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
2．【答案】A
【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，A是假命题；圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，B是真命题；一组邻边相等的矩形是正方形，C是真命题；菱形对角线互相垂直平分，D是真命题；故选A．
3．【答案】两直线平行，内错角相等
【解析】“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
将条件和结论互换得逆命题为：两直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．
4．【答案】A
【解析】若x2=x，则x=1或x=0，所以原命题错误；若x=1，则x2=x，所以原命题的逆命题正确；
若a2=b2，则a=±b，所以原命题错误；若a=b，则a2=b2，所以原命题的逆命题正确；
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以原命题正确；到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以原命题的逆命题正确；
相等的弧所对的圆周角相等，所以原命题正确；相等的圆周角所对弧不一定相等，所以原命题的逆命题错误．故选A．
5．【答案】D
【解析】∵反证法证明“若a∥c，b∥c，则a∥b”，
∴一步应假设a与b不平行，即：a，b相交．
故选D．
【名师点睛】此题主要考查了用反证法证明的基本步骤，在中考中经常以这种题型出现．
【名师点睛】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．
6．等腰三角形的底角是钝角或直角
【解析】根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底都是直角或钝角”．故答案是：等腰三角形的两底都是直角或钝角．
考点冲关
1．【答案】A
【解析】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，A是真命题；
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，B是假命题；
在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，C是假命题；
三角形的外角和为360°，D是假命题；
故选A．
【名师点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．【答案】D
【解析】∵互补的两个角可以都是直角，∴能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是90°，90°，故选D.
考点：本题考查的是两角互补的定义
【名师点睛】解答本题的关键是熟练掌握两角互补的定义，即若两个角的和是180°，则这两个角互补．
3．【答案】C
【解析】A、若a>0，b>0，则a+b>0的逆命题为若a+b>0，则a>0，b>0，错误，为假命题；
B、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题；
C、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，为真命题；
D、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题为若|a|＝|b|，则a＝b，错误，为假命题，
故选C．
【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、直角的定义、平行线的性质及绝对值的意义，难度不大．
4．【答案】B
【解析】①等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误．
②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本选项错误．
③在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误．
④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确．
所以只有④一项正确．故选B．
5．【答案】C
【解析】当a=3，b=2时，a2>b2，而a>b成立，故A选项不符合题意；
当a=3，b=–2时，a2>b2，而a>b成立，故B选项不符合题意；
当a=–3，b=–2时，a2>b2，但a>b不成立，故C选项符合题意；
当a=–2，b=–3时，a2>b2不成立，故D选项不符合题意；故选C．
6．【答案】（注：答案不唯一）
【解析】当时，
根据有理数的大小比较法则可知：
则此时满足，但不满足
因此，“若，则”是假命题
故答案为：．（注：答案不唯一）
【名师点睛】本题考查了假命题的证明方法，掌握反例中题设与结论的特点是解题关键．
7．【答案】菱形的四条边相等
【解析】“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题为“菱形的四条边相等”．故答案为：菱形的四条边相等．
8．【答案】两直线平行，同位角相等
【解析】命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为“两直线平行，同位角相等”．
9．【答案】当b=–，方程没有实数解
【解析】∵b=–时，Δ=（–）2–4×<0，∴方程没有实数解．∴当b=–，方程没有实数解可作为说明这个命题是假命题的一个反例．故答案为：当b=–，方程没有实数解．
10．【答案】a=–3
【解析】当x=1、y=–2时，a+4=1，解得a=–3，故当a=–3时，是方程ax–2y=1的解，则a=–3时，可以说明命题“不是方程ax–2y=1的解”为假命题，故答案为：a=–3．
11．【解析】已知：∠1=∠2，∠B=∠C；
求证：∠A=∠D．
证明：如图，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠3=∠2，
∴EC∥BF，∴∠AEC=∠B．
又∵∠B=∠C，∴∠AEC=∠C，∴AB∥CD，∴∠A=∠D．
12．【解析】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（2）真命题.证明如下：
已知：如图，在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CD＝AB．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵点D是AB的中点∴AD＝BD
∵CD＝AB，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD，∠DCB＝∠DBC
∵∠DAC+∠ACD+∠DCB+∠DBC＝180°
∴∠ACD+∠DCB＝90°，即∠ACB＝90°
∴△ABC是直角三角形．
【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
13．【解析】（1）逆命题：如果，那么，；假命题．
（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假命题．
【名师点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判定定理.
14．【解析】假设x1=x2，则[-（m+1）]2-4（2m-3）=0，
整理得：m2-6m+13=0，
而m2-6m+13=（m-3）2+4>0，与m2-6m+13=0矛盾，
故假设不成立，所以x1≠x2．
直通中考
1．【答案】A
【解析】当n=﹣2时，满足n<1，但n2﹣1=3>0，所以判断命题“如果n<1，那么n2﹣1<0”是假命题，举出n=﹣2．故选A．
【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
2．【答案】C
【解析】A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以C选项正确；
D、四边相等的菱形是正方形，所以D选项错误．
故选C．
【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3．【答案】A
【解析】①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故选A．
【名师点睛】考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
4．【答案】B
【解析】A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；
B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；
C、n边形的内角和是，正确，是真命题；
D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，
故选B．
【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．【答案】D
【解析】A．矩形对角线互相垂直，不正确；
B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；
C．六边形内角和为540°，不正确；
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选D．
【名师点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．
6．【答案】D
【解析】A．对顶角相等；真命题；
B．直线不经过第二象限；真命题；
C．五边形的内角和为；真命题；
D．因式分解；假命题；
故选D．
【名师点睛】本题考查了命题与定理、真命题和假命题的定义：正确的命题是真命题，错误的命题是假命题；属于基础题.
7．【答案】C
【解析】A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；
C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；
故选C．
【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
8．【答案】D
【解析】①函数中自变量的取值范围是，故错误．
②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．
③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．
④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．
⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，正确，
故选D．
【名师点睛】此类题的知识综合性非常强．要求对每一个知识点都要非常熟悉．注意：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，弄清等腰三角形的三线合一指的是哪三条线段，熟悉多边形的内角和公式和外角和公式，熟练配方法的步骤；理解正多边形内角和外角关系；熟记根判别式．
9．【答案】C
【解析】①两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题；
②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；
③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题；
④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题；
故选C．
【名师点睛】本题考查了写一个命题的逆命题的方法，真假命题的判断，弄清命题的题设与结论，掌握相关的定理是解题的关键.
10．【答案】D
【解析】A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；
B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；
C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；
D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；
故选D．
【名师点睛】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定方法、点到直线的距离以及补角的定义；熟记各个判定方法和定义是解题的关键．
11．【答案】B
【解析】A．同旁内角相等，两直线平行；假命题；
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；
C．相等的两个角是对顶角；假命题；
D．圆内接四边形对角相等；假命题；
故选B．
【名师点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；熟练掌握相关性质和定理、定义是解题关键.
12．【答案】B
【解析】①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题；
②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等或在同一直线上，错误，是假命题；
③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是必然事件，故错误，是假命题；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；
真命题有2个，
故选B．
【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质、平移的性质、随机事件等知识，难度不大．
13．【答案】C
【解析】A、边形（）的外角和是，是真命题；
B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；
C、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；
故选C．
【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
14．【答案】A
【解析】A．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项是假命题，符合题意；
B．同角（或等角）的余角相等，是真命题，不符合题意；
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是真命题，不符合题意；
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分，是真命题，不符合题意，
故选A．
【名师点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握轴对称图、中心对称图形、余角的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的性质是解本题的关键.
15．【答案】D
【解析】命题①，如果，那么.
∵，∴，∵，∴，整理得，∴该命题是真命题.
命题②，如果那么.
∵∴∵，∴，∴.
∴该命题为真命题.
命题③，如果，那么.
∵∴∵，∴，∴
∴该命题为真命题.
故，选D
【名师点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．
16．【答案】D
【解析】当m=5时，方程变形为x2–4x+m=5=0，
因为△=（–4）2–4×5<0，
所以方程没有实数解，
所以m=5可作为说明命题“关于x的方程x2–4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
故选D．
【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
17．【答案】C
【解析】A、函数的图象可以看作由函数的图象向上平移6个单位长度而得到，正确，是真命题；
B、抛物线中，与x轴有两个交点，正确，是真命题；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；
D、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题，
故选C．
【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解一次函数的平移、抛物线与坐标轴的交点、正方形的判定及垂径定理的知识．
18．【答案】真命题
【解析】∵三角形内角和为180°，∴三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；故答案为：真命题.
【名师点睛】本题考查命题与定理.判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
19．【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0
【解析】逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
故答案为如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
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