2020年中考各科考点一遍过讲义01–备战2020年中考数学考点23 图形的相似-备战2020年中考数学考点一遍过

考点23 图形的相似

一、比例的相关概念及性质

1．线段的比

两条线段的比是两条线段的长度之比．

2．比例中项

如果=，即b²=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．

3．比例的性质

性质	内容
性质1	=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2	如果=，那么．
性质3	如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．

4.黄金分割

如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．

二、相似三角形的判定及性质

1．定义

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．

2．性质

（1）相似三角形的对应角相等；

（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

3．判定

（1）有两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似；

（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；

（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；

（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．

三、相似多边形

1．定义

对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．

2．性质

（1）相似多边形的对应边成比例；

（2）相似多边形的对应角相等；

（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．

四、位似图形

1．定义

如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．

2．性质

（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；

（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．

3．找位似中心的方法

将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．

4．画位似图形的步骤

（1）确定位似中心；

（2）确定原图形的关键点；

（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；

（4）作出原图形中各关键点的对应点；

（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．

考向一　比例线段及其性质

1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．

2．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．

典例1　已知，那么下列等式中，不成立的是

A． B．

C． D．4x=3y

【答案】B

【解析】A、∵，∴，此选项正确，不合题意；

B、∵，∴，此选项错误，符合题意；

C、∵，∴，此选项正确，不合题意；

D、∵，∴4x=3y，此选项正确，不合题意；

故选B．

典例2　四条线段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=8cm，d=12cm，则a=

A．2cm B．4cm

C．6cm D．8cm

【答案】A

【解析】∵四条线段a、b、c、d成比例，∴=，∵b=3cm，c=8cm，d=12cm，∴=，解得：a=2cm．故选A．

1．已知线段a、b，如果a：b=5：2，那么下列各式中一定正确的是

A．a+b=7 B．5a=2b

C．= D．=1

2．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是

A． B．

C． D．

考向二　相似三角形

1．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．

2．相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

典例3　【浙江省宁波市北仑区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】A、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意，

B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，

C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，

D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，

故选A.

【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．

典例4　【山西省吕梁市汾阳市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】若∽，，，，则的长为

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】∵△ABC∽△DEF，，，，

∴，∴，∴EF=6.故选C.

【名师点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，属于中考基础题．

3．【江苏省徐州市铜山区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】两个相似三角形的面积比为，其中较大的三角形的周长为，则较小的三角形的周长为__________．

4．【陕西省渭南市富平县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD²=BC·BE.证明：△BCD∽△BDE.

考向三　相似多边形

1．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形．

2．相似多边形对应边的比叫做相似比．

3．多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．

4．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．

典例5　下列各组图形中一定是相似形的是

A．两个直角三角形 B．两个等边三角形

C．两个菱形 D．两个矩形

【答案】B

【解析】∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，

∴两个等边三角形一定是相似形，

又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，

∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，

故选B．

5．已知A4纸的宽度为21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为

A．24.8cm B．26.7cm

C．29.7cm D．无法确定

6．如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．

考向四　位似

1．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2．位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k．

典例6　【河北省保定市涞水县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】已知，如图，，，且，则与__________是位似图形，位似比为____________.

【答案】，7：4

【解析】∵A′B′∥AB，B′C′∥BC，

∴△ABC∽△A′B′C′，

，，

∠A′B′O=∠ABO，∠C′B′O=∠CBO，

，∠A′B′C′=∠ABC，

∴△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，

位似比=AB：A′B′=OA：OA′=（4+3）：4=7：4．

【名师点睛】本题考查了相似图形交于一点的图形的位似图形，位似比等于对应边的比．

7．【广东省广州市海珠区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心线段与线段是位似图形，若，，，则的坐标为___________________．

8．【陕西省渭南市富平县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC格点（顶点是网格线的交点）.请在网格中画出△ABC以A为位似中心放大到原来的倍的格点△AB₁C₁，并写出△ABC与△AB₁C₁的面积比__________（△ABC与△AB₁C₁，在点A的同一侧）.

1．【广东省佛山市三水区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】设，下列变形正确的是

A． B．

C． D．

2．【广东省惠州市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且AD=2，AB=3，AE=4，则AC等于

A．5 B．6

C．7 D．8

3．【广东省佛山市三水区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】若，面积之比为，则相似比为

A． B．

C． D．

4．【河南省许昌市襄城县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是

A． B． C．或 D．或

5．如图，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于点G，下列结论错误的是

A． B．

C． D．

6．如图，直角坐标系中，线段AB两端点坐标分别为A(4，2)、B(8，0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A₁B₁，若B₁的坐标为(–4，0)，则A₁的坐标为

A．(2，1) B．(–2，–1)

C．(–1，2) D．(–4，–2)

7．在比例尺为1：6000000的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7厘米，则海口与三亚的实际距离约为__________千米．

8．如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点.AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件:__________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)

9．【河北省唐山市滦州市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，

（1）求证：△AME∽△BEC．

（2）若△EMC∽△AME，求AB与BC的数量关系．

10．【湖南省邵阳市双清区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

（1）求证：AC²=AB•AD．

（2）求证：CE∥AD；

（3）若AD=4，AB=6，求AF的值．

11．作四边形，使它和已知的四边形位似比等于1∶2，位似中心为O使两个图形在点O同侧．（不写作法）

12．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边AD上，连接BE，在BE上取点F，连接AF并延长交BD于H，且∠AFE=60°，过C作CG∥BD，直线CG、AF交于G．

（1）求证：∠FAE=∠ABE；

（2）求证：AH=BE；

（3）若AE=3，BH=5，求线段FG的长．

1．（2019•雅安）若，且，则的值是

A．4 B．2C．20 D．14

2．（2019•沈阳）已知△ABC∽△A’B’C’，AD和A’D’是它们的对应中线，若AD=10，A’D’=6，则△ABC与△A’B’C’的周长比是

A．3∶5 B．9∶25C．5∶3 D．25∶9

3．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为

A．3.6 B．4 C．4.8 D．5

4．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则

A． ““ B．

C． D．

5．（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似

A．①处 B．②处 C．③处 D．④处

6．（2019•巴中）如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连接EF交DC于点G，则=

A．2∶3 B．3∶2C．9∶4 D．4∶9

7．（2019•贵港）如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为

A． B．C． D．5

8．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=

A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3

9．（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是

A．20 B．22 C．24 D．26

10．（2019•玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有

A．3对 B．5对

C．6对 D．8对

11．（2019•淄博）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为

A．2a B．a

C．3a D．a

12．（2019•邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是

A．△ABC∽△A′B′C′

B．点C、点O、点C′三点在同一直线上

C．AO∶AA′=1∶2

D．AB∥A′B′

13．（2019•永州）如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S₁，S₂，则S₁：S₂=__________．

14．（2019•台州）如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为__________．

15．（2019•辽阳）如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为__________．

16．（2019•广东）如图，在中，点是边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若，求的值．

17．（2019•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．

（1）求证：；

（2）若，，求FG的长．

18．（2019•菏泽）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．

（1）如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；

（2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．

19．（2019•凉山州）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．

（1）求证：BD²=AD·CD；

（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．

变式拓展

1．【答案】C

【解析】A、当a=10，b=4时，a：b=5：2，但是a+b=14，故本选项错误；

B、由a：b=5：2，得2a=5b，故本选项错误；

C、由a：b=5：2，得=，故本选项正确；

D、由a：b=5：2，得=，故本选项错误．

故选C．

2．【答案】D

【解析】如图，∵AD=1，BD=3，∴，当时，，∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，

故选D．

3．【答案】48

【解析】∵两个相似三角形的面积比为，∴两个相似三角形的相似比为，

∴两个相似三角形的周长也比为，∵较大的三角形的周长为，

∴较小的三角形的周长为，故答案为：48．

【名师点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．

4．【解析】∵BD平分∠ABC，

∴，

∵，

∴，

∴△BCD∽△BDE.

【名师点睛】本题考查相似三角形的判定，如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；正确找出对应边和对应角是解题关键.

5．【答案】C

【解析】设A4纸的高度为xcm，则对折后的矩形的高度为，

∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，∴，解得x=21≈29.7（cm），

即A4纸的高度约为29.7cm．故选C．

6．【解析】∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴==，

∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4，

∴==，∴DE=8，AE=2，

∴AD=AE+DE=2+8=10．

7．【答案】

【解析】∵以原点为位似中心线段与线段是位似图形，的对应点是，

∴线段与线段的位似比是，

∴点的对应点的坐标为：．

故答案是：．

【名师点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标，根据位似图形的性质，得到位似比，是解题的关键．

8．【解析】如图所示：延长AB、AC到B₁、C₁，使AB₁=3AB，AC₁=3AC，连接B₁C₁，

∴△AB₁C₁，即为所求，

∵AB：AB₁=1：3，

∴.

【名师点睛】本题考查位似图形及相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.

考点冲关

1．【答案】D

【解析】由得，2a=3b，

A、∵，∴2b=3a，故本选项不符合题意；

B、∵，∴3a=2b，故本选项不符合题意；

C、，故本选项不符合题意；

D、，故本选项符合题意；

故选D．

【名师点睛】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果，那么ad=bc．

2．【答案】B

【解析】∵DE∥BC，∴，

∴，∴AC=6，故选B．

【名师点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，难度系数不高，解题关键是找准对应线段.

3．【答案】C

【解析】∵两个相似三角形的面积比为9：4，∴它们的相似比为3：2．故选C．

【名师点睛】此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

4．【答案】D

【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，

∴点A的对应点A′的坐标是（–3×，6×）或[–3×（–），6×（–）]，

即点A′的坐标为（–1，2）或（1，–2）．故选D．

【名师点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k．

5．【答案】C

【解析】∵DF∥BE，∴AE∶AF=AG∶AD，CE∶CF=CB∶CD，GE∶DF=AG∶AD．故A、B、D正确．故选C．

6．【答案】B

【解析】∵线段AB两端点坐标分别为A（4，2）、B（8，0），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A₁B₁，若B₁的坐标为（–4，0），∴对应点在原点的两侧，且位似比为2：1，则A₁的坐标为：（–2，–1）．故选B．

7．【答案】222

【解析】比例尺为1:6000000，图上距离3.7厘米则实际距离为3.7，故答案为222．

8．【答案】答案不唯一，如∠A=∠BDF

【解析】因为，，，所以，欲使与相似，只需要与相似即可，则可以添加的条件有：∠A=∠BDF，或者∠C=∠BDF等等．故答案为：答案不唯一，如∠A=∠BDF．

9．【解析】（1）∵矩形ABCD，∴∠A=∠B=∠D=90°，

∵将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，

∴∠MEC=∠D=90°，∴∠AEM+∠BEC=90°，

∵∠AEM+∠AME=90°，∴∠AME=∠EBC，

又∵∠A=∠B，∴△AME∽△BEC．

（2）∵△EMC∽△AME，∴∠AEM=∠ECM，

∵△AME∽△BEC，∴∠AEM=∠BCE，∴∠BCE=∠ECM，

由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠DCM=∠ECM，DC=EC，

即∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，

在Rt△BCE中，，∴，

∵DC=EC=AB，∴.

【名师点睛】此题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，利用30角的余弦值求边长的比，利用三角形相似及折叠得到∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°是解题的关键.

10．【解析】（1）∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，

∴，∴AC²=AD•AB；

（2）在Rt△ABC中，∵E为AB的中点，

∴CE=AE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），

∴∠ACE=∠CAE，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD=∠CAE，

∴∠CAD=∠ACE，∴CE∥AE；

（3）由（1）知，AC²=AD•AB，

∵AD=4，AB=6，∴AC²=4×6=24，∴AC=2，

在Rt△ABC中，∵E为AB的中点，∴CE=AB=3，

由（2）知，CE∥AD，∴△CFE∽△AFD，

∴，∴，∴AF=．

【名师点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、直角三角形的性质和平行线的判定，掌握相似三角形的判定及性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和平行线的判定是解决此题的关键．

11．【解析】如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求．

12．【解析】（1）∵∠AFE=∠BAE=60°，∠AEF=∠BEA，

∴△AEF∽△BEA，∴∠FAE=∠ABE；

（2）∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴AB=AD、∠BAE=∠ADB=60°，

在△ABE和△DAH中，∵，∴△ABE≌△DAH(ASA)，

∴AH=BE；

（3）如图，连接AC交BD于点P，则AC⊥BD，且AC平分BD，

∵△ABE≌△DAH，∴AE=DH=3，则BD=BH+DH=8，

∴BP=PD=4，PH=BH–BP=1，

∵AB=BD=8，∴AP==4，则AC=2AP=8，

∵CG∥BD，且P为AC中点，∴∠ACG=90°，CG=2PH=2，

∴AG==14，BE=AH=AG=7，

∵△AEF∽△BEA，

∴=，即=，解得AF=，

∴FG=AG–AF=14–=．

直通中考

1．【答案】A

【解析】由a∶b=3∶4知，所以．

所以由得到：，

解得．所以．

所以．故选A．

【名师点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则．

2．【答案】C

【解析】∵△ABC∽△A’B’C’，AD和A’D’是它们的对应中线，AD=10，A’D’=6，

∴△ABC与△A’B’C’的周长比=AD∶A′D′=10∶6=5∶3．故选C．

【名师点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．

3．【答案】B

【解析】如图，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，

∴，∵EF⊥AC，∠C=90°，∴∠EFA=∠C=90°，∴EF∥CD，

∴△AEF∽△ADC，∴，∴，

∵EG=EF，∴DH=CD，设DH=x，则CD=x，∵BC=12，AC=6，∴BD=12-x，

∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，

∴，即，解得，x=4，∴CD=4，故选B．

4．【答案】C

【解析】∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴，

∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴，∴．故选C．

5．【答案】B

【解析】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2、4，

“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，

∵，∴马应该落在②的位置，故选B．

6．【答案】D

【解析】设，∵，∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，

∵点F是BC的中点，∴，

∵，∴，

∴，故选D．

【名师点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．

7．【答案】C

【解析】设，，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∴，，

∵，，∴，

∵，∴，

∴，

设，，∴，

∴，∴，∴，

故选C．

【名师点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．

8．【答案】B

【解析】如图，过O作OG∥BC，交AC于G，

∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．

又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，AO∶OE=2∶1，∴S_△AOB：S_△BOE=2，

设S_△BOE=S，S_△AOB=2S，又BO=OD，∴S_△AOD=2S，S_△ABD=4S，∵AD∶DC=1∶2，∴S_△BDC=2S_△ABD=8S，S_{四边形CDOE}=7S，∴S_△AEC=9S，S_△ABE=3S，∴，故选B．

9．【答案】D

【解析】如图，根据题意得△AFH∽△ADE，∴，

设S_△AFH=9x，则S_△ADE=16x，∴16x-9x=7，解得x=1，∴S_△ADE=16，

∴四边形DBCE的面积=42-16=26．故选D．

10．【答案】C

【解析】图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，

∵AB∥EF∥DC，AD∥BC，∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA，

共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA，故选C．

11．【答案】C

【解析】∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即，

解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD的面积为：4a–a=3a，故选C．

12．【答案】C

【解析】∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，

∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，

AO∶OA′=1∶2，故选项C错误，符合题意．故选C．

13．【答案】

【解析】∵点F是△ABC的重心，∴BF=2EF，∴BE=3EF，

∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，

∴，（）²，

∴S₁∶S₂，故答案为：．

【名师点睛】本题考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形的重心定理，证明三角形相似是解题的关键．

14．【答案】

【解析】如图，过作于，延长交于，过作于，过作于，

设，，，，

∵，∴，，

∵，

∴，

∴，∴，

∴，即，∴，

∵，∴，

∴，即，

∴，

∵，∴，

∴，

∴当最大时，，

∵，

∴当时，，

∴，

∴的最大值为．故答案为：．

【名师点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线构造相似三角形进行求解．

15．【答案】或

【解析】∵点在矩形的内部，且是等腰三角形，

∴点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；

①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图1所示，

∵，，

∴，

∴∽，

∵四边形是矩形，点的坐标为，

∴点横坐标为﹣4，，，，

∵∽，

∴，即，

解得：，

∴点．

②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，

过点作于，如图2所示，

∵，∴，

∴∽，

∵四边形是矩形，点的坐标为，

∴，，，

∴，∴，

∵∽，

∴，即：，

解得：，，

∴，

∴点，

综上所述：点的坐标为：或，

故答案为：或．

【名师点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性质．

16．【解析】（1）如图所示：

（2）∵，

∴．

∴．

【名师点睛】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键．

17．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，，

∴，

∴，

∵BE=AB，AE=AB+BE，

∴，

∴，

∴．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴，

∴，即，

解得，．

【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．

18．【解析】（1）∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，

∴，，，

即，

在与中，，

∴，∴，

∵，

∴，∴．

（2）在与中，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴的面积．

【名师点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

19．【解析】（1）∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，

∴△ABD∽△BCD，

∴，

∴BD²=AD·CD．

（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，

∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，

∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，

∴BM=MD=AM=4，

∵BD²=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD²=48，

∴BC²=BD²–CD²=12，

∴MC²=MB²+BC²=28，

∴MC=，

∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，

∴，且MC=，

∴MN=．

 

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