中国传媒大学远程《概率论与数理统计》作业习题

远程《概率论与数理统计》作业习题
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第一章作业
一、填空题
1.设 、 是两个相互独立的事件， ，则 __   ____.
2.设 , , 是随机试验 的三个相互独立的事件，已知 ,  ， ，则 至少有一个发生的概率是                          .
3.设 为两个事件, , ,则            .
4.设 为两个事件, , ,则              .
5.设 ，
则 、 、 三者都不发生的概率             .
二、选择题
1.设 为任意两个事件,且 , ,则下列选项成立的是(    )
A.  ；    B.  ；
C.  ；    D.  .
2.设 是两个相互独立的事件， ，则一定有 （    ）.
A. ；       B.  ；
C.  ；     D.  .
3.设 是两个事件，则一定有 （    ）.
A.  ；    B.  ；
C.  ；   D.  .

4.设事件 满足 ， ．令

则 （    ）.
A.  ；        B.  ；      C.  ；       D.  .
5.设 是两个相互独立的事件， ，则（    ）一定成立.
A.  ； B.  ；
C.  ；    D.   .

三、课后习题
习题1-3(1) 设 是三个事件,且 ,
, ,求 至少有一个发生的概率.
(2) 已知 , , , , ,
, ,
求 , , , , , 的概率.
(3)已知 (ⅰ)若 互不相容,求
(ⅱ)若 ,求 .

习题1-7某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些发给顾客，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆，和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？

习题1-24有两箱同种类的零件.第一箱装50只，其中10只是一等品；第二箱装30只，其中18只一等品. 今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样.求（1）第一次取到的零件是一等品的概率.（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.

习题1-28有两种花籽,发芽率分别为 , ,从中各取一颗,设花籽是否发芽相互独立.求:(1)这两颗花籽都能发芽的概率.(2)至少有一颗能发芽的概率.(3)恰有一颗能发芽的概率.

习题1-31设事件 的概率均大于零,说明一下的叙述(1)必然对.(2)必然错.(3)可能对.并说明理由.
(1)若 与 互不相容,则它们相互独立.
(2)若 与 相互独立,则它们互不相容.
(3) ,且 互不相容.
(4) ,且 相互独立.

第二章作业
一、填空题
1.设随机变量 的分布律为

0 1 2 3

0.24 0.31
0.15

则 __  ____.
2.已知随机变量 的分布律为 ，则         .
3.若随机变量 ，则 服从参数为            的           分布.
4.设随机变量 的概率密度为 ，
则 的概率密度为                .
设离散型随机变量 的分布函数是 ，则用 表示概率   =              .
5.假设随机变量 服从正态分布 ,
若 ,   则          ( )
二、选择题
1.设随机变量X服从正态分布 ，则随 的增大，概率 （      ）.
A.  单调增大；      B.  单调减少；      C.  保持不变；     D.  增减不定.
2.如果随机变量  ，且 ，则 （    ）
A.  ； B.  ； C.  ； D.  .
3.设随机变量 的密度函数为 ，且 ， 是 的分布函数，则对任意实数 ，有(    ).
A.   ；     B.   ；
C.   ；          D.   .
4.设随机变量  的概率密度为 则 （    ） .
A.  ；  B.  ；  C.  ；   D.  .
5.设两个随机变量 与 相互独立且同分布, ,
,则下列各式中成立的是(    )
A.  ；        B.  ；
C.  ；,     D.  .

三、课后习题
习题2-2(1)一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以 表示取出的3只球中的最大号码，写出 随机变量的分布律.
(2)将一颗骰子抛掷两次，以 表示两次中得到的小的点数，试求 的分布律.

习题2-15保险公司在一天内承保了5000张相同年龄,为期一年的寿险保单,每人一份.在合同有效期内,若投保人死亡,则公司需赔付3万元.设在一年内,该年龄段的死亡率为 ,且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付不超过30万元的概率(利用泊松分布计算).

习题2-24设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 （以分计）服从指数分布，其概率密度为
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 的分布律，并求 .

习题2-26设 ，求（1） ， ， ， ；
（2）确定 ，使得 ；（3）设 满足 ，问 至多为多少？

习题2-35设 ，
(1)求 的概率密度；
(2)求 的概率密度；
(3)求 的概率密度.

第三章作业
一、填空题
如果随机变量 的联合概率分布为

1 2 3
1

2

则 应满足的条件是      ；若 与 相互独立,则           .

二、选择题
设 的联合概率密度为 ，则 与 为（    ）的随机变量.
A. 独立同分布；   B. 独立不同分布；  C. 不独立同分布；  D. 不独立也不同分布.

三、课后习题
习题3-6将一枚硬币掷3次，以 表示前2次出现 的次数，以 表示3次中出现 的次数，求 的联合分布律以及 的边缘分布律.
习题3-9设二维随机变量 的概率密度为

（1）试确定常数 ；（2）求边缘概率密度.

习题3-13在第9题中，
（1）求条件概率密度 ，特别，写出当 时 的条件概率密度；
（2）求条件概率密度 ，特别，分别写出当 时 的条件概率密度；（3）求条件概率 ， .

习题3-22设 和 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：
求随机变量 的概率密度.

习题3-34设 是相互独立的随机变量， 证明
第四章作业
一、填空题
1.一个口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，
摸得白球的2分，则他所得分数的数学期望为             .
2.设随机变量 与 相互独立， ，则              .
3.设 服从泊松分布，且 ， 则   __    ___       ___.
4.设随 机 变 量  相互独立，且 ， ，则
.
5.设随 机 变 量  的方差分别为 ， ，相关系数为 ，则                  .
二、选择题
1.设 为非负随机变量且 则由切比雪夫不等式知（    ）成立.
A.  ；         B.  ；
C.  ；           D.  .
2.设两个相互独立的随机变量 和 的方差分别为4和2，则随机变量 的方差是（     ）.
A. 16； B. 28； C. 44；    D. 8.
3.如果随机变量 与 不相关，则下列等式中（     ）不成立.
A. ；         B. ；
C.  ；  D. .
4.设随机变量 的方差 存在，则 （    ）.
A.  ；   B.  ；  C.  ；   D.  .
5.设随机变量 相互独立，且都服从泊松分布.又 ，则 （    ）.
A.  51；   B.  10；     C.  25；     D.  30.

三、课后习题
习题4-6设随机变量 的分布律为

-2 0 2

0.4 0.3 0.3
求 .

习题4-7设随机变量 的概率密度为
求 的数学期望.

习题4-9设 的概率密度为
求 .

习题4-28设二维随机变量 的概率密度为
试验证： 和 是不相关的，但 和 不是相互独立的.

第五章作业
三、课后习题
习题5-1据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.

习题5-4设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg ,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？

习题5-11随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的pH值.各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以 分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求 ；
（2）求
习题5-14某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为 ,医院任意抽查100个服用此药品的病人,若其中多于75人治愈,就接收此断言,否则拒绝此断言.
(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 ,问接收这一断言的概率是多少?
(2) 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 ,问接收这一断言的概率是多少?

第六章作业
一、填空题
1.设 是来自总体 的样本,  则 服从          分布.
2.设总体 ， 为简单随机样本，则统计量 服从的分布为           .
3．设在总体 中抽取一容量为16的样本.这里 均为未知， 为样本方差，则 ＝              （附： ）.
4.已知样本 取自正态分布总体 , 为样本均值,又知 ,则               ( ).

二、选择题
1.设随机变量 服从正态分布 ，对给定的 ，数 满足 ，若 ，则 等于（     ）.
A.   ；   B.   ；     C.  ；     D.   .
2.设随机变量 ~ ， ， ，则(      )成立.
A.    ；            B.    ；
C.    ；           D.   .
3.样本  来自标准正态分布的总体 , 分别是样本均值与样本标准差,则有(      ).
A.  ;          B.  ;
C.  ;      D.  .
4.假设总体 服从正态分布 ,  是来自 的一个样本,  是样本均值.则一定有(     )
A.  ;           B.  ;
C.  ;     D.  .
三、课后习题
习题6-1在总体 中随机抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8的概率.

习题6-3求总体 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于 的概率.

习题6-4(1) 设样本 来自总体 ,
,试确定常数 ,使得 ;
(2) 设样本 来自总体 , ,试确定常数 ,
使得 ;
(3)已知 ,求证, .

习题6-7设总体 ， 是来自总体 的样本，
求 .

第七章作业
一、填空题
1.已知一批零件的长度 （单位： ）服从正态分布 从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 ，则 的置信度为0.95的置信区间是                 （ ）
2.设 是正态总体 的随机样本，若 均未知，则 的置信度为 的置信区间为                                                  .
3.设由来自正态总体 ~ ，容量为9的简单随机样本，得样本均值 ，则未知参数 的置信度为 的置信区间是                    .（ ）
4.如果 与 都是总体未知参数 的估计量，称 比 有效，则 与 的期望与方差一定满足                                                  .

二、选择题
设 是来自均值为 的指数分布总体的样本.其中 未知.下列 中哪个不是 的无偏估计(    )
A.   ；  B.  ；
C.  ；        D.  .

三、课后习题
习题7-4(1) 设总体 具有分布律

1 2 3

其中 为未知参数.已知取得了样本值 ,试求 的矩估计值和最大似然估计值.
(2) 设 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，试求 的最大似然估计量及矩估计量.

习题7-11设总体 的概率密度为

是来自总体 的样本.
(1)验证 的最大似然估计量是 .
(2)证明 是 的无偏估计量.
习题7-12设 是来自均值为 的指数分布总体的样本。其中 未知。设有估计量 ，
， 。
（1）指出 中哪几个是 的无偏估计量；
（2）在上述 的无偏估计中指出哪一个较为有效

习题7-17分别使用金球和铂球测定引力常数（单位 ）。
（1）用金球测定观测值为 ；
（2）用铂球测定观测值为 。
设测定值总体为 ， 均为未知，试就（1）（2）两种情况分别求 的置信度为 的置信区间，并求 的置信度为 的置信区间.

第八章作业
一、填空题
1.设 分别为来自总体 的样本均值与样本方差，当 已知时，检验假设  的统计量为          ；拒绝域为            ；
当 已知时，检验假设 的统计量为          ；拒绝域为            .
2. 设 为来自总体 的样本均值， 未知，欲检验假设  ，应用            检验法；检验的统计量为                .

二、选择题
1.在假设检验问题中，一旦检验法选择正确，计算无误，则（      ）
A. 不可能作出错误判断；         B. 增加样本容量就不会作出错误判断；
C. 仍有可能作出错误判断；       D. 计算精确些就可避免作出错误判断.

2.在一个确定的假设检验问题中,与判断结果有关的因素有(      )
A. 样本值及样本容量；         B. 显著性水平 ；
C. 检验的统计量；             D. A和B同时成立.
3.在假设检验中，记 为备择假设，则称（      ）为犯第一类错误.
A.  真，接受 ；            B.  不真，接受 ;
C.  真，拒绝 ；            D.  不真，拒绝 .

三、课后习题
习题8-1某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）
3.25   3.27   3.24   3.26    3.24
设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在 =0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量均值为3.25.

习题8-3要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为 =100小时的正态分布。试在显著性水平 下判定这批元件是否合格？设总体均值为 ， 未知.即需检验假设  .

习题8-4下面列出的是某工厂随机抽取的20只部件的装配时间
,
.
设装配时间的总体 服从正态分布 , 均未知.是否可以认为装配时间的均值显著大于10(取 )?

习题8-12某种导线,要求其电阻的标准差不得超过 ,今在生产的一批导线中取样品9根,测得 ,设总体为正态分布,参数均未知,问在显著性水平 下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?

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