天大2022年春学期考试《数值计算方法》离线作业考核试题

数值计算方法
要求：
一、独立完成，下面已将各组题目列出，任选一组进行作答，每人只答一组题目，多答无效，100分；
二、答题步骤：
1. 使用A4纸打印学院指定答题纸（答题纸请详见附件）；
2. 在答题纸上使用黑色水笔按题目要求手写作答；答题纸上全部信息要求手写，包括学号、姓名等基本信息和答题内容，请写明
题型、题号；
三、提交方式：请将作答完成后的整页答题纸以图片形式依次粘贴在一个Word
文档中上传（只粘贴部分内容的图片不给分），图片请保持正向、清晰；
1. 完成的作业应另存为保存类型是“Word97-2003”提交;
2. 上传文件命名为“中心-学号-姓名-科目.doc”;
3. 文件容量大小：不得超过20MB。
提示：未按要求作答题目的作业及雷同作业，成绩以0分记！
题目如下：
第一组：
一、计算题（共100分）
1、（25分）
用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 = ，
取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。
2、（26分）
用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：
19 25 30 38
19.0 32.3 49.0 73.3
3、（22分）
求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求 (保留四位小数)。
4、（27分）
已知
1 3 4 5
2 6 5 4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。

第二组：
一、计算题（共56分）
1、（28分）
设有线性方程组，其中
（1）求分解;
（2）求方程组的解
(3) 判断矩阵的正定性
2、（28分）
用列主元素消元法求解方程组
二、（共44分）
1、（28分）
已知方程组，其中
（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快。
2、（16分）
使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？
第三组：
一、计算题（共48分）
1、（24分）
取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。
2、（24分）
设，求
二、（共52分）
1、（30分）
已知方程组，其中
，
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。
2、（22分）
数值积分公式，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精度是多少？
第四组：
一、简述题（共50分）
1、（28分）
已知方程组，其中
，
列出Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。
2、（22分）
用牛顿法求方程在之间的近似根
（1）请指出为什么初值应取2？
（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001。
二、计算题（29分）
用反幂法求矩阵的对应于特征值的特征向量
三、分析题（21分）
设
（1）写出解的牛顿迭代格式
（2）证明此迭代格式是线性收敛的