电大试卷2020年7月1083几何基础

试卷代号:1083

座位号

国家开放大学2020年春季学期期末统一考试

几何基础试题

2020年7月

题号	一	二	三	四	总分
分数

一、选择题（每小题4分，本题共20分）

1. 如果两个向量的对应分量成比例，则二者（）.

A.平行 B.垂直

C.相交 D.不一定

1. 若二次曲线r的极点为无穷远点，则r在此处与无穷远直线（ ）.

A.相切 B.相离

C.有两个不同交点 D.不相切

1. 点列之间的射影对应是由（ ）对对应点唯一确定.

A. 4 2

C. 1 D.3

1. 若 CAB,CD)=r,则 GDjB』C)=( ).

A. — B. r

r

C. 1 —— D. 1 — r

r

1. 无穷远直线的齐次线坐标为( ).

A.[1,0,0] B.[0,0,1]

C. D.

二、填空题（每小题4分，本题共20分）

1. 仿射变换把等腰三角形底边上的高线变成 .
2. 已知共线四点A、B、C、D的交比（CA,DB） = 2,则（CD,AB）= .
3. 极线上的点与极点 •
4. 射影对应把等腰三角形底边上的高变成

 

1. 几何公理体系的三个基本问题包括 、—

得分评卷人 三、计算题（每小题10分，共30分）

1. 求使直线z —2y —1 = 0的每个点不变，且把点（1,1）变成点（-1,1）的仿射变换.
2. 若直线% % 04 的方程为 X — 2夕一1 = 0,2/+3丁一2 = 0,3女一丁一9 = 0,z + ；y —2 = 0 求（，乂203,4）‘
3. 求点关于（l_s—1,0）二阶曲线的3爲+5工3+尤？+7凸工3+5工2工3=0极线.

「得一分国卷］

四、证明题（每小题10分，共30分）

1. 证明：以任意三角形的三条中位线为边可做一个三角形.

第14题图

1. 设△ABC的顶点A,B,C分别在共点的三直线l,m,n上移动，且直线AB和BC分 别通过定点P和Q,求证C厶也通过FQ上一个定点.

第15题图

1. 设OX,OY,OZ为三条定直线，厶，B为二定点，其连线过。，点R为0Z上的动点，且 直线RA,RB分别交OX,O丫于点F,Q,求证:PQ通过AB上一定点.

第16题图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

试卷代号:1083

国家开放大学2020年春季学期期末统一考试

几何基础试题答案及评分标准

（供参考）

2020年7月

一、 选择题（每小题4分，本题共20分）

1. A 2. A 3.D 4. C 5. B

二、 填空题（每小题4分，本题共20分）

1. 三角形底边上的中线
2. -1
3. 共轴
4. 过顶点相交于对边的任意一条直线
5. 相容性、独立性、完备性

三、 计算题（每小题10分，共30分）

1. 解设所求的仿射变换为 ‘

— a + a _nx~\~ a ₁₂y

 

〈， ， 3 分

在直线“Tjz —1 = 0上任取两点（l,0）,（ 一1, —1）测所求的仿射变换把三点（1,1）, （1,0）, （ — ，分别变成点（一1,1） , （1_,0） _f （~1 , — 1） 9将这三对点代入仿射变换式得

—1—a+an+ai2

1 = 3+ “21 +饥2

1 =。+ CL ]]

<

0 = b+a₂i

— l=a—a_u —<2i2

—1=6—a₂i 一5

a~~l b—0

Si =2

解得

Si =0

因此,所求的仿射变换式为

• 10分

1. 解与Z轴的交点分别为

X 1 =1,%2=1

于是

(3 —1)(2 —1)

(3-l)(2-l)⁼⁼¹

10分

1. 解将点（1,-1,0）的坐标及a_i3 G ,j=l,2,3）的值代入极线方程

(◎hRi + <212^2 +们3 丁 3)⑦ 1 +(知1勿 +^₂₂>2 +〃 23 W 3)女 2 + (◎ 31 ) 1 + <2 32 丁 2 +^33»3)工3 =。

7 7 5

(3— +0)Xi + ( — —5 + 0)x₂ + (2— +0)%3 =0

整理即得所求极线方程

Z1 +3白 +工3 =0.

四、证明题（每小题10分，共30分）

1. 证明如图,

设 AB=c ,BC = a _fCA=b ,则 a +b + c = 0.

设E,F,D分别为/XABC三边AC,AB,BC的中点,

则 EF = !_BC = !々 ,FD = ^AC = ~b,

10分

—―x 1 —1 —’ 1 ——1111

EF + FD + E<D = —BC + — AC + —AB = ~a +万力 + 万。=云（々+5+（?）=0,

即，以中位线命，曲，亘方为边可作成一个三角形. 10分

1. 证明 如图，设八A’B’C是满足条件的另一个三角形，在△ABC和AA^/B^/C^/中，由

于对应点连线Z ,?2共点 O, 5分

由笛沙格定理可知对应边交点F、Q、R共线，即AC与A’C’的交点R必在FQ直线上,

则R为定点. 10分

第15题图

1. 证明 利用“射影到无穷远”.取OAB所在直线为影消线，经过中心投影之后，

JAgBg为无穷远直线，如图所示，则RiPiRRz,QiQzRzRi为平行四边形， 3分

于是

P1P2 JJ-R、R，fRiRi JLQ.iQ.2 ,

所以，

P iP 2 业QiQz,

因此,RQi与F₂Q₂的象交于无穷远点， 所以，RQi与RQz相交于AB上一定点.

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