第一章
第一章第6题
实数域R 上的全体n 阶对称(反对称)矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。
解：实数域R 上的全体n 阶矩阵，对矩阵的加法和数量乘法构成R 上的线性空间R””, 记
V={4/AeR*,A¹=A}w={4/A ∈R*~*,A¹=-A}
以为，对任意的A,B ∈V,A⁷=A,B⁷=B, 则 (A+B)⁷=A+B, 即 A+B ∈V, 所以V 对
加法运算是封闭的；对任意的A∈V,k∈R,A⁷=A, 则(kA)⁷=kA, 即kA∈V, 所以V 对数
乘运算封闭；所以， V 是R”” 的一个线性子空间，故V 构成实数域R 上的一个线性空间。
同理可证， W 也是一个线性空间。
P41第一章第8题(参考P10 例题1.2.5)
证明：存在k₁,k₂,k₃,k₄ 使得
k₁a₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄α₄=0
即
解
得
k=k₂=k₃=k₄=0
所以α1,α₂,α₃,α₄线性无关
P42 第1章第12题
解：因为A=x₁ α₁+x₂ α₂+x₃ α,+x₄ α₄即
x₁+x₂+x₃+x₄=1
x₁+x₂+x₃=2
x₁+x₃+x4=-2
x₁+x₂+x₄=0
→x₁=2 x₂=3 x3=1 X₄=- 1
T T
所以A 的坐标为[x,x₂ ·x₃,x₄ ]=[-2,3,1,1]
P42第一章第13题答案
f(x)=3+2x (泰勒展开)
f'(x)=2(n-1)x …-2
f(x)=2(n- 1)(n-2)x³ … …
f(n-)(x)=2(n-1)! f((x)-0
f(1)=5 f'(1)=2(n- 1) f1=2(n- 1)(n-2) … …
f(n-)(1)=2(n- 1)!
f(x)=f(1)+ 
=5+2(n-1)(n-2)+ 
取f(x)=3+2x”在基1, (x- 1),(x- 1)², … …,(x- 1)”- 1 下的坐标为
(5,2C:-,2C₂, … …,2C)”
教材P42 习题14:
求基α₁=(1,0,0,0)「,α₂=(0,1,0,0)⁷,α3=(0,0,1,0)⁷,α₄=(0,0,0,1)7,到基
β₁=(2,1,-1,1)⁷,β2=(0,3,1,0)⁷,β3=(5,3,2,1)⁷,β₄=(6,6,1,3)”的过度矩阵，
确定向量ξ=(x₁,x₂,x₃,x₄)” 在基β,β₂,β₃,β₄,下的坐标，并求一非零向量，使它
在这两组基下的坐标相同。
所涉知识点：基，过度矩阵及其应用。
参考例题-例1.3.3-P16
① 分 析 ：设过渡矩阵为
, 公式
(β₁,β₂,β₃,β4)=(α₁,α₂,α₃,α₄)T
, 又
对比以上两式，易得过渡矩阵! 
0
设ξ=(x₁,x₂,x₃,x₄) 在基β,β₂,β₃,β₄,下的坐标为β=(b₁,b₂,b₃,b₄), 则
X₁
向 量 X₂ 为
X₃
X4.
任意给定的 一个向量，该向量的每个分量可以看做已知量，向量 
为给定已知向量 
在基β₁,β2,β₃,β₄ 下的坐标，其坐标可以看做是方程Aβ=5 的解，其中矩阵
向量ξ=(x₁,x₂,x₃,x₄)⁷ 为任意给定向量， β=(b₁,b₂,b₃,b₄) 为要求量。方程Aβ=5 是非齐次线性方程组，该方程有解的充要条件是
r(A)=r(A). 解得该方程组的解即可确定向量ξ=(x₁,x₂,x₃,x₄)” 在基β,β₂,β₃,β4下 的坐标。
, i=2,3,4 。 x;’ 是
x₁,x₂,x₃,x₄ 在初等和变换的过程中变换而来的。X₁,X₂,x₃,x₄为给定的向量与的坐标。显然由上式可
知：β=(x₁’,x₂’,x₃’,x₄’)。
②设某一非零向量为A=(x₁,x₂,x₃,x₄)”, 向量A在基α₁,α₂,α₃,a₄ 下的坐标为
(3,Z,A,A₄)⁷ , 则
, 即
∴A₁=x₁,A₂=x₂,A=x₃,A₄=x₄, 所以，向量A=(x₁,x₂,x₃,x₄)⁷ 在基α₁,α₂,α₃, α4下的坐标为(x₁,x₂,x₃,x₄)⁷,由题意知：向量A=(x₁,x₂,x₃,x₄)”在基α₁,α₂,α₅,α₄
与基β,β₂,β₃,β4下具有相同的坐标，即向量A在基β₁,β₂,B₃,β4 下的坐标也
为 ( ,x₂,x₃,x4) , 
, 即
,化简该式可得如下其次线
性方程组：
(I), 方 程 组 (I) 中 系 数 矩 阵
向量x=(x,x₂,x₃,x₄), 写成矩阵形式即为： Ax=0(Ⅱ), 求方程
组(Ⅱ)的解就是所求向量。对矩阵A 做出的行变换如下所示：
显然， A→C,A 与 C 相似。 r(A)=r(C)=3<n=4,det(A)=0, 方程Ax=0 有非零解，
由上面分析易得解为： x₁=1,x₂=1,x₃=1,x₄=- 1,s 所以满足条件的一个非零向量为
A=(1,1,1,- 1)⁷, 其在基α₁,α₂,α₃, a₄ 与基β,β₂,β₃,β4下具有相同的坐标。
(注：所解过程如有不对地方，建议各方交流啊!)
第27题
V=R⁴,S=(1,2,2,-),(1,1,-5,3)”(3,2,8,-7)}θ=(3,11,-3)’
解：令O₁=(1,2,2,4)⁷,02=(1,1,-5,3)⁷,03=(3,2,8,-7)’
取β=0,B₂=O₂+K₂O,,(B₂,β₁)=(O₂,β)+K₂(O,,β₁)=0
→ 
β₂=0₂+0₁=(2,3,-3,2)”,β₃=03+K₃β₁+K₃₂β₂, 且β3⊥β₂,β3⊥β,
0=(β,β₁)
0=(β,β₂
所以β3=03-3β₁+β₂=(2,-1,-1,-2),
0,0₂,03正交化β,β₂ ,β₃
再取β₄,使β₄=β,i=1,2,3
令β4=(x₁,x₂,x₃,x₄)⁷
x₁+2x₂+2x₃-x₄=0
2x₁+3x₂-3x₃+2x₄=0
2xi-x₂-x₃-2x₄=0
取x₁=1, 
,x₄=1, 
, 
, 
,
由0=(3,1,),-3)⁷=x₁5₁+x₂52+x353+x₄54
→x₁=√ 10
x₂=0
x₃=√ 10
x₄=0
第二章
P78 第 2 章 第 6 题
(1)3(X₁)X₂X₃)=(2x₁-X₂)X₂+x₃x₁)
3ε₁=3(1,0,0)=(2,0,1)=28₁+83
38₂=(- 1,1,0)=ε;+E₂
3E₃=(0,1,0)=E:
所以3在E ·E₂ ·E₃下的矩阵是
(e₁,e₂e₃) 到(77₁ ,₂ , T₃) 的过渡矩阵为1
-1
由(ee2e)=(727;)p
3(ee₂e)=3(η₁η₂η3)p=(η₁η₂ ·
-1
PAPp
1
)AP=(ee₂e₃)
(e,e2e)=(77₁,η₂, )A=
(4)3
∴
缺第8题
第二章第九题P79页：
解：(1)令 
即：A[cj,E₂,E₃,E₄]=(c …E₄)4
(n,72,7₃,7₄)=(Ej,E₂,E₃,E₄)P,
由题目知；
∴A在基71,72y₇73y74下的矩阵为P’AP
那么，A(n,7₂,₃,7₄)=A(c₁,E₂,E₃,E₄)P=(Ei,E₂,E₃,E₄)AP
(2)由线性映射值域和核的定义可以得到： R(4)={A(α)|Va ∈V}=V
N(A)={α ∈V|A(a)=0} ∈V
第 二 章 第 1 0 题
10在n 维线性空间中R[x], 中，定义线性变换9(f(x))=f'(x), 其中f(x) ∈R[x], 。 求，9的值域
与核。
解：N(D)={常数},R(D)espan{1,x, …x } ,取E₁=1,E₂=x, …,E=x”-;
R(D)={Df(x)|vfeR[x].},N(D)={f]Df(x)=0},f=T(0,T,,T)
R(x),Df(x), 
, 
R(x)=R(D)={xx|f=o+xx},N(D)={o|f=to+xx}=R()
第 二 章 1 3 题
解：(1)由题可得 A(αi,α₂,α₃)=(α₁,α₂,α₃)A
(β,β2,β₃)=(α₁,α₂,α₃)P
A(β,B₂,B₃)=(β,β2,B₃)P’AP
(2)由Aa=λa ⇔Ax=Ax
即 (A- 1)(A-2)(A+1)=0
特征值λ₁=1,A₂=2,A₃=- 1
A=1 时，把A=1 代入式中得 
则x₁=-x₃,x₂=0 特征向量为 
λ₂=2时，把λ₂=2代入式中得
则x₁=-x₃,2x₂=-x₃
A₃=-1, 把A₃=-1
特征向量为
代入式中得
则x₁=0,x₂=0,x₃ ∈R
特征向量为
第 二 章 1 4
14.设线性空间R³D3 的线性变换A 定义为
求线性变换A 的特征值与特征向量。
解：由 准基e,ez,e。
得
; 在e₁,e₂,e₃ 下的矩阵
则(2-2)(A-2)(A-3)=0
可求得特征值：λ₁=2,A₂=2,A₃=3。
A=2,A₂=2 时，由Ax=2x 可 
可得x₃=0;
由此得到对应的特征向量：
A₃=3 时，由Ax=3x 可得
则x₁=x₃,x₂=0;
由此
得到对应的特征向量：
第二章17
17、(1)B=PAP-1
B⁶=(PAP-¹)⁴=PA*p-¹ 结论成立
(2)令：P(A)=a₁A”+a₂A”-+.. …+a,A+a+
P(A)=a₁A”+a₂A“-+ … … … .a,A+a+1
P(B)=a₁B”+a₂B”-+ … …a,B+a+
由(1)得B*=PA* p- 1 即多项式每一项都成立，则有P(A)=PP(B)P
(3)B⁷=(PAP-¹)⁷=(P-¹)”A⁷p⁷=(P⁷)A′p 即结论成立
第三章
第三章2(1)、(3)
2.化下列A矩阵为Smith 标准形：
(1) 
解： 
(3) 
解 ：
第 三 章 3
3.求下列几矩阵的不变因子和初等因子；
(1)
解：由题意，知：
所以，此行列式的初等因子为(a-3)³,
故此行列式的不变因子为d₃(2)=(a-3),d₂(2)=1,d,(a)=1.
第三章 . 6(1)
解：由于
同理可得
A 与 B 具有相同的不变因子，故A 与 B 相 似
第三章9
(1)求Jordan 标准型 参考P107 例3.5.1
则A 的初等因子为A+1,(A+1)²,
故A 的Jordan 标准型为
10.山由AI-A 
因此Asjidan样幼
找pRrP=1 即AP=PJ.
<P=(R,R)
A 铜 d+9,(H))²
由AX=-2X 之 
9.5R=5B=k3+k 满 ( -L-A)X=-P
要解，刚随kk, 取k1 法 得 .
由-X+2x 取13=0=x
第 三 章 第 1 4 题
14 求下列矩阵的最小多项式：
(1)
(2)
(
再由A-2I≠0,(A-2I)²=0
2
得A的最小多项式为φ(2)=(A-2)²
)
由
验证A-2I≠0,A²-5A+11I≠0 得A 的最小多项式为A³-7A²+21A-22
第四章
P142 、 第四章第三题(1),参考例题例4.2.2
求下列矩阵A 的满秩分解：
(1)
解：取
取
则
则
令
,
, 则 A=BC,
4-9(1)
解：令
由公式：当j≥i 时，
所以：Uu=2,u1₂=3,uj₃=4
L2=1/2
u₂=- 1/2,u₂3=7,l₃1=1/2,l2=- 1,us₃=- 1
故LD 分解为：
*
所 以 LDU 分 解 为 ：
第四章第10题
10 利用系数矩阵的LU 分解解下列线性方程组
(1)
(1)解：据题意可得：系数矩阵
(2)
| ; |  |
; |  |
由A=LU即 
得：1×u+0×0+0×0=2 ⇔u=2;
1×u₂+0×u₂₂+0×0=3=u₂=3;
1×u₃+0×u₂3+0×u₃=4→u₃=4;
;
:
2×u₃+1×u₂₃+0×u₃3=9=u₂₃=7;
×u₂+b₂×u₂2+1×0=2=l₂=- 1;
l₃×u₃+l₃₂×u₃+1×u₃₃=-6=u₃₃=- 1;
所以
;
根据LU 分解有
得 ： 
(2)解：据题意可得：系数矩阵 
由 A=LU 即
得：1×u+0×0+0×0=2 ⇔u₁=2;
1×u₂+0×u₂₂+0×0=3=u₂=3;
1×u₃+0×u₂₃+0×u₃=4=u₃=4;
;
3×u₁+l₂×0+1×0=4=l₃=2
2×M₃+1×u₂3+0×u₃₃=2=u₂₃=-4;
3×u₂+l32×u₂+1×0=3=l₂=-6;
i×u₃+ls₂×u₂3+1×u₃₃=30 ⇔u₃₃=-2;
所以
;
根据 LU 分解有
得 ：
第五章
第五章第七题
(1)Vx ∈C”, 令y=Ax ∈C”,则x”A”Ax=yy≥0. ∴A”A≥0
同理Vx∈C”, 令y=A”x∈C”, 则x”AA⁴x=y⁴y≥0,∴AA⁴ ≥0
(2)秩 (A”A) = 秩 (AA⁴) = , 日 可 逆 矩 阵 PQ, 使
故A*A与AA” 有r 个特征值。
(3)列满秩→A”A 非奇异且根据结论1→ A”A 为Hermite 正定矩阵 第五章第6题
f(x₁,x₂,x₃)=ix,x₂+x₁x₃-ix;x₂+x₁x;
其解矩阵 
.的特征值为 √2,- √2,0
1.
.
L
首先对λ= √2取特征向量 
G₁=-|5||=-2
首先对Ω=- √2取特征向量
矩阵 
的特征向量是- √2,0
σ₂ =-II52I=-√2
得到H₂*=2-2w₂w₂”=
一
√2
2
√2
2
√2
2
√2
2
令
最后令u
取 A=u“Au, y=ux
故f(xi,x₂,x₃)=x”Ax=y”Ay 所以其标准形为：f(x₁,x₂,x₃)=√2y²-√21y₂l² 第五章19.
设 
,求对角元为正数的下三角矩阵L 使 得A=LLT,
解： 
X
.
;
即对A 进 行AU 分解后得 
;
对A 进 行LDU 分解后得 
;
, 即A=LL
第六章
P.198 习 题 第 6 题
题目：6.设A=(ay)∈C*,令 
。证明：川是C”**上的相容矩阵范数。
证明：VA=(ay) ∈C ,B=(b,) ∈C
所以川相容。
依题意，易知，当A≠0 时， |A|>0; 当4=0时， |A|=0;
对任意k∈C,A∈C”, 有
;
所以川是C” 上的相容矩阵范数。
第六章第7题
(1)|4|=/² ||≤ |2||4|>|x|≥1
(2)Ax=Ax 。是| · |相容向量范数
1|x|。=|Azl|≤ |4| · |x|a=>2|≤1A|
2A²x=x>|xla=|2||A²x|≤ |2||A|zlL ⇔ |4≤A|
第六章，第十题， Page198.
问题：对下列矩阵A, 求 4 ,A₂ , |4。,A,
(1)
(2)
.
解：(公式)
(行和范数)
1
4|2=(2ma(A“A))² (矩阵的谱范数)A“=(4) 为矩阵A的共轭转置矩阵。
(列和范数)
1
(Frobenius范数)注意：不是|4|,=( 
因为在复数矩阵中这 样计算是不正确的。
(1)
① |A,=max{1+1+11+1+24+2+2}=8
②
解 得 ：
A₁=3
所以 
◎ |A。=max{1+1+41+1+21+2+2}=6
◎ |A,=√ 1+1+16+1+1+4+1+4+4=√33
(2)用同样的方法求，注意
第 六 章 1 8 题
试讨论幂级数 
的收敛性.
设 
, 则 存 在 
从而幂级数
收 敛 .
第七章
第 七 章 1 题
对下列矩阵A, 计算eA,e” 和sin At
(1) 
1)f(x)=e²,f(x)=e²
2)f(x)=e²,f(x)=te²
3)f(x)=sinxt,f(x)=tcosxt
(2) 
(3)
(4) 
的特征值λ=2(三重) 初等因子λ-2和(A-2)²
=(2-2)(λ-2)²
即求逆解P 使
令p=(P₁,P₂,P₃)J
即 
由(2I-A)x=0
x-x₂+x₃=0
得A=2 的两个解是 
取P₁=5,P₂=k,5+k₂5₂ 得p₂满足AP³=2P
取k=0,k₂=1 时得 
从而 
即A=PJp⁻¹
第 七 章 8
(2)A=[0- 1;44], 求arcsinA/4
解：特征值A=2 (二重),初等因子(A-2)
存在可逆矩阵P: 
令P=(p₁p₂), 由A(p,p₂)=(p, ·p₂)J
AP=2P (1)
AP₂=P₁+2P₂ (2)
由(1) 
,由(2)得 
从而得 p =P
-1
-1 1
(3) A=[168;84],求(I+A) 和 A2
第七章第9题
其中t≠0, 计算lim A(t)
9 设矩阵值函数
,
1→0
解：(1) 
(2) 
(3)
(4)|A(t)|=t²e’sint+t²cost-e’-t²sintcost
te’-2tsintcost-t²cos²t+t²sin²t
(5)
P231、第七章12题
设矩阵值函数 , 计 算
·
0
解：根据矩阵值函数积分和导数的定义，对矩阵值函数的积分是对每个元素进行积分 和求导，因此：
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