2017年四川省绵阳市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.中国人最早使用负数,可追溯到两千多年前的秦汉时期,﹣0.5的相反数是( )
A.0.5 B.±0.5 C.﹣0.5 D.5
2.下列图案中,属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.中国幅员辽阔,陆地面积约为960万平方公里,“960万”用科学记数法表示为( )
A.0.96×107 B.9.6×106 C.96×105 D.9.6×102[来源:中#国教^育@出版*网%]
4.如图所示的几何体的主视图正确的是( )
A. B. C. D.
5.使代数式 + 有意义的整数x有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
6.为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm,则旗杆DE的高度等于( )[来源:中@#国教*育出版~网^]
[来源~#:中国教育出版网*&%]
A.10m B.12m C.12.4m D.12.32m
7.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1,则nm的值为( )
A.﹣8 B.8 C.16 D.﹣16[中#国*教育%&出版网@]
8.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图,已知底面圆的直径AB=8cm,圆柱体部分的高BC=6cm,圆锥体部分的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积是( )
A.68πcm2 B.74πcm2 C.84πcm2 D.100πcm2
9.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2 ,∠AEO=120°,则FC的长度为( )
A.1 B.2 C. D. [来源:z^p.co*#m]
10.将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是( )[来源:@中教*网&%#]
A.b>8 B.b>﹣8 C.b≥8 D.b≥﹣8
11.如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则 的值为( )
A. B. C. D.
12.如图所示,将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“●”的个数为a1,第2幅图形中“●”的个数为a2,第3幅图形中“●”的个数为a3,…,以此类推,则 + + +…+ 的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.分解因式:8a2﹣2= .
14.关于x的分式方程 = 的解是 .
15.如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,若点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),则点B的坐标是 .
16.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是 .
17.将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置,点D在AB边上,△DEF绕点D旋转,腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA,CB于M,N两点,若CA=5,AB=6,AD:AB=1:3,则MD+ 的最小值为 .
18.如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AM= AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是 ,则 的值是 .
三、解答题(本大题共7小题,共86分)
19.(1)计算: +cos245°﹣(﹣2)﹣1﹣|﹣ |
(2)先化简,再求值:( ﹣ )÷ ,其中x=2 ,y= .[o*m~]
20.红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查,从试验田中随机抽取了30株,得到的数据如下(单位:颗):
182 | 195 | 201 | 179 | 208 | 204 | 186 | 192 | 210 | 204 |
175 | 193 | 200 | 203 | 188 | 197 | 212 | 207 | 185 | 206 |
188 | 186 | 198 | 202 | 221 | 199 | 219 | 208 | 187 | 224 |
(1)对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析,请补全下表中空格,并完善直方图:[中
谷粒颗数 | 175≤x<185 | 185≤x<195 | 195≤x<205 | 205≤x<215 | 215≤x<225 |
频数 | 8 | 10 | 3 | ||
对应扇形
图中区域 |
D | E | C |
如图所示的扇形统计图中,扇形A对应的圆心角为 度,扇形B对应的圆心角为 度;
(2)该试验田中大约有3000株水稻,据此估计,其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株?
21.江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷.
(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷?om]
(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案?请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用.
22.如图,设反比例函数的解析式为y= (k>0).
(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求k的值;
(2)若该反比例函数与过点M(﹣2,0)的直线l:y=kx+b的图象交于A,B两点,如图所示,当△ABO的面积为 时,求直线l的解析式.
23.如图,已知AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M,交AB的延长线于点E,切点为F,连接AF交CD于点N.
(1)求证:CA=CN;[来源:中@教网*&^%]
(2)连接DF,若cos∠DFA= ,AN=2 ,求圆O的直径的长度.
[来源:中~国%#教@育&出版网]
24.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y= x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:圆C与x轴相切;
(3)过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F,求BE:MF的值.
25.如图,已知△ABC中,∠C=90°,点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动,到达点B停止运动,在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持∠NMC=45°,再过点N作AC的垂线交AB于点F,连接MF,将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF,已知AC=8cm,BC=4cm,设点M运动时间为t(s),△ENF与△ANF重叠部分的面积为y(cm2).
(1)在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由;
(2)求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围;[来#%源:中国教育^&出版网@]
(3)当y取最大值时,求sin∠NEF的值.
2017年四川省绵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.中国人最早使用负数,可追溯到两千多年前的秦汉时期,﹣0.5的相反数是( )[育
A.0.5 B.±0.5 C.﹣0.5 D.5
【考点】14:相反数.
【分析】根据相反数的定义求解即可.
【解答】解:﹣0.5的相反数是0.5,
故选:A.
2.下列图案中,属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】P3:轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的定义求解可得.
【解答】解:A,此图案是轴对称图形,有5条对称轴,此选项符合题意;
B、此图案不是轴对称图形,此选项不符合题意;
C、此图案不是轴对称图形,而是旋转对称图形,不符合题意;
D、此图案不是轴对称图形,不符合题意;
故选:A.
[ww&~w@.zzstep.#c^om]
3.中国幅员辽阔,陆地面积约为960万平方公里,“960万”用科学记数法表示为( )
A.0.96×107 B.9.6×106 C.96×105 D.9.6×102
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:“960万”用科学记数法表示为9.6×106,
故选:B.
4.如图所示的几何体的主视图正确的是( )[来~源:%^*中教&网]
A. B. C. D.
【考点】U2:简单组合体的三视图.
【分析】先细心观察原立体图形和正方体的位置关系,结合四个选项选出答案.[来源:%中^教~网#&]
【解答】解:由图可知,主视图一个矩形和三角形组成.
故选D.
5.使代数式 + 有意义的整数x有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【考点】72:二次根式有意义的条件.
【分析】根据被开方数是非负数,分母不能为零,可得答案.
【解答】解:由题意,得
x+3>0且4﹣3x≥0,
解得﹣3<x≤ ,[www.zz&^st#ep.co*m~]
整数有﹣2,﹣1,0,1,
故选:B.
6.为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm,则旗杆DE的高度等于( )
A.10m B.12m C.12.4m D.12.32m
【考点】SA:相似三角形的应用.
【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC,进而利用相似三角形的性质得出答案.
【解答】解:由题意可得:AB=1.5m,BC=0.4m,DC=4m,
△ABC∽△EDC,
则 = ,
即 = ,
解得:DE=12,
故选:B.
7.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1,则nm的值为( )
A.﹣8 B.8 C.16 D.﹣16
【考点】AB:根与系数的关系.
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值,将其代入nm中即可求出结论.
【解答】解:∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1,
∴﹣ =﹣1, =﹣2,
∴m=2,n=﹣4,
∴nm=(﹣4)2=16.[来源@~:中^国教育出&版网#]
故选C.
8.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图,已知底面圆的直径AB=8cm,圆柱体部分的高BC=6cm,圆锥体部分的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积是( )[中^国教@育出版~*&网]
[来&源:中^国%@教育出版~网]
A.68πcm2 B.74πcm2 C.84πcm2 D.100πcm2
【考点】MP:圆锥的计算;I4:几何体的表面积.
【分析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积.
【解答】解:∵底面圆的直径为8cm,高为3cm,
∴母线长为5cm,
∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2,
故选C.
9.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2 ,∠AEO=120°,则FC的长度为( )
A.1 B.2 C. D.
【考点】LB:矩形的性质;KD:全等三角形的判定与性质;T7:解直角三角形.
【分析】先根据矩形的性质,推理得到OF=CF,再根据Rt△BOF求得OF的长,即可得到CF的长.
【解答】解:∵EF⊥BD,∠AEO=120°,
∴∠EDO=30°,∠DEO=60°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠OBF=∠OCF=30°,∠BFO=60°,
∴∠FOC=60°﹣30°=30°,
∴OF=CF,
又∵Rt△BOF中,BO= BD= AC= ,
∴OF=tan30°×BO=1,
∴CF=1,
故选:A.
10.将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是( )
A.b>8 B.b>﹣8 C.b≥8 D.b≥﹣8
【考点】H6:二次函数图象与几何变换;F7:一次函数图象与系数的关系.
【分析】先根据平移原则:上→加,下→减,左→加,右→减写出解析式,再列方程组,有公共点则△≥0,则可求出b的取值.
【解答】解:由题意得:平移后得到的二次函数的解析式为:y=(x﹣3)2﹣1,
则 ,
(x﹣3)2﹣1=2x+b,
x2﹣8x+8﹣b=0,[中国#&@教育出^版*网]
△=(﹣8)2﹣4×1×(8﹣b)≥0,
b≥﹣8,
故选D.[中#国%^@教育出版网~]
11.如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则 的值为( )[来%源:@~z&zste#p.com]
A. B. C. D.
【考点】K5:三角形的重心;S9:相似三角形的判定与性质.
【分析】根据三角形的重心性质可得OC= CE,根据直角三角形的性质可得CE=AE,根据等边三角形的判定和性质得到CM= CE,进一步得到OM= CE,即OM= AE,根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF= AE,MF= EF,依此得到MF= AE,从而得到 的值.
【解答】解:∵点O是△ABC的重心,
∴OC= CE,
∵△ABC是直角三角形,
∴CE=BE=AE,
∵∠B=30°,
∴∠FAE=∠B=30°,∠BAC=60°,
∴∠FAE=∠CAF=30°,△ACE是等边三角形,
∴CM= CE,
∴OM= CE﹣ CE= CE,即OM= AE,
∵BE=AE,
∴EF= AE,
∵EF⊥AB,
∴∠AFE=60°,
∴∠FEM=30°,
∴MF= EF,
∴MF= AE,
∴ = = .
故选:D.
[来源:中国%*教育~^出@版网]
12.如图所示,将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“●”的个数为a1,第2幅图形中“●”的个数为a2,第3幅图形中“●”的个数为a3,…,以此类推,则 + + +…+ 的值为( )[www^.zzst@#%ep.c&om]
A. B. C. D.
【考点】38:规律型:图形的变化类.
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律,进而求出即可.
【解答】解:a1=3=1×3,a2=8=2×4,a3=15=3×5,a4=24=4×6,…,an=n(n+2);
∴ + + +…+ = + + + +…+ = (1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )= (1+ ﹣ ﹣ )= ,
故选C.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.分解因式:8a2﹣2= 2(2a+1)(2a﹣1) .[www.~z@zs%tep.co#m*]
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.[中国教育*&#@^出版网]
【分析】先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.
【解答】解:8a2﹣2,
=2(4a2﹣1),[来源@:中^&教*网%]
=2(2a+1)(2a﹣1).
故答案为:2(2a+1)(2a﹣1).
14.关于x的分式方程 = 的解是 ﹣ .
【考点】B3:解分式方程.[www.zz~*ste&^p.@com]
【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题.
【解答】解:两边乘(x+1)(x﹣1)得到,2x+2﹣(x﹣1)=﹣(x+1),[中*国教^&%育#出版网]
解得x=﹣ ,
经检验,x=﹣ 是分式方程的解.[中国教&~育出*^@版网]
∴x=﹣ .
故答案为﹣ .[来源:中国@教育^#出版网*%]
[中国教&^~育出#*版网]
15.如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,若点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),则点B的坐标是 (7,4) .
[中^国教育@出版~网&*]
【考点】L5:平行四边形的性质;D5:坐标与图形性质.[来&源:中国^%教@育出版~网]
【分析】根据平行四边形的性质及A点和C的坐标求出点B的坐标即可.
【解答】解:∵四边形ABCO是平行四边形,O为坐标原点,点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),
∴BC=OA=6,6+1=7,[中国@%*^教育~出版网]
∴点B的坐标是(7,4);
故答案为:(7,4).
16.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是 .
【考点】X6:列表法与树状图法.[中国^@%教育&出~版网]
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数,再找出“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:画树状图为:
共有36种等可能的结果数,其中“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数为9,[来源&:zzs#t~ep.c*@om]
所以“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率= = .
故答案为 .
17.将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置,点D在AB边上,△DEF绕点D旋转,腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA,CB于M,N两点,若CA=5,AB=6,AD:AB=1:3,则MD+ 的最小值为 2 .
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;KH:等腰三角形的性质;R2:旋转的性质.
【分析】先求出AD=2,BD=4,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN,然后求出∠AMD=∠BDN,从而得到△AMD和△BDN相似,根据相似三角形对应边成比例可得 = ,求出MA•DN=4MD,再将所求代数式整理出完全平方的形式,然后根据非负数的性质求出最小值即可.
【解答】解:∵AB=6,AD:AB=1:3,
∴AD=6× =2,BD=6﹣2=4,
∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形,
∴∠A=∠B=∠FDE,
由三角形的外角性质得,∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN,
∴∠AMD=∠BDN,
∴△AMD∽△BDN,
∴ = ,[来源@~^:中#教网%]
∴MA•DN=BD•MD=4MD,
∴MD+ =MD+ =( )2+( )2﹣2+2=( ﹣ )2+2,
∴当 = ,即MD= 时MD+ 有最小值为2.
故答案为:2.
18.如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AM= AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是 ,则 的值是 8﹣ .
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;T7:解直角三角形.
【分析】过点H作HG⊥AC于点G,由于AF平分∠CAE,DE∥BF,∠HAF=∠AFC=∠CAF,从而AC=CF=2,利用△AHM∽△FCM, = ,从而可求出AH=1,利用△AMH的面积是 ,从而可求出HG,利用勾股定理即可求出CG的长度,所以 = .[来*源:中@教&%网~]
【解答】解:过点H作HG⊥AC于点G,
∵AF平分∠CAE,DE∥BF,[来源:*中#教&@网~]
∴∠HAF=∠AFC=∠CAF,
∴AC=CF=2,
∵AM= AF,
∴ = ,[来^*源:&中国教@%育出版网]
∵DE∥CF,
∴△AHM∽△FCM,
∴ = ,
∴AH=1,
设△AHM中,AH边上的高为m,
△FCM中CF边上的高为n,[w@ww.zzstep*.#%com&]
∴ = = ,[来@源:zz*ste%^#p.com]
∵△AMH的面积为: ,[来源^:*&中教%网~]
∴ = AH•m
∴m= ,[中*@国&教%育出版~网]
∴n= ,
设△AHC的面积为S,[中~国#教育出版网^&%]
∴ = =3,
∴S=3S△AHM= ,
∴ AC•HG= ,
∴HG= ,
∴由勾股定理可知:AG= ,[来%源&:中国~*教#育出版网]
∴CG=AC﹣AG=2﹣
∴ = =8﹣
故答案为:8﹣
[来源^#:%中教&@网]
三、解答题(本大题共7小题,共86分)
19.(1)计算: +cos245°﹣(﹣2)﹣1﹣|﹣ |
(2)先化简,再求值:( ﹣ )÷ ,其中x=2 ,y= .
【考点】6D:分式的化简求值;2C:实数的运算;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值可以解答本题;
(2)根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:(1) +cos245°﹣(﹣2)﹣1﹣|﹣ |[中国#教*&育出版^网@]
=0.2+
=0.2+
=0.7;
(2)( ﹣ )÷
=
=
=
=
= ,
当x=2 ,y= 时,原式= .
20.红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查,从试验田中随机抽取了30株,得到的数据如下(单位:颗):
182 | 195 | 201 | 179 | 208 | 204 | 186 | 192 | 210 | 204 |
175 | 193 | 200 | 203 | 188 | 197 | 212 | 207 | 185 | 206 |
188 | 186 | 198 | 202 | 221 | 199 | 219 | 208 | 187 | 224 |
(1)对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析,请补全下表中空格,并完善直方图:
谷粒颗数 | 175≤x<185 | 185≤x<195 | 195≤x<205 | 205≤x<215 | 215≤x<225 |
频数 | 3 | 8 | 10 | 6 | 3 |
对应扇形
图中区域 |
B | D | E | A | C |
如图所示的扇形统计图中,扇形A对应的圆心角为 72 度,扇形B对应的圆心角为 36 度;[来^源~:中&#教网%]
(2)该试验田中大约有3000株水稻,据此估计,其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株?
【考点】V8:频数(率)分布直方图;V5:用样本估计总体;V7:频数(率)分布表;VB:扇形统计图.
【分析】(1)根据表格中数据填表画图即可,利用360°×其所占的百分比求出扇形对应的圆心角度数;
(2)用360°乘以样本中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻所占百分比即可.[中^国教育&#*~出版网]
【解答】解:(1)填表如下:
谷粒颗数 | 175≤x<185 | 185≤x<195 | 195≤x<205 | 205≤x<215 | 215≤x<225 |
频数 | 3 | 8 | 10 | 6 | 3 |
对应扇形
图中区域 |
B | D | E | A | C |
如图所示:
[来#@源&:zzste*p.com~]
如图所示的扇形统计图中,扇形A对应的圆心角为:360°× =72度,扇形B对应的圆心角为360°× =36度.
故答案为3,6,B,A,72,36;
[来源:zzs@tep.c^&%o#m]
(2)3000× =900.
即据此估计,其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有900株.
21.江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷.
(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷?
(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案?请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用.
【考点】CE:一元一次不等式组的应用;9A:二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷,每台小型收割机1小时收割小麦y公顷,根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;[www&.z~z*st%ep.com#]
(2)设大型收割机有m台,总费用为w元,则小型收割机有(10﹣m)台,根据总费用=大型收割机的费用+小型收割机的费用,即可得出w与m之间的函数关系式,由“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元”,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,依此可找出各方案,再结合一次函数的性质即可解决最值问题.
【解答】解:(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷,每台小型收割机1小时收割小麦y公顷,
根据题意得: ,
解得: .[来%源:中国教育^&出版网@#]
答:每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷,每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷.
(2)设大型收割机有m台,总费用为w元,则小型收割机有(10﹣m)台,[中国教&*%育出^版网#]
根据题意得:w=300×2m+200×2(10﹣m)=200m+4000.
∵2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,
∴ ,
解得:5≤m≤7,
∴有三种不同方案.
∵w=200m+4000中,200>0,[来源:zzst@ep.co^&%#m]
∴w值随m值的增大而增大,[来源:中*&国%教育出#版网@]
∴当m=5时,总费用取最小值,最小值为5000元.
答:有三种方案,当大型收割机和小型收割机各5台时,总费用最低,最低费用为5000元.
22.如图,设反比例函数的解析式为y= (k>0).
(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求k的值;
(2)若该反比例函数与过点M(﹣2,0)的直线l:y=kx+b的图象交于A,B两点,如图所示,当△ABO的面积为 时,求直线l的解析式.
【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)由题意可得A(1,2),利用待定系数法即可解决问题;
(2)把M(﹣2,0)代入y=kx+b,可得b=2k,可得y=kx+2k,由 消去y得到x2+2x﹣3=0,解得x=﹣3或1,推出B(﹣3,﹣k),A(1,3k),根据△ABO的面积为 ,可得 •2•3k+ •2•k= ,解方程即可解决问题;[w*w^w.zzste&~p.c@om]
【解答】解:(1)由题意A(1,2),
把A(1,2)代入y= ,得到3k=2,
∴k= .
(2)把M(﹣2,0)代入y=kx+b,可得b=2k,
∴y=kx+2k,[来~@^#&源:中教网]
由 消去y得到x2+2x﹣3=0,解得x=﹣3或1,
∴B(﹣3,﹣k),A(1,3k),
∵△ABO的面积为 ,
∴ •2•3k+ •2•k= ,
解得k= ,
∴直线l的解析式为y= x+ .
23.如图,已知AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M,交AB的延长线于点E,切点为F,连接AF交CD于点N.
(1)求证:CA=CN;[中国#~教育出*版@%网]
(2)连接DF,若cos∠DFA= ,AN=2 ,求圆O的直径的长度.[来源:*中国教育出^版网@&#]
【考点】MC:切线的性质;KQ:勾股定理;M5:圆周角定理;T7:解直角三角形.
【分析】(1)连接OF,根据切线的性质结合四边形内角和为360°,即可得出∠M+∠FOH=180°,由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF,再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC,由此即可证出CA=CN;
(2)连接OC,由圆周角定理结合cos∠DFA= 、AN=2 ,即可求出CH、AH的长度,设圆的半径为r,则OH=r﹣6,根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程,解之即可得出r,再乘以2即可求出圆O直径的长度.[ww*&w.zzste^#p.c@om]
【解答】(1)证明:连接OF,则∠OAF=∠OFA,如图所示.
∵ME与⊙O相切,[www.#z&zst%e~p.c@om]
∴OF⊥ME.
∵CD⊥AB,
∴∠M+∠FOH=180°.
∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF,∠FOH+∠BOF=180°,
∴∠M=2∠OAF.
∵ME∥AC,
∴∠M=∠C=2∠OAF.
∵CD⊥AB,
∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°,
∴∠ANC=90°﹣∠OAF,∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF,
∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC,[ww@w.zzs%t&ep.^#com]
∴CA=CN.
(2)连接OC,如图2所示.
∵cos∠DFA= ,∠DFA=∠ACH,
∴ = .
设CH=4a,则AC=5a,AH=3a,
∵CA=CN,
∴NH=a,
∴AN= = = a=2 ,[来*源:zzs@tep.^&~com]
∴a=2,AH=3a=6,CH=4a=8.
设圆的半径为r,则OH=r﹣6,
在Rt△OCH中,OC=r,CH=8,OH=r﹣6,[来@源:zzstep%.com&#^]
∴OC2=CH2+OH2,r2=82+(r﹣6)2,
解得:r= ,
∴圆O的直径的长度为2r= .
24.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y= x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.
(1)求抛物线的解析式;[中~国%教@*育出版网&]
(2)证明:圆C与x轴相切;
(3)过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F,求BE:MF的值.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)可设抛物线的顶点式,再结合抛物线过点(4,2),可求得抛物线的解析式;
(2)联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标,则可求得C点坐标和线段BD的长,可求得圆的半径,可证得结论;
(3)过点C作CH⊥m于点H,连接CM,可求得MH,利用(2)中所求B、D的坐标可求得FH,则可求得MF和BE的长,可求得其比值.[中国教#育%&@出~版网]
【解答】解:
(1)∵已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),
∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+1,
∵抛物线经过点(4,2),
∴2=a(4﹣2)2+1,解得a= ,
∴抛物线解析式为y= (x﹣2)2+1= x2﹣x+2;[w*w@w#.zzstep~^.com]
(2)联立直线和抛物线解析式可得 ,解得 或 ,
∴B(3﹣ , ﹣ ),D(3+ , + ),
∵C为BD的中点,
∴点C的纵坐标为 = ,[中~&国^教育%出版网@]
∵BD= =5,
∴圆的半径为 ,
∴点C到x轴的距离等于圆的半径,
∴圆C与x轴相切;
(3)如图,过点C作CH⊥m,垂足为H,连接CM,
由(2)可知CM= ,CH= ﹣1= ,
在Rt△CMH中,由勾股定理可求得MH=2,
∵HF= = ,
∴MF=HF﹣MH= ﹣2,
∵BE= ﹣ ﹣1= ﹣ ,
∴ = = .[来源:中~*国教@%育出版网^]
25.如图,已知△ABC中,∠C=90°,点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动,到达点B停止运动,在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持∠NMC=45°,再过点N作AC的垂线交AB于点F,连接MF,将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF,已知AC=8cm,BC=4cm,设点M运动时间为t(s),△ENF与△ANF重叠部分的面积为y(cm2).[来源:*^&%中@教网]
(1)在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由;
(2)求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围;
(3)当y取最大值时,求sin∠NEF的值.
【考点】LO:四边形综合题.
【分析】(1)由已知得出CN=CM=t,FN∥BC,得出AN=8﹣t,由平行线证出△ANF∽△ACB,得出对应边成比例求出NF= AN= (8﹣t),由对称的性质得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°,MN=NE,OE=OM=CN=t,由正方形的性质得出OE=ON=FN,得出方程,解方程即可;
(2)分两种情况:①当0<t≤2时,由三角形面积得出y=﹣ t2+2t;
②当2<t≤4时,作GH⊥NF于H,由(1)得:NF= (8﹣t),GH=NH,GH=2FH,得出GH= NF= (8﹣t),由三角形面积得出y= (8﹣t)2(2<t≤4);
(3)当点E在AB边上时,y取最大值,连接EM,则EF=BF,EM=2CN=2CM=2t,EM=2BM,得出方程,解方程求出CN=CM=2,AN=6,得出BM=2,NF= AN=3,因此EM=2BM=4,作FD⊥NE于D,由勾股定理求出EB= =2 ,求出EF= = ,由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF= HF= ,在Rt△DEF中,由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值.
【解答】解:(1)能使得四边形MNEF为正方形;理由如下:
连接ME交NF于O,如图1所示:[中~国教#育出&^版网@]
∵∠C=90°,∠NMC=45°,NF⊥AC,[来源%^:中教网~@*]
∴CN=CM=t,FN∥BC,
∴AN=8﹣t,△ANF∽△ACB,
∴ = =2,
∴NF= AN= (8﹣t),
由对称的性质得:∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°,MN=NE,OE=OM=CN=t,
∵四边形MNEF是正方形,
∴OE=ON=FN,[w~ww.z#zs^te%p@.com]
∴t= × (8﹣t),
解得:t= ;
即在点M的运动过程中,能使得四边形MNEF为正方形,t的值为 ;
(2)分两种情况:
①当0<t≤2时,y= × (8﹣t)×t=﹣ t2+2t,[中@#国*教育%&出版网]
即y=﹣ t2+2t(0<t≤2);
②当2<t≤4时,如图2所示:作GH⊥NF于H,
由(1)得:NF= (8﹣t),GH=NH,GH=2FH,
∴GH= NF= (8﹣t),[来^源:&~中#*教网]
∴y= NF′GH= × (8﹣t)× (8﹣t)= (8﹣t)2,
即y= (8﹣t)2(2<t≤4);
(3)当点E在AB边上时,y取最大值,
连接EM,如图3所示:
则EF=BF,EM=2CN=2CM=2t,EM=2BM,[来源@~:^中国教育出&版#网]
∵BM=4﹣t,
∴2t=2(4﹣t),
解得:t=2,
∴CN=CM=2,AN=6,
∴BM=4﹣2=2,NF= AN=3,
∴EM=2BM=4,
作FD⊥NE于D,则EB= = =2 ,△DNF是等腰直角三角形,[来#源:中国教&育出^版%网~]
∴EF= = ,DF= HF= ,
在Rt△DEF中,sin∠NEF= = = .
[www.zz#%&step^@.com]
[来源:#%中^&教*网]
[中%@#国教^育*出版网]
2017年6月29日
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