2017年全国中考数学试题2017年四川省内江市中考数学试卷(含答案解析版)

2017年四川省内江市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下面四个数中比﹣5小的数是（　　）

A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣6

2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们还有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响．2.3μm用科学记数法可表示为（　　）

A．23×10^﹣5m B．2.3×10^﹣5m C．2.3×10^﹣6m D．0.23×10^﹣7m

3．为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽取老人的方法最合适的是（　　）

A．随机抽取100位女性老人

B．随机抽取100位男性老人

C．随机抽取公园内100位老人

D．在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人

4．如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（　　）

A．19° B．38° C．42° D．52°

5．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

6．下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．某中学对该校九年级45名女学生进行了一次立定跳远测试，成绩如表：

跳远成绩	160	170	180	190	200	210
人数	3	9	6	9	15	3

这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是（　　）

A．9，9 B．15，9 C．190，200 D．185，200

8．下列计算正确的是（　　）

A．3x²y+5xy=8x³y² B．（x+y）²=x²+y²

C．（﹣2x）²÷x=4x D． + =1

9．端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是（　　）

A． B．

C． D．

10．不等式组 的非负整数解的个数是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

11．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，3 ），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（　　）1-cn-jy.com

A．（ ， ） B．（2， ） C．（ ， ） D．（ ，3﹣ ）

12．如图，过点A₀（2，0）作直线l：y= x的垂线，垂足为点A₁，过点A₁作A₁A₂⊥x轴，垂足为点A₂，过点A₂作A₂A₃⊥l，垂足为点A₃，…，这样依次下去，得到一组线段：A₀A₁，A₁A₂，A₂A₃，…，则线段A₂₀₁₆A₂₁₀₇的长为（　　）

A．（ ）²⁰¹⁵ B．（ ）²⁰¹⁶ C．（ ）²⁰¹⁷ D．（ ）²⁰¹⁸

 

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．分解因式：3x²﹣18x+27=　 　．

14．在函数y= + 中，自变量x的取值范围是　 　．

15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为 ，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是　 　．．www-2-1-cnjy-com

16．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF= ，则CE=　 　．2-1-c-n-j-y

 

三、解答题（共5小题，满分44分）

17．计算：﹣1²⁰¹⁷﹣丨1﹣ 丨+ ×（ ）^﹣2+⁰．

18．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．

求证：△BDE是等腰三角形．

19．小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：

（1）这项被调查的总人数是多少人？

（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；

（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．

20．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）

21．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y= 图象的两个交点．2·1·c·n·j·y

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣ ＞0的解集．

 

四、填空题（共4小题，每小题6分，满分24分）

22．若实数x满足x²﹣2x﹣1=0，则2x³﹣7x²+4x﹣2017=　 　．

23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为 ，则四边形AMCD的面积是　 　．

24．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则 =　 　．

25．如图，已知直线l₁∥l₂，l₁、l₂之间的距离为8，点P到直线l₁的距离为6，点Q到直线l₂的距离为4，PQ=4 ，在直线l₁上有一动点A，直线l₂上有一动点B，满足AB⊥l₂，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=　 　．

 

五、解答题（共3小题，满分36分）

26．观察下列等式：

第一个等式：

第二个等式：

第三个等式：

第四个等式：

按上述规律，回答下列问题：

（1）请写出第六个等式：a₆=　 　=　 　；

（2）用含n的代数式表示第n个等式：a_n=　 　=　 　；

（3）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=　 　（得出最简结果）；

（4）计算：a₁+a₂+…+a_n．

27．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE

（1）求证：AC²=AE•AB；

（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；

（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．

28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；

（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

 

2017年四川省内江市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下面四个数中比﹣5小的数是（　　）

A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣6

【考点】18：有理数大小比较．

【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得

﹣5＜1，

﹣5＜0，

﹣5＜﹣4，

﹣5＞﹣6，

∴四个数中比﹣5小的数是﹣6．

故选：D．

 

2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们还有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响．2.3μm用科学记数法可表示为（　　）

A．23×10^﹣5m B．2.3×10^﹣5m C．2.3×10^﹣6m D．0.23×10^﹣7m

【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：2.3μm=2.3×0.000001m=2.3×10^﹣6m，

故选：C．

 

3．为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽取老人的方法最合适的是（　　）

A．随机抽取100位女性老人

B．随机抽取100位男性老人

C．随机抽取公园内100位老人

D．在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人

【考点】V4：抽样调查的可靠性．

【分析】利用抽取的样本得当，能很好地反映总体的情况可对各选项进行判断．

【解答】解：为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人，这种抽取老人的方法最合适．

故选D．

 

4．如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（　　）

A．19° B．38° C．42° D．52°

【考点】JA：平行线的性质；IL：余角和补角．

【分析】过C作CD∥直线m，根据平行线性质得出∠DCA=∠FAC=38°，∠α=∠DCB，求出即可．21世纪教育网版权所有

【解答】解：过C作CD∥直线m，

∵m∥n，

∴CD∥m∥n，

∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，

∵∠ACB=90°，

∴∠α=90°﹣52°=38°，

则∠a的余角是52°．

故选D．

 

5．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【考点】U3：由三视图判断几何体；U2：简单组合体的三视图．

【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为1，2，3；据此可画出图形．

【解答】解：如图所示：

故选A．

 

6．下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】P3：轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．

【解答】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，

矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，

菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，

圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，

等腰三角形不是中心对称图形，只是轴对称图形，

所以，只是轴对称图形的有1个．

故选A．

 

7．某中学对该校九年级45名女学生进行了一次立定跳远测试，成绩如表：

跳远成绩	160	170	180	190	200	210
人数	3	9	6	9	15	3

这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是（　　）

A．9，9 B．15，9 C．190，200 D．185，200

【考点】W5：众数；W4：中位数．

【分析】根据中位数和众数的定义即可解决问题．

【解答】解：45名女学生的立定跳远测试成绩的中位数是最中间第23个数据190，众数是出现次数最多的数据200；21·世纪*教育网

故选：C．

 

8．下列计算正确的是（　　）

A．3x²y+5xy=8x³y² B．（x+y）²=x²+y²

C．（﹣2x）²÷x=4x D． + =1

【考点】6B：分式的加减法；4I：整式的混合运算．

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：（A）3x²y与5xy不是同类项，故A不正确；

（B）原式=x²+2xy+y²，故B不正确；

（C）原式=4x²÷x=4x，故C正确；

（D）原式= ﹣ =﹣1，故D不正确；

故选（C）

 

9．端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是（　　）21*cnjy*com

A． B．

C． D．

【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】根据A、B两种商品共60件以及用1680元购进A、B两种商品分别得出等式组成方程组即可．

【解答】解：设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组：

．

故选：B．

 

10．不等式组 的非负整数解的个数是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．

【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．

【解答】解：

∵解不等式①得：x≥﹣ ，

解不等式②得：x＜5，

∴不等式组的解集为﹣ ≤x＜5，

∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个，

故选B．

 

11．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，3 ），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（　　）

A．（ ， ） B．（2， ） C．（ ， ） D．（ ，3﹣ ）

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；D5：坐标与图形性质；LB：矩形的性质．

【分析】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出D点坐标．

【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0，3 ），

∴AC=OB=3 ，∠CAB=30°，

∴BC=AC•tan30°=3 × =3，

∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，

∴∠BAD=30°，AD=3 ，

过点D作DM⊥x轴于点M，

∵∠CAB=∠BAD=30°，

∴∠DAM=30°，

∴DM= AD= ，

∴AM=3 ×cos30°= ，

∴MO= ﹣3= ，

∴点D的坐标为（ ， ）．

故选：A．

 

12．如图，过点A₀（2，0）作直线l：y= x的垂线，垂足为点A₁，过点A₁作A₁A₂⊥x轴，垂足为点A₂，过点A₂作A₂A₃⊥l，垂足为点A₃，…，这样依次下去，得到一组线段：A₀A₁，A₁A₂，A₂A₃，…，则线段A₂₀₁₆A₂₁₀₇的长为（　　）

A．（ ）²⁰¹⁵ B．（ ）²⁰¹⁶ C．（ ）²⁰¹⁷ D．（ ）²⁰¹⁸

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OA_n=（ ）ⁿOA=2（ ）ⁿ，依此规律即可解决问题．

【解答】解：由y= x，得

l的倾斜角为30°，

点A坐标为（2，0），

∴OA=2，

∴OA₁= OA= ，OA₂= OA₁═ ，OA₃= OA₂═ ，OA₄= OA₃═ ，…，

∴OA_n=（ ）ⁿOA=2（ ）ⁿ．

∴OA₂₀₁₆=2×（ ）²⁰¹⁶，

A₂₀₁₆A₂₁₀₇的长 ×2×（ ）²⁰¹⁶=（ ）²⁰¹⁶，

故选：B．

 

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．分解因式：3x²﹣18x+27=　3（x﹣3）²　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．

【解答】解：3x²﹣18x+27，

=3（x²﹣6x+9），

=3（x﹣3）²．

故答案为：3（x﹣3）²．

 

14．在函数y= + 中，自变量x的取值范围是　x≥2且x≠3　．

【考点】E4：函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．

【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣3≠0，

解得：x≥2且x≠3．

故答案为x≥2且x≠3．

 

15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为 ，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是　π﹣ 　．．

【考点】MO：扇形面积的计算；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．

【分析】根据垂径定理得到CE= ，根据勾股定理得到OE= ，利用扇形和三角形的面积公式，求得阴影部分面积．

【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，

∴CE= ，

∵OC= ，

∴OE= ，

∴∠OCE=30°，

∴∠COD=120°，

∴图中阴影部分面积= ﹣ ×3× =π﹣ ，

故答案为：π﹣ ．

 

16．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF= ，则CE=　 　．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．

【分析】如图，连接EF．首先求出DM、DF的长，证明△DEF∽△DPC，可得 = ，求出DE即可解决问题．

【解答】解：如图，连接EF．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB=90°，∠DCP=45°，

∴AM=BM=1，

在Rt△ADM中，DM= = = ，

∵AM∥CD，

∴ = = ，

∴DP= ，∵PF= ，

∴DF=DP=PF= ，

∵∠EDF=∠PDC，∠DFE=∠DCP，

∴△DEF∽△DPC，

∴ = ，

∴ = ，

∴DE= ，

∴CE=CD﹣DE=2﹣ = ．

故答案为 ．

 

三、解答题（共5小题，满分44分）

17．计算：﹣1²⁰¹⁷﹣丨1﹣ 丨+ ×（ ）^﹣2+⁰．

【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求出答案．

【解答】解：原式=﹣1﹣|1﹣ × |+2×4+1

=﹣1﹣0+8+1

=8．

 

18．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．

求证：△BDE是等腰三角形．

【考点】KI：等腰三角形的判定；JA：平行线的性质．

【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．

【解答】证明：∵DE∥AC，

∴∠1=∠3，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∵AD⊥BD，

∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，

∴∠B=∠BDE，

∴△BDE是等腰三角形．

 

19．小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：

（1）这项被调查的总人数是多少人？

（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；

（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．

【分析】（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；

（2）用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；

（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．

【解答】解：（1）调查的总人数是：19÷38%=50（人）；

（2）A组所占圆心角的度数是：360°× =108°；

C组的人数有：50﹣15﹣19﹣4=12（人），

补全条形图如图所示：

（3）画树状图，共有12个可能的结果，

恰好选中甲的结果有6个，

∴P（恰好选中甲）= = ．

 

20．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=x，则BE=2x，DE=2x，DC=3x，BC= x，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．

【解答】解：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°，

∴∠DBE=∠DBC﹣∠EBC=60°﹣30°=30°．

又∵∠BCD=90°，

∴∠BDC=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°．

∴∠DBE=∠BDE．

∴BE=DE．

设EC=x，则DE=BE=2EC=2x，DC=EC+DE=x+2x=3x，

BC= = = x，

由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=20，

∴△ACD为等腰直角三角形，

∴AC=DC．

∴ x+60=3x，

解得：x=30+10 ．

答：塔高约为30+10 m．

 

21．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y= 图象的两个交点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣ ＞0的解集．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；FA：待定系数法求一次函数解析式．

【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；21*cnjy*com

（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC进行计算；21·cn·jy·com

（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．

【解答】解：（1）把A（﹣4，2）代入y= ，得m=2×（﹣4）=﹣8，

所以反比例函数解析式为y=﹣ ，

把B（n，﹣4）代入y=﹣ ，得﹣4n=﹣8，

解得n=2，

把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得

，

解得 ，

所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；

（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，

即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），

∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC= ×2×2+ ×2×4=6；

（3）由图可得，不等式kx+b﹣ ＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．

 

四、填空题（共4小题，每小题6分，满分24分）

22．若实数x满足x²﹣2x﹣1=0，则2x³﹣7x²+4x﹣2017=　﹣2020　．

【考点】59：因式分解的应用．

【分析】把2x²分解成x²与x²相加，然后把所求代数式整理成用x²﹣x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．【版权所有：21教育】

【解答】解：∵x²﹣2x﹣1=0，

∴x²﹣2x=1，

2x³﹣7x²+4x﹣2017

=2x³﹣4x²﹣3x²+4x﹣2017，

=2x（x²﹣2x）﹣3x²+4x﹣2017，

=6x﹣3x²﹣2017，

=﹣3（x²﹣2x）﹣2017

=﹣3﹣2017

=﹣2020，

故答案为：﹣2020．

 

23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为 ，则四边形AMCD的面积是　1　．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．

【分析】延长BA、CD，交点为E．依据题意可知MB=ME．然后证明△EAD∽△EBC．依据相似三角形的性质可求得△EAD和△EBC的面积，最后依据S_{四边形AMCD}= S_△EBC﹣S_△EAD求解即可．

【解答】解：如图所示：延长BA、CD，交点为E．

∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，

∴MB=ME．

又∵AM= AB，

∴AE= AB．

∴AE= BE．

∵AD∥BC，

∴△EAD∽△EBC．

∴ = ．

∴S_{四边形ADBC}= S_△EBC= ．

∴S_△EBC= ．

∴S_△EAD= × = ．

∴S_{四边形AMCD}= S_△EBC﹣S_△EAD= ﹣ =1．

故答案为：1．

 

24．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则 =　47　．

【考点】AB：根与系数的关系．

【分析】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，得到α+β=3，αβ=1，根据完全平方公式得到α⁴+β⁴=47，于是得到结论．【来源：21cnj*y.co*m】

【解答】解：方程（x+1）（x﹣4）=﹣5可化为x²﹣3x+1=0，

∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，

∴α+β=3，αβ=1，

∴（α+β）²=α²+β²=7，（α²+β²）²=α⁴+β⁴=47，

∴ = =47，

故答案为：47．

 

25．如图，已知直线l₁∥l₂，l₁、l₂之间的距离为8，点P到直线l₁的距离为6，点Q到直线l₂的距离为4，PQ=4 ，在直线l₁上有一动点A，直线l₂上有一动点B，满足AB⊥l₂，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=　4 　．

【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；JA：平行线的性质．

【分析】作PE⊥l₁于E交l₂于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l₂于B，作BA⊥l₁于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．首先证明四边形ABCP是平行四边形，PA+BQ=CB+BQ=QC，利用勾股定理即可解决问题．

【解答】解：作PE⊥l₁于E交l₂于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l₂于B，作BA⊥l₁于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．

在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=4 ，PD=18，

∴DQ= = ，

∵AB=PC=8，AB∥PC，

∴四边形ABCP是平行四边形，

∴PA=BC，

∴PA+BQ=CB+BQ=QC= = =4 ．

故答案为4

 

五、解答题（共3小题，满分36分）

26．观察下列等式：

第一个等式：

第二个等式：

第三个等式：

第四个等式：

按上述规律，回答下列问题：

（1）请写出第六个等式：a₆=　 　=　 ﹣ 　；

（2）用含n的代数式表示第n个等式：a_n=　 　=　 ﹣ 　；

（3）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=　 　（得出最简结果）；

（4）计算：a₁+a₂+…+a_n．

【考点】37：规律型：数字的变化类．

【分析】（1）根据已知4个等式可得；

（2）根据已知等式得出答案；

（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；

（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．

【解答】解：（1）由题意知，a₆= = ﹣ ，

故答案为： ， ﹣ ；

（2）a_n= = ﹣ ，

故答案为： ， ﹣ ；

（3）原式= ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣

= ﹣

= ，

故答案为： ；

（4）原式= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣

= ﹣

= ．

 

27．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE

（1）求证：AC²=AE•AB；

（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；

（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；

（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；

（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．21教育名师原创作品

【解答】证明：（1）如图1，连接BC，

∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，

∴ = ，

∴∠A=∠ABC，

∵EC=AE，

∴∠A=∠ACE，

∴∠ABC=∠ACE，

∵∠A=∠A，

∴△AEC∽△ACB，

∴ ，

∴AC²=AE•AB；

（2）PB=PE，理由是：

如图2，连接OB，

∵PB为⊙O的切线，

∴OB⊥PB，

∴∠OBP=90°，

∴∠PBN+∠OBN=90°，

∵∠OBN+∠COB=90°，

∴∠PBN=∠COB，

∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，

∠COB=2∠A，

∴∠PEB=∠COB，

∴∠PEB=∠PBN，

∴PB=PE；

（3）如图3，∵N为OC的中点，

∴ON= OC= OB，

Rt△OBN中，∠OBN=30°，

∴∠COB=60°，

∵OC=OB，

∴△OCB为等边三角形，

∵Q为⊙O任意一点，

连接PQ、OQ，

因为OQ为半径，是定值4，

则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，

当P、Q、O三点共线时，PQ最小，

∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，

∠A= ∠COB=30°，

∴∠PEB=2∠A=60°，

∠ABP=90°﹣30°=60°，

∴△PBE是等边三角形，

Rt△OBN中，BN= =2 ，

∴AB=2BN=4 ，

设AE=x，则CE=x，EN=2 ﹣x，

Rt△CNE中，x²=2²+（2 ﹣x）²，

x= ，

∴BE=PB=4 ﹣ = ，

Rt△OPB中，OP= = = ，

∴PQ= ﹣4= ．

则线段PQ的最小值是 ．

 

28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；21教育网

（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b、c的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S_△MBN与t的函数关系式S_△MBN=﹣ （t﹣1）²+ ．利用二次函数的图象性质进行解答；

（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案．

【解答】解：（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．

∴A（﹣2，0），

把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入y=ax²+bx+c（a≠0），得

，

解得 ，

所以该抛物线的解析式为：y=﹣ x²+ x+3；

（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．

∴MB=6﹣3t．

由题意得，点C的坐标为（0，3）．

在Rt△BOC中，BC= =5．

如图1，过点N作NH⊥AB于点H．

∴NH∥CO，

∴△BHN∽△BOC，

∴ ，即 = ，

∴HN= t．

∴S_△MBN= MB•HN= （6﹣3t）• t=﹣ t²+ t=﹣ （t﹣1）²+ ，

当△PBQ存在时，0＜t＜2，

∴当t=1时，

S_△PBQ最大= ．

答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是 ；

（3）如图2，

在Rt△OBC中，cos∠B= = ．

设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．

∴MB=6﹣3t．

当∠MNB=90°时，cos∠B= = ，即 = ，

化简，得17t=24，解得t= ，

当∠BMN=90°时，cos∠B= = ，

化简，得19t=30，解得t= ，

综上所述：t= 或t= 时，△MBN为直角三角形．

 

2017年7月9日

 

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