考点54 二项分布及其应用
了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.
一、条件概率与相互独立事件的概率
1．条件概率及其性质
（1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为()．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则(n(AB)表示A，B共同发生的基本事件的个数)．
（2）条件概率具有的性质
①；
②如果B和C是两个互斥事件，则.
2．相互独立事件
（1）对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件．
（2）若A与B相互独立，则．
（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
（4）若，则A与B相互独立．
【注】①中至少有一个发生的事件为A∪B；
②都发生的事件为AB；
③都不发生的事件为；
④恰有一个发生的事件为；
⑤至多有一个发生的事件为.
二、独立重复试验与二项分布
1．独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
若表示第i次试验结果，则.
【注】独立重复试验是各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的．
2．二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为．
考向一 条件概率
条件概率的两种解法：
(1)定义法：先求和，再由求．
(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数，再求事件A发生的条件下事件B包含的基本事件数，得.
典例1 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则等于
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解法一：，，
由条件概率公式，得，故选B．
解法二：∵，n(AB)=1，∴P(B|A)=，故选B．
1．从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，则
A． B．
C． D．
考向二 相互独立事件的概率
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
典例2 已知学校有个数学老师，其中个男老师，个女老师，学校有个数学老师，其中3个男老师，7个女老师，为了实现师资均衡，现从学校任意抽取一个数学老师到学校，然后从学校任意抽取一个数学老师到县里上公开课，则两次都抽到男老师的的概率是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A学校任意抽取一个数学老师到B学校，抽到男老师的的概率是，
然后从B学校任意抽取一个老师，抽到男老师的的概率是，
典例3 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立.
（1）求乙答对这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
【解析】（1）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件,
设乙答对这道题的概率，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件.
由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得，
解得，
所以，乙答对这道题的概率为.
（2）设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件,丙答对这道题的概率.
由（1），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得,
解得
则甲、乙、丙三人都回答错误的概率为
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
所以，所求事件的概率为
2．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目的概率为；同时，有个水平相同的人也在研究项目，他们各自独立的解决项目的概率都是0.5.现在李某单独研究项目，且这个人组成的团队也同时研究项目，且这个人研究项目的结果相互独立.设这个人团队解决项目的概率为，若，则的最小值是__________.
3．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月对甲、乙两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人作为样本，发现样本中甲、乙两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用甲种支付方式和仅使用乙种支付方式的学生的支付金额分布情况如下：
| 支付金额（元）
支付方式 |
大于1000 | ||
| 仅使用甲 | 15人 | 8人 | 2人 |
| 仅使用乙 | 10人 | 9人 | 1人 |
（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月甲、乙两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本中仅使用甲种支付方式和仅使用乙种支付方式的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于500元的人数，用频率近似代替概率，求的分布列和数学期望.
考向三 独立重复试验与二项分布
独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略：
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率即可．
(2)根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
典例4 设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)=，则P(η≥2)的值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由P(ξ≥1)=，得，即9p2−18p＋5=0，解得p=或p=(舍去)，
∴.
典例5 2018年9月16日下午5时左右，今年第22号台风“山竹”在广东江门川岛镇附近正面登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，某记者调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图（图1）.
（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，记者调查的100户居民的捐款情况如下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.
图1 图2
参考公式：，其中.
参考数据：
【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100户居民中，经济损失不超过4000元的有（户），则经济损失超过4000元的有100-70=30（户），
补充表格如下：
| 经济损失不超过4000元 | 经济损失超过4000元 | 合计 | |
| 捐款超过500元 | 60 | 20 | 80 |
| 捐款不超过500元 | 10 | 10 | 20 |
| 合计 | 70 | 30 | 100 |
计算得，
由于，
所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
（2）由频率分布直方图可知抽到经济损失超过4000元的频率为0.3，将频率视为概率.
由题意知的取值可能为，，
；
；
；
，
从而的分布列为
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
| P |
则，
.
4．从装有除颜色外，其他完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为，已知，则
A． B．
C． D．
5．高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记正面向上的次数为，则
A． B．
C． D．
2．已知随机变量服从二项分布，则等于
A． B．
C． D．
3．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为
A． B．
C． D．
4．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件{第二个四面体向下的一面出现奇数}；{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}.给出下列结论:①；②；③，其中正确的结论个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
5．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是
A． B．
C． D．
6．设随机变量服从二项分布，且期望，，则方差等于
A． B．
C． D．
7．设随机变量，若，则
A． B．
C． D．
8．集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是
A． B．
C． D．
9．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件，“摸得的两球不同色”为事件，则概率为
A． B．
C． D．
10．在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率，则事件在一次试验中发生的概率的范围是
A． B．
C． D．
11．设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是
A． B．
C． D．
12．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为
A． B．
C． D．
13．一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出一个黄球，一个绿球”，则
A． B．
C． D．
14．某学校对高三学生进行体能测试,若每名学生测试达标的概率都是(相互独立),经计算,5名学生中恰有k名学生同时达标的概率是,则k的值为
A．2 B．3
C．4 D．3或4
15．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为
A． B．
C． D．以上都不对
16．如图所示，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则等于
A． B．
C． D．
17．为了响应国家发展足球的战略，某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记为10个同学的得分总和，则的数学期望为
A．30 B．40
C．60 D．80
18．随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活.网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为_________.
19．某校高三年级要从名男生和名女生中任选名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是__________．
20．如图所示的电路有，，三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为___________．
21．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝__________．
22．学生李明上学要经过个路口,前三个路口遇到红灯的概率均为,第四个路口遇到红灯的概率为,设在各个路口是否遇到红灯互不影响,则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为__________．
23．2019年高考刚过，为了解考生对全国2卷数学试卷难度的评价，随机抽取了某学校50名男考生与50名女考生，得到下面的列联表：
| 非常困难 | 一般 | |
| 男考生 | 20 | 30 |
| 女考生 | 40 | 10 |
（1）分别估计该学校男考生、女考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率；
（2）从该学校随机抽取3名男考生，2名女考生，求恰有4名考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率.
24．某省数学学会为选拔一批学生代表该省参加全国高中数学联赛，在省内组织了一次预选赛，该省各校学生均可报名参加.现从所有参赛学生中随机抽取人的成绩进行统计，发现这名学生中本次预选赛成绩优秀的男、女生人数之比为，成绩一般的男、女生人数之比为.已知从这名学生中随机抽取一名学生，抽到男生的概率是
（1）请将下表补充完整，并判断是否有的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关？
| 成绩优秀 | 成绩一般 | 总计 | |
| 男生 | |||
| 女生 | |||
| 总计 |
（2）以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
临界值表供参考：
25．互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人.
（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；
（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.
26．某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知全市教师中，有选择心理学培训，有选择计算机培训，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选名教师，求该教师只选择参加一项培训的概率；
（2）任选名教师，记为名教师中选择不参加培训的人数，求随机变量的分布列和期望．
27．为调查某小区居民的“幸福度”，现从所有居民中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”.
（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；
（2）以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据，若从该小区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望和方差.
28．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面22列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取3人进行约谈，记这3人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)．
| 晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
| 男 | 16 | ||
| 女 | 50 | ||
| 合计 |
参考公式：，其中
29．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
| 作物产量(kg) | 300 | 500 |
| 概率 | 0.5 | 0.5 |
| 作物市场价格(元/kg) | 6 | 10 |
| 概率 | 0.4 | 0.6 |
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
30．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响．
（1）求该小组未能进入第二轮的概率；
（2）记乙猜歌曲的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．
31．统计全国高三学生的视力情况，得到如图所示的频率分布直方图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频率成等比数列，后6组的频率成等差数列.
（1）求出视力在[4.7，4.8)的频率；
（2）现从全国的高三学生中随机地抽取4人，用表示视力在[4.3，4.7)的学生人数，写出的分布列，并求出的期望与方差.
32．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
| 等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
| 个数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
（1）若将频率是为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，
方案：不分类卖出，单价为元．
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：
| 等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
| 售价(元/kg） | 16 | 18 | 22 | 24 |
从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望．
1．(2018新课标全国Ⅲ理科)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
2．(2015新课标全国Ⅰ理科)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
3．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．
4．(2017新课标全国Ⅱ理科)一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．
5．(2016四川理科)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .
6．(2015广东理科)已知随机变量X服从二项分布，若，则 .
7．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．
8．（2019年高考天津卷理数）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
9．(2018新课标全国Ⅰ理科)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
10．（2018北京理科）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
| 电影类型 | 第一类 | 第二类 | 第三类 | 第四类 | 第五类 | 第六类 |
| 电影部数 | 140 | 50 | 300 | 200 | 800 | 510 |
| 好评率 | 0.4 | 0.2 | 0.15 | 0.25 | 0.2 | 0.1 |
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
11．（2016新课标全国Ⅱ理科）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
| 上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 保 费 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
| 一年内出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 概 率 | 0.30 | 0.15 | 0.20 | 0.20 | 0.10 | 0. 05 |
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
12．（2016山东理科）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和为的分布列和数学期望.
变式拓展
1．【答案】D
【解析】事件分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，
所以，，
由条件概率可得：，
故选D．
2．【答案】4
【解析】依题意，这个人组成的团队不能解决项目的概率为，
所以，
所以，即，
解得，
故答案为4.
3．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用甲种支付方式的学生有人，仅使用乙种支付方式的学生有人，甲、乙两种支付方式都不使用的学生有10人.
故样本中甲、乙两种支付方式都使用的学生有人，
所以从全校学生中随机抽取1人，
该学生上个月甲、乙两种支付方式都使用的概率估计为.
（2）的所有可能值为0,1,2.
记事件为“从样本仅使用甲种支付方式的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于500元”，事件为“从样本仅使用乙种支付方式的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于500元”，
由题设知，事件A，B相互独立，
且，
所以，
，
，
所以的分布列为
| 0 | 1 | 2 | |
| 0.3 | 0.5 | 0.2 |
故的数学期望.
4．【答案】B
【解析】由题意知，X～B（5，），
∴E(X)＝53，解得m＝2，
∴X～B（5，），
∴D（X）＝5（1）．
故选B．
5．【解析】（1）记“小球落入4号容器”为事件，
若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，
∴理论上，小球落入4号容器的概率.
（2）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，
∴，，
，，
∴的分布列为：
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
∴.
考点冲关
1．【答案】D
【解析】将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数.
故选D．
2．【答案】C
【解析】由二项分布可知，选C.
3．【答案】A
【解析】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A．
4．【答案】C
【解析】由古典概型知：，则①正确；
，，则②正确；
事件与事件为互斥事件，，则③错误.
故选C.
5．【答案】A
【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可．
【解析】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，
∴，∴．故选A．
【名师点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望．如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求数学期望．
6．【答案】C
【解析】由于二项分布的数学期望，
所以二项分布的方差，应选C.
7．【答案】A
【解析】，，
即，所以，则，故选A.
8．【答案】B
【解析】获奖的概率为，记获奖的人数为，则，所以4人中恰好有3人获奖的概率为，故选B.
9．【答案】B
【解析】依题意，，，
则条件概率．故答案选B.
10．【答案】D
【解析】事件在一次试验中发生的概率为，
∵随机事件恰好发生次的概率不小于其恰好发生次的概率，
，
解得，
即的范围是.
故选D．
11．【答案】C
【解析】∵函数存在零点，
∵随机变量服从二项分布，．
故选C．
12．【答案】B
【解析】由题意，甲获得冠军的概率为，
其中比赛进行了3局的概率为，
∴所求概率为 .故选B．
13．【答案】D
【解析】记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出一个黄球，一个绿球”，
则，
，
.故选D．
14．【答案】D
【解析】设表示这5名学生中达标的人数,则,.
由已知,得,即,解得或.
故选D.
15．【答案】C
【解析】甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，
仅甲及格的概率为：；
仅乙及格的概率为：；
仅丙及格的概率为：，
则三人中只有一人及格的概率为：.
故选C．
16．【答案】A
【解析】根据题意，正方形的面积为1×1=1，而与直线及轴所围成的曲边梯形的面积为，
而阴影部分的面积为，
∴在正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为，∴，
，故选A．
17．【答案】C
【解析】由题意知每个学生的进球个数服从二项分布，即，其中，所以由二项分布的数学期望公式可得每个学生进球个数的数学期望为，因此10个同学得分的数学期望是，应选C.
18．【答案】0.42
【解析】题目可转化为独立重复试验，即重复做2次试验，每次事件发生的概率为0.7，
则恰有1次发生的概率为.
19．【答案】
【解析】男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件B，则，，由条件概率公式可得：.
20．【答案】
【解析】设“闭合”为事件，“闭合”为事件，“闭合”为事件，
则灯泡甲亮应为事件，且，，之间彼此独立，
因为，
所以．
21．【答案】
【解析】随机变量服从，
，
解得，
，故答案为.
22．【答案】
【解析】分两种情况求解：
①前三个路口恰有一次红灯，且第四个路口为绿灯的概率为；
②前三个路口都是绿灯，第四个路口为红灯的概率为．
由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为．
23．【解析】（1）由题可知男考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率为，
女考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率为.
（2）由题设男考生、女考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的人数分別为，，
，.
记事件“恰有4名考生觉得全国2卷数学试卷非常困难”，
，
则
.
24．【解析】（1）根据表中所给数据计算可得：
| 成绩优秀 | 成绩一般 | 总计 | |
| 男生 | |||
| 女生 | |||
| 总计 |
计算得，
故有的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关.
（2）由题知，
故的分布列为：
则.
25．【解析】（1）设事件表示至少有1人的年龄低于45岁，
则.
（2）由题意知，以手机支付作为首选支付方式的概率为.
设表示销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数，则，
设表示销售额，则，
所以销售额的数学期望（元）.
26．【解析】任选名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，
“该教师选择计算机培训”为事件，
由题设知，事件与相互独立，且，．
（1）任选名教师，该教师只选择参加一项培训的概率是
．
（2）任选名教师，该教师选择不参加培训的概率是
．
因为每名教师的选择是相互独立的，
所以名教师中选择不参加培训的人数服从二项分布，
且，，，，，
即的分布列是
所以， 的期望是．
（或的期望是．）
27．【解析】（1）由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人，
记从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”为事件，
由题意得.
（2）由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，的可能取值为0,1,2,3,
显然，
则；；
；，
所以的分布列为
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
则，
.
28．【解析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，
可知，解得；
（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为，填表如下：
| 晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
| 男 | 16 | 34 | 50 |
| 女 | 9 | 41 | 50 |
| 合计 | 25 | 75 | 100 |
根据上表数据，计算可得，
所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，
这人晋级失败的概率为，所以X可视为服从二项分布，即，
，
故，，
，，
所以X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
数学期望为，或
29．【解析】（1）设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
由题设知，，
因为利润=产量×市场价格−成本，所以X所有可能的取值情况为：
，.
则，
，
，
所以X的分布列为
| X | 4000 | 2000 | 800 |
| P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
（2）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”()，
由题意知相互独立，
由（1）知，，
则3季的利润均不少于2000元的概率为；
3季中有2季的利润不少于2000元的概率为
，
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为.
30．【解析】分别将甲、乙、丙第次猜对歌名记为事件，，，则易知，，相互独立.
（1）该小组未能进入第二轮的概率
.
（2）乙猜歌曲次数的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
∴的分布列为
.
【思路点睛】（1）分别将甲、乙、丙第次猜对歌名记为事件，，，则，，相互独立，由此可得出该小组未能进入第二轮的概率.
（2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出．
31．【解析】（1）前四组的频率分别为：0.01，0.03，0.09，0.27，所以后六组数据的首项为0.27，后六组的频率之和为，
设公差为，则有：，
所以，视力在[4.7，4.8)的频率为.
（2）视力在[4.3，4.7)的频率为：，则，即
，
所以，
，
，
，
，
所以的分布列为：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
，
.
【思路点睛】（1）结合频率分布直方图和题意，分别求出前4组的频率以及后6组的频率之和，由等差数列前n项和公式，求出公差，再算出视力在[4.7，4.8)内的频率；
（2）求出视力在[4.3，4.7)内的频率，学生人数服从二项分布，由二项分布的概率计算公式求出分布列，再算出期望与方差.
32．【分析】（1）计算出从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案单价的数学期望，与方案的单价进行比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的个水果中，精品果个，非精品果个；则服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果．
【解析】（1）设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则，
现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，
所以恰好抽到个礼品果的概率为，
（2）设方案的单价为，则单价的期望值为
，
因为，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．
（3）用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个，
现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，
则；；
；，
所以的分布列如下：
所以
【名师点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率．
直通高考
1．【答案】B
【解析】∵，∴或，，
，可知，故.
故选B.
2．【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648.
故选A.
3．【答案】
【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是
【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
4．【答案】
【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得．
【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
①是否为n次独立重复试验，在每次试验中事件A发生的概率是否均为p；
②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，且表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率．
5．【答案】
【解析】由题意知，试验成功的概率，故，.
6．【答案】
【解析】依题意可得且，解得.
7．【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，
且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
8．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．
【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．
所以，随机变量的分布列为
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
随机变量的数学期望．
（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，
则，且．
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由（1）知
．
9．【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此
.
令，得.
当时，；当时，.
所以的最大值点为.
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.
所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
10．【解析】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为．
（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（）=P（）+P（）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ）>>=>>．
11．【解析】（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，
则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，
故
又，
故
因此所求概率为
（3）记续保人本年度的保费为，则的分布列为
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
【名师点睛】条件概率的求法：
(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求出P(B|A)；
(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
求离散型随机变量均值的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；
(2)求X取每个值时的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值定义求出EX．
12．【解析】（1）记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，
由事件的独立性与互斥性，得
，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
（2）由题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，6.
由事件的独立性与互斥性，得
，
，
，
，
，
.
可得随机变量的分布列为
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | |
| P |
所以数学期望.
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.
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