青海省中考真题10-20年青海省中考数学真题2014年青海省中考数学试卷（含解析版）

2014年青海省中考数学试卷

一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）

1．（4分） 的倒数是　 　； =　 　．

2．（4分）分解因式：a³b﹣9ab=　 　；不等式组 的解集是　 　．

3．（2分）据青海省湿地保护管理中心和世界自然基金会公布的调查数据表明，我省湿地总面积的最新数据为8140000公顷，居世界第一，该数据用科学记数法表示为　 　公顷．

4．（2分）方程 的解是　 　．

5．（2分）如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为　 　米．

6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是　 　．

7．（2分）若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）²⁰¹⁴=　 　．

8．（2分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P=　 　度．

9．（2分）从1，2，3，…，10这10个自然数中任取一个数，则它是4的倍数的概率是　 　．

10．（2分）如图，已知∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段　 　．

11．（2分）如图所示，坐在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），则“兵”位于点　 　．

12．（4分）一组按照规律排列的式子： ，…，其中第8个式子是　 　，第n个式子是　 　．（n为正整数）

二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

13．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a²+a³=a⁵ B．

C．（a²）³=a⁵ D．（a³）²=a⁶

14．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（　　）

A．15° B．60° C．45° D．75°

15．（3分）如图，点P₁、P₂、P₃分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，垂足分别是A₁、A₁、A₃，得到的三个三角形△P₁A₁O、△P₂A₂O、△P₃A₃O．设它们的面积分别为S₁、S₂、S₃，则它们的大小关系是（　　）

A．S₁＞S₂＞S₃ B．S₃＞S₂＞S₁ C．S₁=S₂=S₃ D．S₂＞S₃＞S₁

16．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

17．（3分）如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（　　）

A．120° B．130° C．145° D．150°

18．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（　　）

A．12π B．15π C．24π D．30π

19．（3分）某商场四月份的利润是28万元，预计六月份的利润将达到40万元．设利润每月平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是（　　）

A．28（1+x）²=40 B．28（1+x）²=40﹣28

C．28（1+2x）=40 D．28（1+x²）=40

20．（3分）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象（　　）

A． B．

C． D．

 

三、解答题

21．（6分）计算： +（π﹣3.14）⁰﹣tan60°+|1﹣ |．

22．（6分）先化简，再求值： ，其中x=2+ ，y=2﹣ ．

23．（8分）如图，▱ABCD中，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE=BF．求证：∠ADE=∠BCF．

 

四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题9分，第26题8分，共26分）

24．（9分）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．

（1）求证：AP是⊙O的切线．

（2）若⊙O的半径是4，AP=4 ，求图中阴影部分的面积．

25．（9分）阅读对一个人的成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．某中学为了解学生阅读课外书籍的情况．决定围绕“在艺术类、科技类、动漫类、小说类、其它类课外书籍中，你最喜欢的课外书籍是哪一类？（只写一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查问卷适当整理后绘制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图．

（1）请你将条形统计图和扇形统计图补充完整；

（2）若该校共有1600名学生，请你估计这1600人中喜欢动漫类书籍的约有多少人？

（3）小东从图书馆借回2本动漫书和3本科技书放进一个空书包里准备回家阅读，那么他从书包里任取2本，恰好都是科技类图书的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）

26．（8分）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．

（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？

（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？

 

五、解答题（共2小题，满分20分）

27．（10分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．

（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求证：EF=EG．

（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF　 　EG（用“=”或“≠”填空）

（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A重合），其余条件不变，若AB=4，BC=3，求 的值．

28．（10分）如图所示，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

 

2014年青海省中考数学试卷

参考答案与试题解析

 

一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）

1．（4分） 的倒数是　﹣4　； =　3　．

【考点】17：倒数；24：立方根．

【专题】11：计算题．

【分析】利用倒数及立方根定义计算即可得到结果．

【解答】解：∵﹣ ×（﹣4）=1，

∴﹣ 的倒数为﹣4；

∵3³=27，

∴ =3．

故答案为：﹣4，3

【点评】本题考查了如何求一个数的倒数和立方根，解题的关键是准确掌握倒数和立方根的概念．

2．（4分）分解因式：a³b﹣9ab=　ab（a+3）（a﹣3）　；不等式组 的解集是　﹣2＜x＜3　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；CB：解一元一次不等式组．

【专题】11：计算题．

【分析】原式提取ab，再利用平方差公式分解即可；分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．

【解答】解：a³b﹣9ab=ab（a²﹣9）=ab（a+3）（a﹣3）；

，

不等式①的解集为x＞﹣2，

不等式②的解集为x＜3，

∴不等组的解集为﹣2＜x＜3．

故答案为ab（a+3）（a﹣3），﹣2＜x＜3

【点评】本题考查了分解因式和解一元一次不等式，对于因式分解解题的关键是理解因式分解的分析步骤，对于不等式组解题关键是正确解出每个不等式的解集．

3．（2分）据青海省湿地保护管理中心和世界自然基金会公布的调查数据表明，我省湿地总面积的最新数据为8140000公顷，居世界第一，该数据用科学记数法表示为　8.14×10⁶　公顷．

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：∵8140000的整数位数为7，

∴8140000=8.14×10⁶．

故答案为8.14×10⁶．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（2分）方程 的解是　x=5　．

【考点】B3：解分式方程．

【专题】11：计算题．

【分析】在方程两侧同时乘以最简公分母（x+3）（x﹣1）去掉分母转化为整式方程，求出解即可．

【解答】解：在方程两侧同时乘以最简公分母（x+3）（x﹣1）去分母得，

2x﹣2=x+3，

解得x=5，

经检验x=5是分式方程的解．

故答案为：x=5．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

5．（2分）如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为　10　米．

【考点】SA：相似三角形的应用．

【分析】由已知可得BC∥DE，因此△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求得水塔的高度．

【解答】解：∵BC⊥AD，ED⊥AD，

∴BC∥DE，

∴△ABC∽△ADE，

∴ ，即 ，

∴DE=10，即水塔的高度是10米．

故答案为：10．

【点评】本题考查了考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用比例式求解线段长．

6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是　3　．

【考点】KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理．

【分析】首先过点D作DE⊥BC于E，由在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=AD，又由勾股定理求得AD的长，继而求得答案．

【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，

∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，

即AD⊥BA，

∴DE=AD，

∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BD=5，

∴AD= =3，

∴DE=AD=3，

∴点D到BC的距离是3．

故答案为：3．

【点评】此题考查了角平分线的性质与勾股定理的应用．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

7．（2分）若点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），则（a+b）²⁰¹⁴=　1　．

【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据轴对称的性质，点M和点N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可以求得a、b的值，从而可得a+b的值．

【解答】解：∵点M（3，a）关于y轴的对称点是点N（b，2），

∴b=﹣3，a=2，

∴a+b=﹣1，

∴（a+b）²⁰¹⁴=（﹣1）²⁰¹⁴=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了轴对称的性质和幂的运算，解题的关键是先求得a、b的值．

8．（2分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P=　50　度．

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．

【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解．

【解答】解：连接OA，OB．

PA、PB切⊙O于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°，

由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，

∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，

∴∠P=180°﹣∠AOB=50°．

【点评】本题利用了切线的概念，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解．

9．（2分）从1，2，3，…，10这10个自然数中任取一个数，则它是4的倍数的概率是　 　．

【考点】X4：概率公式．

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．本题先找出4的倍数只有4和8这两个数，然后用2除以10即可．

【解答】解：∵1，2，3，…，10这10个自然数中只有4和8是4的倍数，

因此从1，2，3，…，10这10个自然数中任取一个数，则它是4的倍数的概率是 ．

故答案为： ．

【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ，难度适中．

10．（2分）如图，已知∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段　AD=BC　．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．

【专题】26：开放型．

【分析】易证△CAB≌△DBA，根据全等三角形对应边相等的性质可得BC=AD，即可解题．

【解答】解：在△CAB和△DBA中，

，

∴△CAB≌△DBA（AAS），

∴BC=AD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CAB≌△DBA是解题的关键．

11．（2分）如图所示，坐在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），则“兵”位于点　（﹣4，1）　．

【考点】D3：坐标确定位置．

【分析】根据“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），可知原点在这两个棋子的上方两个单位长度的直线上且在马的左边，距离马的距离为1个单位的直线上，两者的交点就是原点O．

【解答】解：∵“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），

∴原点在这两个棋子的上方两个单位长度的直线上且在马的左边，距离马的距离为1个单位的直线上，两者的交点就是原点O，

∴“兵”位于点（﹣4，1）．

故答案为：（﹣4，1）．

【点评】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．

12．（4分）一组按照规律排列的式子： ，…，其中第8个式子是　 　，第n个式子是　 　．（n为正整数）

【考点】42：单项式．

【专题】2A：规律型．

【分析】根据分子的底数都是x，而指数是从1开始的奇数；分母是底数从1开始的自然数的平方．

【解答】解： ，…，其因此第8个式子是 ，第n个式子是 ．

故答案为 ， ．

【点评】本题考查了单项式，解题的关键是根据分子和分母分别寻找规律：分子的底数都是x，而指数是从1开始的奇数；分母是底数从1开始的自然数的平方．

 

二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

13．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a²+a³=a⁵ B．

C．（a²）³=a⁵ D．（a³）²=a⁶

【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；6A：分式的乘除法．

【分析】结合选项分别进行合并同类项、幂的乘方和积的乘方等运算，然后选择正确选项．

【解答】解：A、不符合同底数幂乘法公式，故本选项错误；

B、 ，故本选项错误；

C、（a²）³=a^2×3=a⁶，故本选项错误；

D、（a³）²=a^3×2=a⁶，故本选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂乘法，解题的关键是掌握各知识点的运算法则．

14．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（　　）

A．15° B．60° C．45° D．75°

【考点】R2：旋转的性质．

【分析】根据∠AOD=∠DOB﹣∠AOB求解．

【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，

∴∠BOD=60°，

∵∠AOB=15°，

∴∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=60°﹣15°=45°．

故选：C．

【点评】本题考查了图形的旋转的性质，解题的关键是一个旋转图形的对应点的连线所夹的角相等，都等于旋转角．

15．（3分）如图，点P₁、P₂、P₃分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，垂足分别是A₁、A₁、A₃，得到的三个三角形△P₁A₁O、△P₂A₂O、△P₃A₃O．设它们的面积分别为S₁、S₂、S₃，则它们的大小关系是（　　）

A．S₁＞S₂＞S₃ B．S₃＞S₂＞S₁ C．S₁=S₂=S₃ D．S₂＞S₃＞S₁

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．

【专题】11：计算题．

【分析】直接根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．

【解答】解：∵点P₁在双曲线上，

∴P₁A₁•OA₁=|k|，

∴S₁= P₁A₁•OA₁= |k|，

同理S₂= |k|、S₃= |k|，

∴S₁=S₂=S₃，

故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

16．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；

B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．

17．（3分）如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（　　）

A．120° B．130° C．145° D．150°

【考点】JB：平行线的判定与性质．

【专题】11：计算题．

【分析】由∠1=∠2，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同位角相等得到∠3=∠5，求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．

【解答】解：∵∠1=∠2，

∴a∥b，

∴∠5=∠3=30°，

∴∠4=180°﹣∠5，=150°，

故选：D．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

18．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（　　）

A．12π B．15π C．24π D．30π

【考点】MP：圆锥的计算；U3：由三视图判断几何体．

【分析】由三视图可知，该几何体是一个圆锥，根据圆锥的侧面积公式求解．

【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，且底面圆的半径是6，母线长是5，

∴底面的周长是2π•3=6π，

∴侧面积为： =15π，

故选：B．

【点评】本题考查了三视图和几何体侧面积的计算等知识点，解题的关键是根据三视图想象出该几何体的形状．

19．（3分）某商场四月份的利润是28万元，预计六月份的利润将达到40万元．设利润每月平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是（　　）

A．28（1+x）²=40 B．28（1+x）²=40﹣28

C．28（1+2x）=40 D．28（1+x²）=40

【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】123：增长率问题．

【分析】根据“下一个月份的利润等于前一个月份的利润×（1+x）”列方程即可．

【解答】解：五月份的利润为28（1+x），

六月份的利润为28（1+x）（1+x）=28（1+x）²，

故选：A．

【点评】本题考查了列出解决问题的方程，解题的关键是正确理解“利润每月平均增长率为x”的含义以及找到题目中的等量关系．

20．（3分）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象（　　）

A． B．

C． D．

【考点】F3：一次函数的图象．

【分析】先根据程序框图列出正确的函数关系式，然后再根据函数关系式来判断其图象是哪一个．

【解答】解：根据程序框图可得y=（﹣x）×3+2=﹣3x+2，化简，得y=﹣3x+2，

y=﹣3x+2的图象与y轴的交点为（0，2），与x轴的交点为（ ，0）．

故选：C．

【点评】本题考查了一次函数图象，利用程序框图列出函数关系式、以及函数的图象等知识点，解题的关键是首先根据框图写出正确的解析式．

 

三、解答题

21．（6分）计算： +（π﹣3.14）⁰﹣tan60°+|1﹣ |．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【解答】解：原式= +1﹣ + ﹣1= ．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．（6分）先化简，再求值： ，其中x=2+ ，y=2﹣ ．

【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】根据分式的运算法则先化简原式，然后将x和y的值代入化简后的式子求值即可．

【解答】解：

=

=

= ，

当x=2+ ，y=2﹣ 时，

原式= =﹣1．

【点评】此题考查分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．

23．（8分）如图，▱ABCD中，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE=BF．求证：∠ADE=∠BCF．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．

【专题】14：证明题．

【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC且AD∥BC，推出∠DAE=∠CBF，根据全等三角形的判定推出△ADE≌△BCF即可．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC且AD∥BC，

∴∠DAE=∠CBF，

在△ADE和△BCF中

∴△ADE≌△BCF（SAS）

∴∠ADE=∠BCF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质的应用，解题的关键是能将求证角相等的问题转化为寻找其所在的三角形全等，注意：平行四边形的对边互相平行且相等．

 

四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题9分，第26题8分，共26分）

24．（9分）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．

（1）求证：AP是⊙O的切线．

（2）若⊙O的半径是4，AP=4 ，求图中阴影部分的面积．

【考点】MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．

【专题】11：计算题．

【分析】（1）连接OP，如图，利用等腰三角形的性质由OD=OP得到∠OPD=∠ODP，而∠APC=∠AOD，则∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD，由于∠ODP+∠AOD=90°，易得∠APO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AP是⊙O的切线；

（2）在Rt△APO中，利用勾股定理计算出，AO=8，即PO= ，则∠A=30°，可计算出∠POA=60°，∠OPC=30°，再利用垂径定理PC=CD，且∠POD=120°，OC= PO=2，接着在Rt△OPC中计算出PC=2 ，得到PD=2PC= ，然后根据扇形面积公式和S_阴影=S_扇形OPBD﹣S_△OPD进行计算即可．

【解答】（1）证明：连接OP，如图，

∵OD=OP，

∴∠OPD=∠ODP，

∵∠APC=∠AOD，

∴∠OPD+∠APC=∠ODP+∠AOD，

又∵PD⊥BE，

∴∠ODP+∠AOD=90°，

∴∠OPD+∠APC=90°，

即∠APO=90°，

∴OP⊥AP，

∴AP是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△APO中，

∵AP= ，PO=4，

∴AO= ，即PO= ，

∴∠A=30°，

∴∠POA=60°，

∴∠OPC=30°

又∵PD⊥BE，

∴PC=CD，

∴∠POD=120°，OC= PO=2，

在Rt△OPC中，∵OC=2，OP=4，

∴PC= =2 ，

∴PD=2PC= ，

∴S_阴影=S_扇形OPBD﹣S_△OPD

=

= ．

【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了垂径定理和扇形的面积公式．

25．（9分）阅读对一个人的成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．某中学为了解学生阅读课外书籍的情况．决定围绕“在艺术类、科技类、动漫类、小说类、其它类课外书籍中，你最喜欢的课外书籍是哪一类？（只写一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查问卷适当整理后绘制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图．

（1）请你将条形统计图和扇形统计图补充完整；

（2）若该校共有1600名学生，请你估计这1600人中喜欢动漫类书籍的约有多少人？

（3）小东从图书馆借回2本动漫书和3本科技书放进一个空书包里准备回家阅读，那么他从书包里任取2本，恰好都是科技类图书的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）

【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．

【分析】（1）由条形统计图可知选择艺术类的有两人，而由扇形统计图可知选择艺术类的占总人数的4%，因此用（2÷4%）可求得抽样的人数，从而根据扇形统计图中百分比可求得科技类和小说类的人数，根据扇形统计图又可求得动漫和其他类的百分比．

（2）用总人数乘喜欢动漫类书籍的百分比求解即可，

（3）利用树状图得出所有的情况，再求出P（两本书都是科技类书）即可．

【解答】解：（1）∵抽样人数为2÷4%=50，

∴科技类的人数为50×10%=5，小说类的人数为50×40%=20，动漫的百分比为12÷50=24%，其他类的百分比为8÷50=16%

所以图形如下：

（2）喜欢动漫类书籍的人数约为1600×24%=384人．

（3）树状图为：

∴P（两本书都是科技类书）= ．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用频率进行估算、概率的计算，解题的关键是能看懂条形统计图和扇形统计图的关系．

26．（8分）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．

（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？

（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？

【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用．

【分析】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米，列方程组求解；

（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别求出甲乙所用的时间，然后求出比原来少用的天数．

【解答】解：（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，

由题意得 ，

解得

答：甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；

（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则

a=（1957﹣57）÷（5+4.5）=200（天），

b=（1957﹣57）÷（5+4.5+0.2+0.3）=190（天），

则a﹣b=10（天）．

答：能比原来少用10天．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找到题目当中的等量关系，列方程求解．

 

五、解答题（共2小题，满分20分）

27．（10分）请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．

（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求证：EF=EG．

（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF　=　EG（用“=”或“≠”填空）

（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A重合），其余条件不变，若AB=4，BC=3，求 的值．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）证明△EAG≌△ECF即可得出结论；

（2）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（1）同理证出△EMG≌△ENF得出结论；

（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（2）得出经验，证得结论则需要通过由平行线得出比例式和两三角形相似得出比例式来解决．

【解答】解：（1）证明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，

∴∠AEG=∠CEF，

又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，

∴△EAG≌△ECF（ASA）

∴EG=EF

（2）EF=EG；

过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图2所示，

则∠MEN=90°，EM=EN，

∴∠GEM=∠FEN，

又因为∠EMG=∠ENF=90°，

∴△EMG≌△ENF

∴EF=EG．

故答案为：=．

（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图3所示：

则∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，

∴ ，

∴ ，

又∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，

∴∠FEN=∠GEM，

∴Rt△GME∽Rt△FNE，

∴

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和应用，相似三角形的判定和应用，解题的关键是能从第（1）问的解答中获得解决后两问的经验．

28．（10分）如图所示，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；

（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题；

（3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．

【解答】解：（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）²+k，

∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），

∴y=a（x+2）²﹣4，

又∵函数图象经过点A（﹣6，0），

∴0=a（﹣6+2）²﹣4

解得a= ，

∴此函数的解析式为y= （x+2）²﹣4，即y= x²+x﹣3；

（2）∵点C是函数y= x²+x﹣3的图象与y轴的交点，

∴点C的坐标是（0，﹣3），

又当y=0时，有y= x²+x﹣3=0，

解得x₁=﹣6，x₂=2，

∴点B的坐标是（2，0），

则S_△ABC= |AB|•|OC|= ×8×3=12；

（3）假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．

设E（x，0），则P（x， x²+x﹣3），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），

∴ ，解得 ，

∴直线AC的解析式为y=﹣ x﹣3，

∴点F的坐标为F（x，﹣ x﹣3），

则|PF|=﹣ x﹣3﹣（ x²+x﹣3）=﹣ x²﹣ x，

∴S_△APC=S_△APF+S_△CPF

= |PF|•|AE|+ |PF|•|OE|

= |PF|•|OA|= （﹣ x²﹣ x）×6=﹣ x²﹣ x=﹣ （x+3）²+ ，

∴当x=﹣3时，S_△APC有最大值 ，

此时点P的坐标是P（﹣3，﹣ ）．

【点评】本题考查了抛物线解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，考查了二次函数最值的求解，考查了二次函数的应用，本题中正确求得抛物线解析式是解题的关键．

 

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