湖南省湘潭市2020年中考数学试卷
一、选择题
1.－6的绝对值是( )
A. -6 B. 6 C. – D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6
故选B
【点睛】考点：绝对值.
2.地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.已知与是同类项，则的值是( )
A 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值.
【详解】解：∵与是同类项，
∴n+1=4，
解得，n=3，
故选：B.
【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
4.下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称与轴对称的定义逐项判断即可．
【详解】A是圆和矩形的结合，属于中心对称图形；
B是中心对称图形；
C属于中心对称图形；
D是轴对称图形，不属于中心对称图形；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称的判断，准确理解定义进行判断是解题的关键．
5.下列运算中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法法则即可逐一判断．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，正确；
D、，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法，解题的关键是掌握基本的运算法则及公式．
6.如图，是的外角，若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的外角的性质进行计算即可．
【详解】解：∵是的外角，
∴=∠B+∠A
∴∠A=-∠B，
∴∠A=60°
故选：D
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
7.为庆祝建党99周年，某校八年级(3)班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：、“北斗卫星”：、“时代”；、“智轨快运系统”；、“东风快递”；、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“时代”的频率是( )
A. 0.25 B. 0.3 C. 25 D. 30
【答案】B
【解析】
分析】
先计算出八年级(3)班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级(3)班的全体人数即可．
【详解】由图知，八年级(3)班的全体人数为：(人)
选择“5G时代”的人数为：30人
∴选择“时代”的频率是：
故选：B．
【点睛】本题考查了频数分布直方图的读取，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键．
8.如图，直线经过点，当时，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将代入，可得,再将变形整理，得，求解即可．
【详解】解：由题意将代入，可得，即，
整理得，，
∴，
由图像可知，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
二、填空题
9.计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
10.在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为________．(任意写出一个即可)
【答案】3(答案不唯一，3，2，1，0，-1，-2，-3任意一个均可)
【解析】
【分析】
根据数轴特点，判定出答案为：±3，±2，±1，0中任意写出一个即可．
【详解】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：-3，3，,-2，2，-1，1，0从中任选一个即可
故答案为：3(答案不唯一，3，2，1，0，-1，-2，-3任意一个均可)
【点睛】本题考查了数轴、数轴特点、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
11.计算：_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.
【详解】2-=.
故答案为.
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
12.走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是________步．
【答案】6400
【解析】
【分析】
根据算术平均数的计算公式即可解答．
【详解】解：这3天步数的平均数是(步)，
故答案为：6400．
【点睛】本题考查了平均数的计算，解题的关键是掌握平均数的计算公式．
13.若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
【详解】由可设，，k是非零整数，
则．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
14.如图，在半径为6的中，圆心角，则阴影部分面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据扇形的面积计算公式计算即可．
【详解】解：阴影部分面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．
15.如图，点是角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【详解】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，，，
∴PM=PD=3
故答案为：3
【点睛】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
16.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
| 数字
形式 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 纵式 | | | || | ||| | |||| | ||||| |  |
 |
 |
 |
| 横式 |  |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下： 
，则 
表示的数是________．
【答案】8167
【解析】
【分析】
根据算筹计数法来计数即可．
【详解】解：根据算筹计数法， 
表示的数是：8167
故答案为：8167
【点睛】本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．
三、解答题
17.解分式方程：．
【答案】x=-1
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得，3+2(x-1)=x，
解得，x=-1，
经检验，x=-1是原方程的解．
所以，原方程的解为：x=-1．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.化简求值：，其中．
【答案】，-3
【解析】
【分析】
根据分式的混合运算法则，先化简，再将a=-2代入计算即可．
【详解】解：
=
=
将代入得：原式=-2-1=-3．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟记分式的运算法则．
19.生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．(温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生)
(1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果；
(2)若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【答案】(1)男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2；(2)．
【解析】
【分析】
(1)直接列举出所有可能出现的结果即可；
(2)画出树状图，找出符合题意的可能结果，再利用概率公式求出概率即可．
【详解】解：(1)可能出现的结果有：男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2；
(2)树状图如下：
共有4种情况，其中恰好选中一男一女有两种情况，
所以恰好选中一男一女的概率为．
【点睛】本题考查列举法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
20.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．(结果精确到，参考数据：，)
【答案】斜坡AF的长度为20.61米．
【解析】
【分析】
先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．
【详解】∵，其坡度为，
∴在中，
∴解得
∵四边形ABCD为矩形
∴
∵斜坡的坡度为
∴
∴
在中，(m)
∴斜坡的长度为20.61米．
【点睛】本题考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．
21.“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长(单位：小时)进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：
收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5
整理数据：
| 时长(小时) | ||||
| 人数 | 2 | 8 | 4 |
分析数据：
| 项目 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| 数据 | 6.4 | 6.5 |
应用数据：
(1)填空：________，________；
(2)补全频数直方图；
(3)若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在小时的人数．
【答案】(1)，；(2)见解析；(3)700人
【解析】
【分析】
(1)根据所给数据找出范围内的数据即可；找出数据中次数最多的数据即为所求；
(2)根据(1)中的数据画图即可；
(3)先算出在的概率，用总数乘以概率即可；
【详解】(1)由总人数是20人可得在的人数是(人)，所以a=6，根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以数据中心的众数是6.5；
故，．
(2)由(1)得可作图：
(3)由图可知，学习时长在小时的人数的概率=，
∴(人)．
∴学习时长在小时的人数是700人．
【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用，准确计算中位数、众数和概率是解题的关键．
22.如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点．
(1)求证：；
(2)判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)直线与相切，理由见解析．
【解析】
【分析】
(1)AB为的直径得，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；
(2)由得BD=BC，结合AO=BO得OD为的中位线，由得，可得直线DE为切线．
【详解】(1)∵AB为的直径
∴
在和中
∴(HL)
(2)直线与相切，理由如下：
连接OD，如图所示：
由知：，
又∵OA=OB
∴OD为的中位线
∴
∵
∴
∵OD为的半径
∴DE与相切．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，切线的判定，熟知以上知识的应用是解题的关键．
23.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．
(1)求过点的反比例函数的解析式；
(2)连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．
【答案】(1)反比例函数解析式为；(2)直线的解析式为．
【解析】
【分析】
(1)由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
(2)利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可．
【详解】过点A作轴，过B作轴，垂足分别为E，F，如图，
，，
∵四边形OABC是菱形，
，轴，
，
，
，
设过B点反比例函数解析式为
把B点坐标代入得，k=32,
所以，反比例函数解析式为；
(2)，
，
，
，
，
又，
，
，
，
解得，，
设BD所在直线解析式为，
把，分别代入，得：
解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届矛盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【答案】(1)两种书的单价分别为35元和30元；(2)共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
【解析】
【分析】
(1)设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“ 购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”建立方程组求解即可；
(2)设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为50-n，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
【详解】解：(1)设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y
由题意得： 解得
答：两种书的单价分别为35元和30元；
(2)设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为50-n
根据题意得解得：
则n可以取17、18、19、20，
当n=17时，50-n=33，共花费17×35+33×30=1585元；
当n=18时，50-n=32，共花费17×35+33×30=1590元；
当n=19时，50-n=31，共花费17×35+33×30=1595元；
当n=20时，50-n=30，共花费17×35+33×30=1600元；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
25.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
(1)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．
(2)性质探究：如图(二)，已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
(3)性质应用：如图(三)，在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
【答案】(1)，；(2)都是定值，，；(3)①；②12．
【解析】
【分析】
(1)连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；
(2)根据(1)的证明可求解；
(3)①证明△CME∽△ABM得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；
②分别求出S△BMC和S△ABM 即可.
【详解】(1)连接DE，如图，
∵点O是的重心，
，是，C边上的中线，
为，边上的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
，，
；
(2)由(1)可知，是定值；
是定值；
(3)①∵四边形ABCD是正方形，
，，
为CD的中点，
，即；
②，且
∴，
，
，
，
，
又
∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．
【点睛】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质．
26.如图，抛物线与轴交于，两点．
(1)若过点的直线是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点，使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围．
【答案】(1)①；②存在，或；(2)．
【解析】
【分析】
(1)①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；
②如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点在对称轴上，连接、PB，根据轴对称得到，，求出点B的坐标，勾股定理得到，再根据，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；
(2)当时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当时，函数的增减性，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．
【详解】解：(1)①抛物线的对称轴为直线，
∴若过点的直线是抛物线的对称轴，
则，解得：b=4，
∴；
②存在，
如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点在对称轴上，连接、PB，
则，，
对于，令y=0，则，
解得：，
∴A(-1,0)，B(5,0)，
∴，
∴，
∴，
设点P(2，m)，
由可得：，解得：，
∴，
同理，当点P在x轴下方时，，
综上所述，点或
(2)∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当时，取x=2，y有最大值，
即，
∴，解得：，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第(1)②问要先画出图形再理解，第(2)问运用到了二次函数的增减性，难度不大，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．
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