参考答案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．
1．2的倒数是( )
A． 
B．﹣ 
C．2 D．﹣2
【分析】根据倒数的概念求解．
解：2的倒数是 
．
故选：A．
2．将867000用科学记数法表示为( )
A．867×103 B．8.67×104 C．8.67×105 D．8.67×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：867000＝8.67×105，
故选：C．
3．如图所示的几何体的主视图是( )
A． 
B． 
C． 
D． 
【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：B．
4．在平面直角坐标系中，将点A(﹣2，3)向右平移4个单位长度，得到的对应点A‘的坐标为( )
A．(2，7) B．(﹣6，3) C．(2，3) D．(﹣2，﹣1)
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
解：∵将点A(﹣2，3)先向右平移4个单位，
∴点A的对应点A′的坐标是(﹣2+4，3)，即(2，3)．
故选：C．
5．下列正多边形中，不是中心对称图形的是( )
A． 
B． 
C． 
D． 
【分析】根据中心对称图形的概念结合选项的图形进行判断即可．
解：A．正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
6．下列各式运算正确的是( )
A．x2+x3＝x5 B．x3﹣x2＝x C．x2•x3＝x6 D．(x3)2＝x6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
解：A．x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．x3与﹣x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；
D．(x3)2＝x6，故本选项符合题意．
故选：D．
7．如图，⊙O中， 
＝ 
，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为( )
A．100° B．90° C．80° D．70°
【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，再利用三角形内角和计算出∠A＝40°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
解：∵ 
＝ 
，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：C．
8．某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
| 课外阅读时间(小时) | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
| 人数 | 2 | 3 | 4 | 1 |
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是( )
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4
【分析】根据中位数、众数的计算方法求出结果即可．
解：10名学生的每天阅读时间的平均数为 
＝1.2；
学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5；
故选：A．
9．下列命题是假命题的是( )
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可．
解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；
B、矩形的对角线互相相等，不是垂直，原命题是假命题；
C、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；
故选：B．
10．已知关于x的分式方程 
+2＝﹣ 
的解为非负数，则正整数m的所有个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．
解：去分母，得：m+2(x﹣1)＝3，
移项、合并，得：x＝ 
，
∵分式方程的解为非负数，
∴5﹣m≥0且 
≠1，
解得：m≤5且m≠3，
∴整数解有0，1，2，4，5共5个，
故选：C．
11．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足 
＝ 
＝ 
，后人把 
这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为( )
A．10﹣4 
B．3 
﹣5 C． 
D．20﹣8 
【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH＝ 
BC＝2，则根据勾股定理可计算出AH＝ 
，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE＝ 
BC＝2 
﹣2，则计算出HE＝2 
﹣4，然后根据三角形面积公式计算．
解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝ 
BC＝2，
在Rt△ABH中，AH＝ 
＝ 
，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝ 
BC＝2( 
﹣1)＝2 
﹣2，
∴HE＝BE﹣BH＝2 
﹣2﹣2＝2 
﹣4，
∴DE＝2HE＝4 
﹣8
∴S△ADE＝ 
×(4 
﹣8)× 
＝10﹣4 
．
故选：A．
12．已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1﹣b，m)，B(2b+c，m)，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为( )
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出抛物线的对称轴x＝b，再由抛物线的图象经过不同两点A(1﹣b，m)，B(2b+c，m)，也可以得到对称轴为，可得b＝c+1，再根据二次函数的图象与x轴有公共点，得到b2﹣4c≤0，进而求出b、c的值．
解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，
∴(﹣2b)2﹣4×1×(2b2﹣4c)≥0，即b2﹣4c≤0 ①，
由抛物线的对称轴x＝﹣ 
＝b，抛物线经过不同两点A(1﹣b，m)，B(2b+c，m)，
b＝ 
，即，c＝b﹣1 ②，
②代入①得，b2﹣4(b﹣1)≤0，即(b﹣2)2≤0，因此b＝2，
c＝b﹣1＝2﹣1＝1，
∴b+c＝2+1＝3，
故选：C．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分)．
13．函数y＝ 
的自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
14．若xa+1y3与 
x4y3是同类项，则a的值是 3 ．
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此可得a的值．
解：∵xa+1y3与 
x4y3是同类项，
∴a+1＝4，
解得a＝3，
故答案为：3．
15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是 2 ．
【分析】根据根与系数的关系求解．
解：根据题意得则x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝(x1+x2)2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 
．
【分析】延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的性质求出AD，根据全等三角形的性质得出AQ＝BC，AB＝CW，根据相似三角形的判定得出△QMF∽△CMB，△BNE∽△WND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和BM的长，即可得出答案．
解：延长CE、DA交于Q，如图1， 
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝ 
＝ 
＝5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中
∴△QAE≌△CBE(AAS)，
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴ 
＝ 
＝ 
，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延长BF和CD，交于W，如图2， 
同理AB＝DM＝4，CW＝8，BF＝FM＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴ 
＝ 
，
∴ 
＝ 
，
解得：BN＝ 
，
∴MN＝BN﹣BM＝ 
﹣2＝ 
，
故答案为： 
．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．计算：|﹣5|﹣(π﹣2020)0+2cos60°+( 
)﹣1．
【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
解：原式＝5﹣1+2× 
+3
＝5﹣1+1+3
＝8．
18．如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADC，可得BC＝DC．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴BC＝CD．
19．化简：( 
+1)÷ 
．
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则进行计算．
解：原式＝ 
．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
(1)求n的值，并补全频数分布直方图；
(2)若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
(3)从被抽取的耗油1L所行使路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
【分析】(1)由D组的车辆数及其所占百分比求得n的值；求出B组的车辆数，补全频数分布直方图即可；
(2)由总车辆数乘以360°乘以耗油1L所行使的路程低于13km的汽车的辆数所占的比例即可；
(3)画出树状图，由概率公式求解即可．
解：(1)12÷30%＝40，即n＝40，
B组的车辆为：40﹣2﹣16﹣12﹣2＝8(辆)，
补全频数分布直方图如图：
(2)600× 
＝150(辆)，
即估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数为150辆；
(3)设行使路程在12≤x＜12.5范围内的2辆车记为为A、B，行使路程在14≤x＜14.5范围内的2辆车记为C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，
∴抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为 
＝ 
．
21．某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
(2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
【分析】(1)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程30x+20(30﹣x)＝800，然后解方程求出x，再计算30﹣x即可；
(2)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
解：(1)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，
根据题意得30x+20(30﹣x)＝800，
解得x＝20，
则30﹣x＝10，
答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；
(2)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，设购买两种奖品的总费用为w元，
根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，
w＝30x+20(30﹣x)＝10x+600，
∵10＞0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．
答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝ 
x+b的图象与反比例函数y＝ 
的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为(a，6)．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
【分析】(1)根据反比例函数y＝ 
可得点A的坐标，把A(2，6)代入一次函数y＝ 
x+b中可得b的值，从而得一次函数的解析式；
(2)利用面积和可得△AOB的面积．
解：(1)如图，
∵点A(a，6)在反比例函数y＝ 
的图象上，
∴6a＝12，
∴a＝2，
∴A(2，6)，
把A(2，6)代入一次函数y＝ 
x+b中得： 
＝6，
∴b＝3，
∴该一次函数的解析式为：y＝ 
x+3；
(2)由 
得： 
， 
，
∴B(﹣4，﹣3)，
当x＝0时，y＝3，即OC＝3，
∴△AOB的面积＝S△ACO+S△BCO＝ 
＝9．
23．如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离(参考数据：sin37°≈ 
，cos37°≈ 
，tan37°≈ 
)．
【分析】通过作辅助线，在三个直角三角形中，根据边角关系，分别求出CM、BM、DN、BN，进而求出答案．
解：过点C、D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M、N，
在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，
∴AM＝MC，
在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°，tan∠ABC＝ 
，
∴BM＝ 
＝ 
CM，
∵AB＝70＝AM+BM＝CM+ 
CM，
∴CM＝30＝DN，
在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°，
∴BN＝ 
＝ 
＝10 
，
∴CD＝MN＝MB+BN＝ 
×30+10 
＝40+10 
，
答：C，D两点间的距离为(40+10 
)米，
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
(1)求证：∠C＝∠AGD；
(2)已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．
【分析】(1)连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，得到∠C＝∠ABD，根据圆周角定理即可得到结论；
(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【解答】(1)证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠AGD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠C；
(2)解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴ 
，
∴ 
＝ 
，
∴AC＝9，
∴AB＝ 
＝3 
，
∵CE＝2AE，
∴AE＝3，CE＝6，
∵FH⊥AB，
∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC，
∴ 
，
∴ 
＝ 
＝ 
，
∴AH＝ 
，EH＝2，
连接AF，BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠FAH＝∠BFH，
∴△AFH∽△FBH，
∴ 
＝ 
，
∴ 
＝ 
，
∴FH＝ 
，
∴EF＝ 
﹣2．
25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A(﹣2，0)，B(4，0)，C(0，4)三点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．
【分析】(1)根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；
(2)①先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
②先确定出点Q的坐标，设点P(x，﹣ 
x2+x+4)(1＜x＜4)，得出PG＝x﹣1，GQ＝﹣ 
x2+x+3，再利用三垂线构造出△PQG≌△QRH(AAS)，得出RH＝GQ＝﹣ 
x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，进而得出R(﹣ 
x2+x+4，2﹣x)，最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论．
解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A(﹣2，0)，B(4，0)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x+2)(x﹣4)，
将点C坐标(0，4)代入抛物线的解析式为y＝a(x+2)(x﹣4)中，得﹣8a＝4，
∴a＝﹣ 
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ 
(x+2)(x﹣4)＝﹣ 
x2+x+4；
(2)①如图1，
设直线AC的解析式为y＝kx+b‘，
将点A(﹣2，0)，C(0，4)，代入y＝kx+b‘中，得 
，
∴ 
，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
过点E作EF⊥x轴于F，
∴OD∥EF，
∴△BOD∽△BFE，
∴ 
，
∵B(4，0)，
∴OB＝4，
∵BD＝5DE，
∴ 
＝ 
＝ 
，
∴BF＝ 
×OB＝ 
×4＝ 
，
∴OF＝BF﹣OB＝ 
﹣4＝ 
，
将x＝﹣ 
代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×(﹣ 
)+4＝ 
，
∴E(﹣ 
， 
)，
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴ 
，
∴ 
，
∴直线BD的解析式为y＝﹣ 
x+2；
②∵抛物线与x轴的交点坐标为A(﹣2，0)和B(4，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点Q(1，1)，如图2，
设点P(x，﹣ 
x2+x+4)(1＜x＜4)，
过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，
∴PG＝x﹣1，GQ＝﹣ 
x2+x+4﹣1＝﹣ 
x2+x+3，
∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°，
∴∠GPQ+∠PQG＝90°，
∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，
∴∠PQG+∠RQH＝90°，
∴∠GPQ＝∠HQR，
∴△PQG≌△QRH(AAS)，
∴RH＝GQ＝﹣ 
x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，
∴R(﹣ 
x2+x+4，2﹣x)，
由①知，直线BD的解析式为y＝﹣ 
x+2，
∴x＝2或x＝4(舍)，
当x＝2时，y＝﹣ 
x2+x+4＝﹣ 
×4+2+4＝4，
∴P(2，4)．
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