2020年中考各科考点一遍过讲义01–备战2020年中考数学考点24 解直角三角形-备战2020年中考数学考点一遍过

考点24 解直角三角形

一、锐角三角函数的定义

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．

根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.

二、特殊角的三角函数值

α	sinα	cosα	tanα
30°
45°			1
60°

三、解直角三角形

1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．

2．解直角三角形的常用关系：

在Rt△ABC中，∠C=90°，则：

（1）三边关系：a²+b²=c²；

（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；

（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；

（4）sin²A+cos²A=1．

3．科学选择解直角三角形的方法口诀：

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；

已知直边求直边，理所当然用正切；

已知两边求一边，勾股定理最方便；

已知两边求一角，函数关系要记牢；

已知锐角求锐角，互余关系不能少；

已知直边求斜边，用除还需正余弦.

四、解直角三角形的应用

1．仰角和俯角

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．

2．坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．

坡度越大，α角越大，坡面越陡．

3．方向角（或方位角）

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.

5．解直角三角形实际应用的一般步骤

（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；

（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

考向一 求三角函数的值

（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.

（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．

（3）正确应用勾股定理求第三边长．

（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．

典例1 的值为

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】把sin45°=代入原式得：原式=2×=．故选C．

1．如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sinA的值为

A． B． C． D．

考向二 利用特殊角的三角函数值求值

锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.

典例2 已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A等于

A．15° B．30°

C．45° D．60°

【答案】D

【解析】∵sinA=，∴∠A=60°．故选D．

2．已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于

A．30° B．45°

C．60° D．不能确定

考向三 解直角三角形的应用

解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.

典例3 某山的山顶B处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC为30°，山高BC为100米，点E距山脚D处150米，在点E处测得观光塔顶端A的仰角为60°，则观光塔AB的高度是

A．50米 B．100米

C．125米 D．150米

【答案】A

【解析】如图，作EF⊥AC于F，EG⊥DC于G，在Rt△DEG中，EG=DE=75，

∴BF=BC–CF=BC–CE=100-75=25，EF==25，

∵∠AEF=60°，

∴∠A=30°，

∴AF==75，

∴AB=AF–BF=50（米），故观光塔AB的高度为50米，

故选A．

3．如图，某湖心岛上有一亭子，在亭子的正东方向上的湖边有一棵树，在这个湖心岛的湖边处测得亭子在北偏西方向上，测得树在北偏东方向上，又测得、之间的距离等于米，求、之间的距离（结果精确到米）．

（参考数据：，，，，）

1．如图，在△ABC中，若∠C=90°，则

A．sinA= B．sinA=

C．cosA= D．cosA=

2．计算的值为

A． B． C． D．

3．在中，，，若，则的长为

A． B． C． D．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，，则cosA等于

A． B． C． D．

5．菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为

A． B． C． D．

6．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为

A． B． C． D．

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=10，sinA=，则斜边上的高等于

A．5 B．4.8 C．4.6 D．4

8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为

A． B． C． D．1

9．如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是，堤坝高为，则迎水坡面的是

A．

10．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是

A．2海里 B．海里

C．海里 D．海里

11．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1∶2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（参考数据：≈1.732）

A．1.732米 B．1.754米 C．1.766米 D．1.823米

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=___________．

13．在△ABC中，AB=2，AC=，tan∠B=，则BC的长度为__________．

14．已知相邻的两根电线杆与高度相同，且相距．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为、，已知测角仪高，则电线杆的高度约为________．（精确到，参考数据：，，）

15．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=．

（1）求边AB的长；

（2）求cos∠BAE的值．

16．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强的身高为166cm，其中下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK=80°)，身体前倾成125°角(∠EFG=125°)，脚与洗漱台的距离GC=15cm(点D，C，G，K在同一直线上)．

（1）此时小强的头部点E与地面DK的距离是多少？

（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？

(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1cm)

1．（2019•天津）的值等于

A．1 B．

C． D．2

2．（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα=，则∠α=

A．30° B．45°

C．60° D．90°

3．（2019·宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为

A． B．

C． D．

4．（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若

tan∠BAC=，则此斜坡的水平距离AC为

A．75 m B．50 m

C．30 m D．12 m

5．（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是

A． B． C． D．

6．（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）

A．3.2米 B．3.9米

C．4.7米 D．5.4米

7．（2019·杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于

A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx

C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx

8．（2019•甘肃）在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosB=__________．

9．（2019•杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=__________．

10．（2019•天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．

11．（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．

12．（2019•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．

（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）

13．（2019•甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）

14．（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．

（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．

①填空：∠BAO=__________．

②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．

（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．

（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）

15．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．

（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）

16．（2019•贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB=OP=100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA=OB．

（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；

（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB=67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）

（=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）

变式拓展

1．【答案】A

【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=3，BC=2，∴sinA==，故选A．

2．【答案】A

【解析】∵sinα=cos60°=，∴α=30°．故选A．

3．【解析】如图，过点作，垂足为点，

由题意，得，，，

在Rt△中，，∴，

∵，∴，

又，∴

∵，∴，

在Rt△中，，

∵，∴，∴，

又，∴，∴（米）．

答：、之间的距离为米．

考点冲关

1．【答案】A

【解析】A、sinA=，此选项正确；

B、sinA=，此选项错误；

C、cosA=，此选项错误；

D、cosA=，此选项错误；

故选A．

2．【答案】D

【解析】原式==1–=，故选D．

3．【答案】A

【解析】如图，

∵cos53°=，

∴AB=，

故选A．

4．【答案】B

【解析】如图所示：

∵，∴cosA=．故选B．

5．【答案】A

【解析】如图，由题意得，AO⊥BO，AO=AC=5cm，BO=BD=3cm，

则tan=tan∠OBA.故选A.

6．【答案】D

【解析】如图所示：连接BD，交AC于点E，

由正方形的性质可得：BD⊥AC，故BD=，AB=，

则sin∠BAC=．故选D．

7．【答案】B

【解析】如图所示，CD⊥AB，CD即为斜边上的高，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=，

∴sinA==，即BC=6，

根据勾股定理得：AC==8，

∵S_△ABC=AC•BC=CD•AB，

∴CD==4．8，

故选B．

8．【答案】B

【解析】∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，

所以，tan∠ABC=．

故选B．

9．【答案】A

【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴，

∵BC=40m，∴AC=40m，∴AB==80m，故选A．

10．【答案】C

【解析】记灯塔P的正北方向为射线PC的方向.

根据题意可知∠APC=55°，PC∥AB，AP=2海里.

∵PC∥AB，∠APC=55°，∴∠PAB=55°.

∵在Rt△ABP中，AP=2海里，∠PAB=55°，

∴AB=AP·cos∠PAB=2cos55°（海里）.

故选C.

11．【答案】C

【解析】如图，延长CA交DB延长线与点E，过点A作AF⊥BE于点F，

则∠CED=60°，

∵AB的坡比为1∶2.4，

∴，则设AF=5x，BF=12x，

∵AB=3.9米，

∴在直角△ABF中，由勾股定理知，3.9²=25x²+144x²．

解得x=．

∴AF=5x=，BF=12x=，

∴EF=，

∵∠C=∠CED=60°，

∴△CDE是等边三角形，

∵AC=4.5米，

∴DE=CE=AC+AE=4.5+（米），

则BD=DE﹣EF﹣BF=4.5+﹣≈1.766（米），

答：浮漂D与河堤下端B之间的距离为1.766米．

故选C．

12．【答案】

【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，得，即，

∴AC=5．由勾股定理，得AB=．所以sinB=，故答案为：．

13．【答案】5

【解析】如图，过点A作AD⊥BC交于D．

∵，

设AD=x，则BD=2x，

∵AB=2，

∴在△ABD中，由勾股定理得（2）²=x²+（2x）²，

解得，x₁=2，x₂=﹣2（不符合，舍去），

∴BD=4，

同理，在△ACD中，由勾股定理得，，

∴BC=DC+BD=4+1=5，

故答案为：5．

14．【答案】

【解析】过点F作AB、CD的垂线，垂足为点G、H，如图所示：

设AG=x m，则有DH=x m，

∵，∴tan23°=，解得x≈15.0，

∴AB=x+1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5 m．故答案是：16.5．

15．【解析】（1）连接AC，AC与BD相交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=BD=4，

∵Rt△BOC中，tan∠CBD==，∴OC=2，

∴AB=BC===2；

（2）∵AE⊥BC，∴S_菱形ABCD=BC·AE=BD·AC，

∵AC=2OC=4，∴2AE=×8×4，∴AE=，

∴BE===，

∴cos∠ABE===．

16．【解析】（1）如图，过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．

∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，

∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98，

∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°–125°–10°=45°，

∴FM=66cos45°=≈46.53，∴MN=FN+FM≈144.5，

∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5 cm．

（2）如图，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．

∵AB=48，O为AB中点，

∴AO=BO=24，∵EM=66sin45°≈46.53，

∴PH≈46.53，∵GN=100cos80°≈17，CG=15，

∴OH=24+15+17=56，OP=OH–PH=56–46.53=9.47≈9.5，

∴他应向前9.5cm．

直通中考

1．【答案】B

【解析】锐角三角函数计算，=2×=，故选A．

2．【答案】A

【解析】∵∠α为锐角，且sinα=，∴∠α=30°．故选A．

3．【答案】D

【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5．

∴sin∠BAC==．故选D．

4．【答案】A

【解析】∵∠BCA=90°，tan∠BAC=，BC=30m，∴tan∠BAC=＝＝，解得AC=75，

故选A．

5．【答案】C

【解析】过作交于，，在中，，

，，故选C．

6．【答案】C

【解析】如图，过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，

设DF=x，

∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BF=3+x，

∵tan35°=，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，

∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65≈4.7，故选C．

7．【答案】D

【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，

∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，

故选D．

8．【答案】

【解析】∵tanA=，∴∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=．

故答案为：．

9．【答案】或

【解析】若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC=；

若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC=，

所以cosC=；

综上所述，cosC的值为或．

故答案为：或．

10．【解析】在Rt△CAD中，tan∠CAD=，

则AD=≈CD，

在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴BD=CD，

∵AD=AB+BD，∴CD=CD+30，解得CD=45，

答：这座灯塔的高度CD约为45 m．

11．【解析】如图，在Rt△ABD中，AB=AD=600，作EM⊥AC于M，

则AM=DE=500，∴BM=100，

在Rt△CEM中，tan53°===，∴CM=800，

∴BC=CM–BM=800–100=700（米）．

答：隧道BC长为700米．

12．【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，

∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1（m），

∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m），

在Rt△BCD中，tan60°==，

∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7（m），

∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）.

答：炎帝塑像DE的高度约为51m．

13．【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，

∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴四边形ABDC是平行四边形，

∴∠C=∠ABD，AC=BD，

∵∠C=65°，AC=900，

∴∠ABD=65°，BD=900，

∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，

∵381÷3=127，120＜127＜150，

∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，

∵815÷3≈272，260＜272＜300，

∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，

由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．

14．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，

∵BC∥OE，∴AG∥OE，

∴∠GAO=∠AOE=90°，

∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；

②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，

则AF=AB•sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm），

∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：

AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）；

（2）过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，

过A作AF⊥BM于点F，如图3，

则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，

∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm），

∴sin∠MBC===0.6，

∴∠MBC=36.8°，

∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．

15．【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，

∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=3（米），

在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，

∴cos41.3°=，即OA===4（米），

tan41.3°=，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），

则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．

16．【解析】（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；

（2）如图，∵∠CAB=67.5°，∴∠BAO=22.5°，

∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=22.5°，∴∠BOP=45°，

∵OB=100，∴OE=OB=50，

∴PE=OP–OE=100–50≈29.5cm，

答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．

 

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