高等数学基础第二次作业
第 4 章 导数的应用
（一）单项选择题
⒈若函数f (x) 满足条件（ ），则存在ξ ∈ (a , b) ，使得 
A. 在(a , b) 内连续
B. 在(a , b) 内可导
C. 在(a , b) 内连续且可导
D. 在[a , b] 内连续，在(a , b) 内可导
⒉函数f (x) = x 2 + 4x −1的单调增加区间是( ) .
A. (−∞ , 2) B. (−1, 1)
C. (2 , + ∞) D. (−2 , + ∞)
⒊函数y = x 2 + 4x − 5 在区间(−6 , 6) 内满足( ) .
A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降
C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数f (x) 满足f ’(x) = 0 的点，一定是f (x) 的( ) .
A. 间断点 B. 极值点
C. 驻点 D. 拐点
⒌设f (x) 在(a , b) 内有连续的二阶导数，x0 ∈ (a , b) ，若 f (x) 满足（ ），则 f (x) 在x0 取到极小值．
A. f ’(x0 ) > 0 , f ’’(x0 ) = 0 B. f ’(x0 ) < 0 , f ’’(x0 ) = 0
C. f ’(x0 ) = 0 , f ’’(x0 ) > 0 D. f ’(x0 ) = 0 , f ’’(x0 ) < 0
⒍设f (x) 在(a , b) 内有连续的二阶导数，且f ’(x) < 0 , f ’’(x) < 0 ，则 f (x) 在此 区间内是( ) .
A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的
C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的
（二）填空题
7.设 f (x) 在 (a , b) 内可导， x0 ∈ (a , b) ，且当 x < x0 时 f ’(x) < 0 ，当 x > x0 时 f ’(x) > 0 ，则 x0 是f (x) 的 点．
8.若函数f (x) 在点x0 可导，且x0 是f (x) 的极值点，则f ’(x0 ) = ．
9.函数y = ln(1 +x2 ) 的单调减少区间是 ．
10.函数f (x) = ex2 的单调增加区间是 ．
11. 若函数 f (x) 在 [a , b] 内恒有 f ’(x) < 0 ，则 f (x) 在 [a , b] 上的最大值 是 ．
12．函数f (x) = 2 + 5x − 3x3 的拐点是 ．
（三）计算题
13.求函数y = (x +1)(x − 5)2 的单调区间和极值．
14.求函数y = x 2 − 2x + 3 在区间[0 , 3] 内的极值点，并求最大值和最小值．
15.求曲线y2 = 2x 上的点，使其到点A(2 , 0) 的距离最短．
16.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少 时，圆柱体的体积最大？
17.一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
18.欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用 料最省？
（四）证明题
19.当x > 0 时，证明不等式x > ln(1 + x) ．
20.当x > 0 时，证明不等式ex > x + 1．
第 5 章 不定积分
第 6 章 定积分及其应用
（一）单项选择题
⒈若f (x) 的一个原函数是 
，则 f ’(x) = ( ) .
A. ln 
x 
B. 
C. 
D. 
⒉下列等式成立的是( ) .
A. 
dx = f 
B. 
C. 
dx = f 
D. 
⒊若f (x) = cos x，则 ∫ f ’(x)dx = ( ) .
A. sin x + c B. cos x + c
C. − sin x + c D. − cos x + c
) .
A. f (x3 ) B. x 2 f (x3 )
C. 
⒌若∫ f 
dx = F 
+ c ，则 
）．
A. 
B. 
C. 
D. 
⒍下列无穷限积分收敛的是( ) .
A. 
B. 
C. 
D. 
（二）填空题
7.函数f (x) 的不定积分是 ．
8.若函数 F(x) 与 G(x) 是同一函数的原函数， 则 F(x) 与 G(x) 之间有关系 式 ．
9.d∫ ex2 dx = ．
10. ∫ (tan x),dx = ．
11.若 ∫ f 
dx = cos 3x + c ，则f , 
．
.
13.若无穷积分 
dx收敛，则 p ．
（三）计算题
cos
1
17. ∫ x sin 2xdx
xlnxdx
（四）证明题
22.证明：若f (x) 在[−a, a] 上可积并为奇函数，则 
．
23.证明：若f (x) 在[−a, a] 上可积并为偶函数，则 
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