2017年全国中考数学试题2017年辽宁省盘锦市中考数学试卷(含答案解析版)

2017年辽宁省盘锦市中考数学试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡上，每小题3分，共30分）

1．（3分）﹣2的相反数是（　　）

A．2 B． C．﹣ D．﹣2

2．（3分）以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A．x²+2x﹣1=（x﹣1）² B．（a+b）（a﹣b）=a²﹣b² C．x²+4x+4=（x+2）² D．ax²﹣a=a（x²﹣1）

4．（3分）如图，下面几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的（　　）

A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数

6．（3分）不等式组的解集是（　　）

A．﹣1＜x≤3 B．1≤x＜3 C．﹣1≤x＜3 D．1＜x≤3

7．（3分）样本数据3，2，4，a，8的平均数是4，则这组数据的众数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．8

8．（3分）十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480元，出发时又有4名学生参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费．设原来游玩的同学有x名，则可得方程（　　）

A．﹣=4 B．﹣=4

C．﹣=4 D．﹣=4

9．（3分）如图，双曲线y=﹣（x＜0）经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（　　）

A． B． C．3 D．6

10．（3分）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am²+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax²+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

 

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．（3分）2016年我国对“一带一路”沿线国家直接投资145亿美元，将145亿用科学记数法表示为　 　．

12．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是　 　．

13．（3分）计算：10ab³÷（﹣5ab）=　 　．

14．（3分）对于▱ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB=∠ABC，能判定▱ABCD是矩形的概率是　 　．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4cm，分别以B、C为圆心，以BD、CD为半径画弧，交边AB、AC于点E、F，则图中阴影部分的面积是　 　cm²．

16．（3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，﹣5），以P为圆心的圆与x轴相切，⊙P的弦AB（B点在A点右侧）垂直于y轴，且AB=8，反比例函数y=（k≠0）经过点B，则k=　 　．

17．（3分）如图，⊙O的半径OA=3，OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点，连接OB、OC，用扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为　 　．

18．（3分）如图，点A₁（1，1）在直线y=x上，过点A₁分别作y轴、x轴的平行线交直线y=x于点B₁，B₂，过点B₂作y轴的平行线交直线y=x于点A₂，过点A₂作x轴的平行线交直线y=x于点B₃，…，按照此规律进行下去，则点A_n的横坐标为　 　．

 

三、解答题（19小题8分，20小题10分，共18分）

19．（8分）先化简，再求值：（+）÷，其中a=（π﹣）⁰+（）^﹣1．

20．（10分）如图，码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，码头A、B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC=50km，若将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）

21．（14分）如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：

A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．

根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图．

（2）若该班同学没人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如下表），则该班同学用于饮品上的人均花费是多少元？

饮品名称	自带白开水	瓶装矿泉水	碳酸饮料	非碳酸饮料
平均价格（元/瓶）	0	2	3	4

（3）若我市约有初中生4万人，估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元？

（4）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率．

22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A₁B₁C₁，当点B₁与原点重合时，解答下列问题：

（1）求出点A₁的坐标，并判断点A₁是否在直线l上；

（2）求出边A₁C₁所在直线的解析式；

（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A₁、C₁、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．

23．（12分）端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数）

24．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长．

25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．

（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．

（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长

26．（14分）如图，直线y=﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线y=x²+bx+c于点B（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；

（3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标．

 

2017年辽宁省盘锦市中考数学试卷

参考答案与试题解析

 

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡上，每小题3分，共30分）

1．（3分）（2017•盘锦）﹣2的相反数是（　　）

A．2 B． C．﹣ D．﹣2

【考点】14：相反数．菁优网版权所有

【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．

【解答】解：﹣2的相反数是2，

故选：A．

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

 

2．（3分）（2017•盘锦）以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】R5：中心对称图形．菁优网版权所有

【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、是中心对称图形，故本选项正确；

D、不是中心对称图形，故本选项错误；

故选C．

【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

 

3．（3分）（2017•盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A．x²+2x﹣1=（x﹣1）² B．（a+b）（a﹣b）=a²﹣b² C．x²+4x+4=（x+2）² D．ax²﹣a=a（x²﹣1）

【考点】51：因式分解的意义．菁优网版权所有

【分析】根据因式分解的意义即可求出答案．

【解答】解：（A）x²﹣2x+1=（x﹣1）²，故A不是因式分解，

（B）a²﹣b²=（a+b）（a﹣b），故B不是因式分解，

（D）ax²﹣a=a（x²﹣1）=a（x+1）（x﹣1），故D分解不完全，

故选（C）

【点评】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．

 

4．（3分）（2017•盘锦）如图，下面几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有

【分析】找到从上面看所得到的图形即可．

【解答】解：从上面可看到第一行有三个正方形，

第二行最左边有1个正方形．

故选D．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

 

5．（3分）（2017•盘锦）在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的（　　）

A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数

【考点】WA：统计量的选择．菁优网版权所有

【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．

【解答】解：由题意可得：

一名学生想要知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的中位数，

故选D．

【点评】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．

 

6．（3分）（2017•盘锦）不等式组的解集是（　　）

A．﹣1＜x≤3 B．1≤x＜3 C．﹣1≤x＜3 D．1＜x≤3

【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式＜1，得：x＜3，

解不等式2（x+2）+1≥3，得：x≥﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，

故选：C．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

 

7．（3分）（2017•盘锦）样本数据3，2，4，a，8的平均数是4，则这组数据的众数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．8

【考点】W5：众数；W1：算术平均数．菁优网版权所有

【分析】根据平均数的定义求出a的值，再求出众数．

【解答】解：a=4×5﹣3﹣2﹣4﹣8=3，

则这组数据为3，2，4，3，8；

众数为3，

故选B．

【点评】本题考查了平均数和众数，求出a的值是解题的关键．

 

8．（3分）（2017•盘锦）十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480元，出发时又有4名学生参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费．设原来游玩的同学有x名，则可得方程（　　）

A．﹣=4 B．﹣=4

C．﹣=4 D．﹣=4

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有

【分析】原来参加游玩的同学为x名，则后来有（x+4）名同学参加，根据增加4名学生之后每个同学比原来少分担4元车费，列方程即可．

【解答】解：由题意得：=4，

故选D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

 

9．（3分）（2017•盘锦）如图，双曲线y=﹣（x＜0）经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（　　）

A． B． C．3 D．6

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有

【分析】根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出S_{平行四边形ABCO}=4S_△COD=2|k|，代入k值即可得出结论．

【解答】解：∵点D为▱ABCD的对角线交点，双曲线y=﹣（x＜0）经过点D，AC⊥y轴，

∴S_{平行四边形ABCO}=4S_△COD=4××|﹣|=3．

故选C．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k的几何意义，找出出S_{平行四边形ABCO}=4S_△COD=2|k|是解题的关键．

 

10．（3分）（2017•盘锦）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am²+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax²+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式；H3：二次函数的性质．菁优网版权所有

【分析】根据抛物线开口向下判断出a＜0，再根据顶点横坐标用a表示出b，根据与y轴的交点求出c的取值范围，然后判断出①错误，②正确，根据点A的坐标用c表示出a，再根据c的取值范围解不等式求出③正确，根据顶点坐标判断出④正确，⑤错误，从而得解．

【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵顶点坐标（1，n），

∴对称轴为直线x=1，

∴﹣=1，

∴b=﹣2a＞0，

∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），

∴3≤c≤4，

∴abc＜0，故①错误，

3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确，

∵与x轴交于点A（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，

∴a﹣（﹣2a）+c=0，

∴c=﹣3a，

∴3≤﹣3a≤4，

∴﹣≤a≤﹣1，故③正确，

∵顶点坐标为（1，n），

∴当x=1时，函数有最大值n，

∴a+b+c≥am²+bm+c，

∴a+b≥am²+bm，故④正确，

一元二次方程ax²+bx+c=n有两个相等的实数根x₁=x₂=1，故⑤错误，

综上所述，结论正确的是②③④共3个．

故选B．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系．

 

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．（3分）（2017•盘锦）2016年我国对“一带一路”沿线国家直接投资145亿美元，将145亿用科学记数法表示为　1.45×10¹⁰　．

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将145亿用科学记数法表示为：1.45×10¹⁰．

故答案为：1.45×10¹⁰．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

 

12．（3分）（2017•盘锦）若式子有意义，则x的取值范围是　x＞﹣　．

【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有

【分析】分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数，则2x+3＞0．由此求得x的取值范围．

【解答】解：依题意得：2x+3＞0．

解得x＞﹣．

故答案是：x＞﹣．

【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

 

13．（3分）（2017•盘锦）计算：10ab³÷（﹣5ab）=　﹣2b²　．

【考点】4H：整式的除法．菁优网版权所有

【分析】根据整式的除法法则即可求出答案．

【解答】解：原式=﹣2b²，

故答案为：﹣2b²

【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

 

14．（3分）（2017•盘锦）对于▱ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB=∠ABC，能判定▱ABCD是矩形的概率是　　．

【考点】X4：概率公式；LC：矩形的判定．菁优网版权所有

【分析】由题意可知添加②③⑤可以判断平行四边形是矩形，求出概率即可．

【解答】解：由题意可知添加②③⑤可以判断平行四边形是矩形，

∴能判定▱ABCD是矩形的概率是，

故答案为．

【点评】本题考查概率公式、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

 

15．（3分）（2017•盘锦）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4cm，分别以B、C为圆心，以BD、CD为半径画弧，交边AB、AC于点E、F，则图中阴影部分的面积是　（2+2﹣π）　cm²．

【考点】MO：扇形面积的计算；KQ：勾股定理．菁优网版权所有

【分析】首先计算出AD长，进而可得BD和DC长，然后利用三角形ABC的面积减去扇形BED和DFC的面积即可．

【解答】解：∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵∠B=30°，

∴AD=AB=2cm，

∴BD==2（cm），

∵∠C=45°，

∴∠DAC=45°，

∴AD=CD=2cm，

∴BC=（2+2）cm，

∴S_阴影=×（2+2）×2﹣﹣=2+2﹣π﹣=2+2﹣π，

故答案为：（2+2﹣π）．

【点评】此题主要考查了扇形的面积计算，以及勾股定理，关键是正确计算出AD、BD、CD长．

 

16．（3分）（2017•盘锦）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，﹣5），以P为圆心的圆与x轴相切，⊙P的弦AB（B点在A点右侧）垂直于y轴，且AB=8，反比例函数y=（k≠0）经过点B，则k=　﹣8或﹣32　．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；MC：切线的性质．菁优网版权所有

【分析】设AB交y轴于点C，利用垂径定理可求得PC的长，则可求得B点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值．

【解答】解：

设线段AB交y轴于点C，当点C在点P的上方时，连接PB，如图，

∵⊙P与x轴相切，且P（0，﹣5），

∴PB=PO=5，

∵AB=8，

∴BC=4，

在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC==3，

∴OC=OP﹣PC=5﹣3=2，

∴B点坐标为（4，﹣2），

∵反比例函数y=（k≠0）经过点B，

∴k=4×（﹣2）=﹣8；

当点C在点P下方时，同理可求得PC=3，则OC=OP+PC=8，

∴B（4，﹣8），

∴k=4×（﹣8）=﹣32；

综上可知k的值为﹣8或﹣32，

故答案为：﹣8或﹣32．

【点评】本题主要考查切线的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，利用垂径定理和切线的性质求得PC的长是解题的关键，注意分两种情况．

 

17．（3分）（2017•盘锦）如图，⊙O的半径OA=3，OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点，连接OB、OC，用扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为　2　．

【考点】MP：圆锥的计算；KG：线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有

【分析】求出△OAB和△AOC都是等边三角形，求出∠BOC=120°，根据弧长公式求出圆锥的半径，根据勾股定理求出即可．

【解答】解：连接AB，AC，

∵BC为OA的垂直平分线，

∴OB=AB，OC=AC，

∴OB=AB=OA，OC=OA=AC，

∴△OAB和△AOC都是等边三角形，

∴∠BOA=∠AOC=60°，

∴∠BOC=120°，

设圆锥的底面半径为r，则2πr=，

解得：r=1，

这个圆锥的高为=2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，弧长公式等知识点，能求出圆锥的半径是解此题的关键．

 

18．（3分）（2017•盘锦）如图，点A₁（1，1）在直线y=x上，过点A₁分别作y轴、x轴的平行线交直线y=x于点B₁，B₂，过点B₂作y轴的平行线交直线y=x于点A₂，过点A₂作x轴的平行线交直线y=x于点B₃，…，按照此规律进行下去，则点A_n的横坐标为　　．

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；D2：规律型：点的坐标．菁优网版权所有

【分析】由点A₁的横坐标可求出点B₁的坐标，进而可得出A₁B₁、A₁B₂的长度，由1+A₁B₂=可得出点A₂、B₂的坐标，同理可求出点A₃、A_n的坐标，此题得解．

【解答】解：∵A_nB_n+1∥x轴，

∴tan∠A_nB_n+1B_n=．

当x=1时，y=x=，

∴点B₁的坐标为（1，），

∴A₁B₁=1﹣，A₁B₂==﹣1．

∵1+A₁B₂=，

∴点A₂的坐标为（，），点B₂的坐标为（，1），

∴A₂B₂=﹣1，A₂B₃==﹣，

∴点A₃的坐标为（，），点B₃的坐标为（，）．

同理，可得：点A_n的坐标为（，）．

故答案为：．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型中点的坐标，通过解直角三角形找出点A₂、A₃、…、A_n的坐标是解题的关键．

 

三、解答题（19小题8分，20小题10分，共18分）

19．（8分）（2017•盘锦）先化简，再求值：（+）÷，其中a=（π﹣）⁰+（）^﹣1．

【考点】6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有

【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（+）÷

=

=

=，

当a=（π﹣）⁰+（）^﹣1=1+2=3时，原式==1．

【点评】本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

 

20．（10分）（2017•盘锦）如图，码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，码头A、B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC=50km，若将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．菁优网版权所有

【分析】如图延长CA交OM于K．承办方求出OB、AB的长，分别求出时间即可判断．

【解答】解：如图延长CA交OM于K．

由题意∠COK=75°，∠BOK=60°，∠COK=45°，∠CKO=90°，

∴∠KCO=15°，∠KBO=30°，OK=KA，

∵∠KBO=∠C+∠BOC，

∴∠C=∠BOC=15°，

∴OB=BC=50（km），

在Rt△OBK中，OK=OB=25（km），KB=OK=25（km），

在Rt△AOK中，OK=AK=25（km），OA=25≈35km，

∴AB=KB﹣AK≈17.5（km），

∴从A码头的时间=+=3.4（小时），

从B码头的时间=+=3（小时），3＜3.4，

答：这批物资在B码头装船，最早运抵海岛O．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

 

21．（14分）（2017•盘锦）如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：

A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．

根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图．

（2）若该班同学没人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如下表），则该班同学用于饮品上的人均花费是多少元？

饮品名称	自带白开水	瓶装矿泉水	碳酸饮料	非碳酸饮料
平均价格（元/瓶）	0	2	3	4

（3）若我市约有初中生4万人，估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元？

（4）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W2：加权平均数．菁优网版权所有

【分析】（1）由B类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数，即可补全条形图；

（2）由各类的人数可得其总消费，进而可求出该班同学用于饮品上的人均花费是多少元；

（3）用总人数乘以样本中的人均消费数额即可；

（4）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，根据概率公式求解可得．

【解答】解：（1）∵抽查的总人数为：20÷40%=50人，

∴C类人数=50﹣20﹣5﹣15=10人，

补全条形统计图如下：

（2）该班同学用于饮品上的人均花费==2.6元；

（3）我市初中生每天用于饮品上的花费=40000×2.6=104000元．

（4）列表得：

	女	女	女	男	男
女	﹣﹣﹣	（女，女）	（女，女）	（男，女）	（男，女）
女	（女，女）	﹣﹣﹣	（女，女）	（男，女）	（男，女）
女	（女，女）	（女，女）	﹣﹣﹣	（男，女）	（男，女）
男	（女，男）	（女，男）	（女，男）	﹣﹣﹣	（男，男）
男	（女，男）	（女，男）	（女，男）	（男，男）	﹣﹣﹣

或画树状图得：

所有等可能的情况数有20种，其中一男一女的有12种，

所以P（恰好抽到一男一女）==．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

 

22．（12分）（2017•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A₁B₁C₁，当点B₁与原点重合时，解答下列问题：

（1）求出点A₁的坐标，并判断点A₁是否在直线l上；

（2）求出边A₁C₁所在直线的解析式；

（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A₁、C₁、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．

【考点】FI：一次函数综合题．菁优网版权所有

【分析】（1）如图作A₁H⊥x轴于H．在Rt△A₁OH中，由A₁H=3，∠A₁OH=60°，可得OH=A₁H•tan30°=，求出点A坐标即可解决问题；

（2）利用待定系数法即可解决问题；

（3）分三种情形讨论即可解决问题；

【解答】解：（1）如图作A₁H⊥x轴于H．

在Rt△A₁OH中，∵A₁H=3，∠A₁OH=60°，

∴OH=A₁H•tan30°=，

∴A₁（，3），

∵x=时，y=﹣×+4=3，

∴A₁在直线y=﹣x+4上．

（2）∵A₁（，3），C₁（2，0），

设直线A₁C₁的解析式为y=kx+b，则有，

解得，

∴直线A₁C₁的解析式为y=﹣x+6．

（3）∵M（4，0），A₁（，3），C₁（2，0），

由图象可知，当以P、A₁、C₁、M为顶点的四边形是平行四边形时，P₁（3，3），P₂（5，﹣3），P₃（﹣，3）．

【点评】本题考查一次函数综合题．平行四边形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

 

23．（12分）（2017•盘锦）端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数）

【考点】HE：二次函数的应用．菁优网版权所有

【分析】小慧：设定价为x元，利润为y元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，结合x的取值范围，求出当y取800时，定价x的值即可；

小杰：根据小慧中求出的函数解析式，运用配方法求最大值，并求此时x的值即可．

【解答】解：小慧：设定价为x元，利润为y元，则销售量为：410﹣10（x﹣100）=1410﹣10x，

由题意得，y=（x﹣80）（1410﹣10x）

=﹣10x²+2210x﹣112800，

当y=8580时，﹣10x²+2210x﹣112800=8580，

整理，得：x²﹣221x+12138=0，

解得：x=102或x=119，

∵当x=102时，销量为1410﹣1020=390，

当x=119时，销量为1410﹣1190=220，

∴若要达到8580元的利润，且薄利多销，

∴此时的定价应为102元；

小杰：y=﹣10x²+2210x﹣112800=﹣10（x﹣）²+，

∵价格取整数，即x为整数，

∴当x=110或x=111时，y取得最大值，最大值为9300，

答：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元．

【点评】本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出函数关系式，要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值．

 

24．（12分）（2017•盘锦）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长．

【考点】MB：直线与圆的位置关系；KH：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有

【分析】（1）连接圆心和切点，利用平行，OF⊥CB可证得∠ODF=90°；

（2）过D作DH⊥BC于H，设BD=k，CD=2k，求得BD=2，CD=4，根据三角形的面积公式得到DH==4，由勾股定理得到OH==3，根据射影定理得到OD²=OH•OE，求得OE=，得到BE=，根据相似三角形的性质得到BF=2，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】（1）证明：如图，连接OD，BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠90°，

∴BD⊥AC．

∵AB=BC，

∴AD=DC．

∵OA=OB，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴DE⊥OD．

∴直线DE是⊙O的切线．

（2）过D作DH⊥BC于H，

∵⊙O的半径R=5，tanC=，

∴BC=10，

设BD=k，CD=2k，

∴BC=k=10，

∴k=2，

∴BD=2，CD=4，

∴DH==4，

∴OH==3，

∵DE⊥OD，DH⊥OE，

∴OD²=OH•OE，

∴OE=，

∴BE=，

∵DE⊥AB，

∴BF∥OD，

∴△BFE∽△ODE，

∴，即，

∴BF=2，

∴EF==．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转移，注意利用直角三角形面积的不同方式求解．

 

25．（14分）（2017•盘锦）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．

（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．

（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长

【考点】RB：几何变换综合题．菁优网版权所有

【分析】（1）结论：BQ=CP．如图1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等边三角形，只要证明△POH≌△QPB即可；

（2）成立：PC=BQ．作PH∥AB交CO的延长线于H．证明方法类似（1）；

（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．设CE=CO=a，则EC=FP=2a，EF=a，在Rt△PCE中，PC===（+）a，根据PC+CB=4，可得方程（+）a+a=4，求出a即可解决问题；

【解答】解：（1）结论：BQ=CP．

理由：如图1中，作PH∥AB交CO于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，

∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，

∴△CBO是等边三角形，

∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，

∴∠CHP=∠CPH=60°，

∴△CPH是等边三角形，

∴PC=PH=CH，

∴OH=PB，

∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP，

∵∠OPQ=∠OCP=60°，

∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，

∴△POH≌△QPB，

∴PH=QB，

∴PC=BQ．

（2）成立：PC=BQ．

理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，

∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，

∴△CBO是等边三角形，

∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，

∴∠CHP=∠CPH=60°，

∴△CPH是等边三角形，

∴PC=PH=CH，

∴OH=PB，

∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ，

∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，

∴△POH≌△QPB，

∴PH=QB，

∴PC=BQ．

（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．

∵∠OPC=15°，∠OCB=∠OCP+∠POC，

∴∠POC=45°，

∴CE=EO，设CE=CO=a，则EC=FP=2a，EF=a，

在Rt△PCE中，PC===（+）a，

∵PC+CB=4，

∴（+）a+a=4，

解得a=4﹣2，

∴PC=4﹣4，

由（2）可知BQ=PC，

∴BQ=4﹣4．

【点评】此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

 

26．（14分）（2017•盘锦）如图，直线y=﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线y=x²+bx+c于点B（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；

（3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有

【分析】（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入y=x²+bx+c即可得到结论；

（2）由y=x²﹣x﹣2求得D（0，﹣2），根据等腰直角三角形的性质得到DE=PE，列方程即可得到结论；

（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，求得直线EE′的解析式为y=x﹣，设E′（m，m﹣），根据勾股定理即可得到结论；②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，得到直线EE′的解析式为y=x﹣3，设E′（m，m﹣3），根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入y=x²+bx+c得，，

∴，

∴抛物线的解析式为y=x²﹣x﹣2；

（2）设P（m，m²﹣m﹣2），

在y=x²﹣x﹣2中，当x=0时，y=﹣2，

∴D（0，﹣2），

∵B（3，﹣2），

∴BD∥x轴，

∵PE⊥BD，

∴E（m，﹣2），

∴DE=m，PE=m²﹣m﹣2+2，或PE=﹣2﹣m²+m+2，

∵△PDE为等腰直角三角形，且∠PED=90°，

∴DE=PE，

∴m=m²﹣m，或m=﹣m²+m，

解得：m=5，m=2，m=0（不合题意，舍去），

∴PE=5或2，

P（2，﹣3），或（5，3）；

（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，

过E′作E′H⊥DE于H，

由（2）知，此时，E（5，﹣2），

∴DE=5，

∴BE′=BE=2，

∵EE′⊥AB，

∴设直线EE′的解析式为y=x+b，

∴﹣2=×5+b，

∴b=﹣，

∴直线EE′的解析式为y=x﹣，

设E′（m，m﹣），

∴E′H=﹣2﹣m+=﹣m，BH=3﹣m，

∵E′H²+BH²=BE′²，

∴（﹣m）²+（3﹣m）²=4，

∴m=，m=5（舍去），

∴E′（，﹣）；

②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，

过E′作E′H⊥DE于H，

由（2）知，此时，E（2，﹣2），

∴DE=2，

∴BE′=BE=1，

∵EE′⊥AB，

∴设直线EE′的解析式为y=x+b，

∴﹣2=×2+b，

∴b=﹣3，

∴直线EE′的解析式为y=x﹣3，

设E′（m，m﹣3），

∴E′H=m﹣3+2=m﹣1，BH=m﹣3，

∵E′H²+BH²=BE′²，

∴（m﹣1）²+（m﹣3）²=1，

∴m=3.6，m=2（舍去），

∴E′（3.6，﹣1.2），

综上所述，E的对称点坐标为（，﹣），（3.6，﹣1.2）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

 

 

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