2017年全国中考数学试题2017年辽宁省营口市中中考数学试卷(含答案解析版)

2017年辽宁省营口市中考

数学试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个正确的，每小题3分，共30分.）

1．（3分）﹣5的相反数是（　　）

A．﹣5 B．±5 C． D．5

2．（3分）下列几何体中，同一个几何体的三视图完全相同的是（　　）

A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．（﹣2xy）²=﹣4x²y² B．x⁶÷x³=x² C．（x﹣y）²=x²﹣y² D．2x+3x=5x

4．（3分）为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了30户家庭的月用水量，结果如下表：

月用水量/m3	4	5	6	8	9	10
户数	6	7	9	5	2	1

则这30户家庭的月用水量的众数和中位数分别是（　　）

A．6，6 B．9，6 C．9，6 D．6，7

5．（3分）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D． ＜0

6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2=115°，则∠1的度数是（　　）

A．75° B．85° C．60° D．65°

7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（　　）

A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB= CD

8．（3分）如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数y= 的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（　　）

A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=

9．（3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

10．（3分）如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上）

11．（3分）随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预计到2018年我国移动医疗市场规模将达到29150000000元，将29150000000用科学记数法表示为　 　．

12．（3分）函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．

13．（3分）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是　 　个．

14．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x²+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．

15．（3分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为　 　．

16．（3分）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为　 　．

17．（3分）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　 　．

18．（3分）如图，点A₁（1， ）在直线l₁：y= x上，过点A₁作A₁B₁⊥l₁交直线l₂：y= x于点B₁，A₁B₁为边在△OA₁B₁外侧作等边三角形A₁B₁C₁，再过点C₁作A₂B₂⊥l₁，分别交直线l₁和l₂于A₂，B₂两点，以A₂B₂为边在△OA₂B₂外侧作等边三角形A₂B₂C₂，…按此规律进行下去，则第n个等边三角形A_nB_nC_n的面积为　 　．（用含n的代数式表示）

三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分.）

19．（10分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷（1﹣ ），其中x=（ ）^﹣1﹣（2017﹣ ）⁰，y= sin60°．

20．（10分）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．

（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用A、B、C、D表示）．

 

四、解答题（21题12分，22小题12分，共24分）

21．（12分）某中学开展“汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）这四个班参与大赛的学生共　 　人；

（2）请你补全两幅统计图；

（3）求图1中甲班所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若四个班级的学生总数是160人，全校共2000人，请你估计全校的学生中参与这次活动的大约有多少人．

22．（12分）如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点A处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近距离．（结果精确的0.1海里，参考数据 ≈1.41， ≈1.73）

五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）

23．（12分）如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是 的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若cos∠CAD= ，BF=15，求AC的长．

24．（12分）夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．

（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．

六、解答题（本题满分14分）

25．（14分）在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．

（1）若四边形ABCD为正方形．

①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系　 　；

②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；

（3）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E’BF’，连接AE’，DF’，请在图3中画出草图，并直接写出AE’与DF’的数量关系．

七、解答题（本题满分14分）

26．（14分）如图，抛物线y=ax²+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；

（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

第一部分（客观题）

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个正确的,每小题3分,共30分.）

1.-5的相反数是（ ）

A． -5 B． C． D．5

【答案】D.

【解析】

试题分析：根据相反数的定义直接求得结果．

因为只有符号不同的两个数互为相反数，所以﹣5的相反数是5．故选D．

考点：相反数.

2. 下列几何体中，同一个几何体的三视图完全相同的是（ ）

A． 球 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱

【答案】A.

【解析】

确．

故选A．

考点：简单几何体的三视图.

3. 下列计算正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D.

【解析】

试题分析：根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式和合并同类项的运算法则分别进行计算即可得出答案．

A、（﹣2xy）²=4x²y²，故本选项错误；

B、x⁶÷x³=x³，故本选项错误；

C、（x﹣y）²=x²﹣2xy+y²，故本选项错误；

D、2x+3x=5x，故本选项正确；

故选D．

考点：同底数幂的除法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式.

4. 为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了30户家庭的月用水量，结果如下表：

月用水量/	4	5	6	8	9	10
户数	6	7	9	5	2	1

则这30户家庭的月用水量的众数和中位数分别是（ ）

A． 6，6 B． 9，6 C. 9，6 D．6，7

【答案】B.

【解析】

考点：众数；中位数.

5. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（ ）

A． B． C. D．

【答案】D.

【解析】

试题分析：由于一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，由此可以确定a＜0，b＞0，然后一一判断各选项即可解决问题．

∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，

∴a＜0，b＞0，∴a+b不一定大于0，故A错误，

a﹣b＜0，故B错误，

ab＜0，故C错误，

＜0，故D正确．

故选D．

考点：一次函数图象与系数的关系.

6. 如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，，则的度数是（ ）

A．75° B． 85° C. 60° D．65°

【答案】B.

【解析】

考点：平行线的性质.

7. 如图，在中，分别是的中点，以为斜边作，若，则下列结论不正确的是（ ）

A． B．平分 C. D．

【答案】C.

【解析】

由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；

在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确．

∵AB=AC，∠CAB=45°，∴∠B=∠ACB=67.5°．

∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，AD=DC，

∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，学.科*网不符合题意；

∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE=AB，FE∥AB，

∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．

∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，

∵AB=AC，∴FE=FD，

∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°，

∴∠FDE=∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；

∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，

∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；

∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，

∴AC=CD，∵AB=AC，

∴AB=CD，故D正确，不符合题意．

故选C．

考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；勾股定理.

8. 如图，在菱形中，，它的一个顶点在反比例函数的图像上，若将菱形向下平移2个单位，点恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（ ）

A． B． C. D．

【答案】A.

【解析】

点A向下平移2个单位的点为（﹣a﹣a，a﹣2），即（﹣a，a﹣2），

则，解得．

故反比例函数解析式为．

故选A．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移．

9. 如图，在中，，点在上，，点是上的动点，则的最小值为（ ）

A． 4 B．5 C. 6 D．7

【答案】B.

【解析】

∵DC=1，BC=4，∴BD=3，

连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，

∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，

根据勾股定理可得DC′=．

故选B．

考点：轴对称﹣最短路线问题；等腰直角三角形.

10. 如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与轴和轴分别相交于两点，运动时间为秒（），以为斜边作等腰直角三角形（两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图角大致是（ ）

A． B． C. D．

第二部分（主观题）

【答案】C.

【解析】

故答案为C．

考点：动点问题的函数图象；分类讨论.

二、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上）

11. 随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预计到2018年我国移动医疗市场规模将达到29150000000元，将29150000000用科学记数法表示为_____________．

【答案】2.915×10¹⁰.

【解析】

试题分析：科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

29150000000=2.915×10¹⁰．故答案为：2.915×10¹⁰．

考点：科学记数法—表示较大的数.

12.函数中，自变量的取值范围是___________．

【答案】x≥1.

【解析】

考点：函数自变量的取值范围.

13.在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是 个.

【答案】15.

【解析】

试题分析：利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，则摸到蓝球的概率为75%，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．

根据题意得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，

所以摸到蓝球的概率为75%，

因为20×75%=15（个），所以可估计袋中蓝色球的个数为15个．

故答案为15．

考点：利用频率估计概率.

14.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．

【答案】k＞且k≠1.

【解析】

试题分析：根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=2²﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

根据题意得k﹣1≠0且△=2²﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，

解得：k＞且k≠1．

故答案为：k＞且k≠1．

考点：根的判别式；一元二次方程的定义.

15.如图，将矩形绕点沿顺时针方向旋转90°到矩形的位置，，则阴影部分的面积为 ．

【答案】.

【解析】

故答案为：．

考点：扇形面积的计算；旋转的性质.

16.某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务.若设原计划每天植树棵，则根据题意可列方程为 ．

【答案】.

【解析】

试题分析：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，根据“原计划所用时间﹣实际所用时间=8”列方程即可．

设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，

根据题意可得：，

故答案为：．

考点：由实际问题抽象出分式方程.

17. 在矩形纸片中，是边上的点，将纸片沿折叠，使点落在点处，连接，学&科网当为直角三角形时，的长为___________．

【答案】3或6.

【解析】

△EFC为直角三角形分两种情况：

①当∠EFC=90°时，如图1所示．

∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点F在对角线AC上，

∴AE平分∠BAC，∴，即，∴BE=3；

②当∠FEC=90°时，如图2所示．

∵∠FEC=90°，∴∠FEB=90°，∴∠AEF=∠BEA=45°，

∴四边形ABEF为正方形，∴BE=AB=6．

综上所述：BE的长为3或6．

故答案为：3或6．

考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；正方形的判定与性质；矩形的性质.

18. 如图，点在直线上，过点作交直线于点，为边在外侧作等边三角形，再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形按此规律进行下去，则第个等边三角形的面积为__________.（用含的代数式表示）

【答案】.

【解析】

在Rt△OA₁B₁中，OA₁=2，∠A₁OB₁=30°，∠OA₁B₁=90°，

∴A₁B₁=OB₁，∴A₁B₁=．

∵△A₁B₁C₁为等边三角形，∴A₁A₂=A₁B₁=1，

∴OA₂=3，A₂B₂=．

同理，可得出：A₃B₃=，A₄B₄=，…，A_nB_n=，

∴第n个等边三角形A_nB_nC_n的面积为．

故答案为：．

考点：一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；探索规律.

三、解答题 （19小题10分，20小题10分，共20分.）

19. 先化简，再求值：，其中.

【答案】-4.

【解析】

原式==﹣4．

考点：分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值.

20. 如图，有四张背面完全相同的纸牌，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀.

（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用表示）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（2）列表得：

	A	B	C	D
A		（A，B）	（A，C）	（A，D）
B	（B，A）		（B，C）	（B，D）
C	（C，A）	（C，B）		（C，D）
D	（D，A）	（D，B）	（D，C）

共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，

∴P（两张都是轴对称图形）=，因此这个游戏公平．

考点：游戏公平性；轴对称图形；中心对称图形；概率公式；列表法与树状图法.

四、解答题 （21题12分，22小题12分，共24分）

21. 某中学开展“汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）这四个班参与大赛的学生共__________人；

（2）请你补全两幅统计图；

（3）求图1中甲班所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若四个班级的学生总数是160人，全校共2000人，请你估计全校的学生中参与这次活动的大约有多少人.

【答案】（1）100；（2）见解析；（3）108°；（4）1250.

【解析】

30÷30%=100（人）；

故答案为100；

（2）丁所占的百分比是：×100%=35%，

丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%，

则丙班得人数是：100×15%=15（人）；

如图：

考点：条形统计图；扇形统计图；样本估计总体.

22.如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点 处测得码头 的船的东北方向，航行40分钟后到达处，这时码头恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头的最近距离.（结果精确的0．1海里，参考数据 ）

【答案】船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里.

【解析】

试题分析：过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，根据∠DAB=30°，AB=20，从而可求出BD、AD的长度，进而可求出CE的长度．

答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里

考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用.

五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）

23. 如图，点在以为直径的上，学*科网点是的中点，过点作垂直于，交的延长线于点，连接交于点.

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长.

【答案】（1）见解析；（2）16.

【解析】

试题解析：（1）证明：连接OC，如图1所示．

∵点C是的中点，∴，∴OC⊥BE．

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BE，∴AD∥OC．

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示．

∵点C是的中点，∴，∠BAC=∠CAE，

∴．

∵cos∠CAD=，∴，∴AB=BF=20．

在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO=AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD=，

∴AM=AO•cos∠OAM=8，∴AC=2AM=16．

考点：切线的判定与性质；解直角三角形；平行线的性质；垂径定理；圆周角定理角平分线的性质.

24.夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元.

（1）设第天生产空调台，直接写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.

（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第天的利润为元，试求与之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少.

【答案】（1）y=40+2x（1≤x≤10）；（2），第5天，46000元.

【解析】

台，

∴由题意可得出，第x天生产空调y台，y与x之间的函数解析式为：y=40+2x（1≤x≤10）；

（2）当1≤x≤5时，W=（2920﹣2000）×（40+2x）=1840x+36800，

∵1840＞0，∴W随x的增大而增大，

∴当x=5时，W_最大值=1840×5+36800=46000；

当5＜x≤10时，

W=[2920﹣2000﹣20（40+2x﹣50）]×（40+2x）=﹣80（x﹣4）²+46080，

考点：二次函数的应用；分段函数.

六、解答题（本题满分14分）

25.在四边形中，点为边上的一点，点为对角线上的一点，且.

（1）若四边形为正方形.

①如图1，请直接写出与的数量关系___________；

②将绕点逆时针旋转到图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形为矩形，，学&科.网其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，请在图3中画出草图，并直接写出与的数量关系.

【答案】（1）①DF=AE，②DF=AE，理由见解析；（2）DF′=AE′.

【解析】

试题分析：（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BF=AB，再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF=BE，所以BD﹣BF=AB﹣BE，从而得到DF=AE；

②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，加上=，则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以=；

（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD=AB，再证明△BEF∽△BAD得到，则=，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以=，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得=．

试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，

∴BF=AB，

∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，BF=BE，

∴BD﹣BF=AB﹣BE，即DF=AE；

故答案为DF=AE；

②DF=AE．理由如下：

∴AD=BC=mAB，∴BD==AB，

∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，

∴，∴=，

∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E’BF’，

∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，

∴=，

∴△ABE′∽△DBF′，

∴=，

即DF′=AE′．

考点：旋转的性质；矩形和正方形的性质；相似三角形的判定和性质.

七、解答题（本题满分14分）

26.如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点.

（1）求抛物线解析式；

（2）若点在第一象限内，当时，求四边形的面积；

（3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

【答案】（1）y=x²﹣x﹣2；（2）；（3）y=x²﹣x﹣2；（2）；（3）N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形.

【解析】

试题分析：（1）由抛物线y=ax²+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；

（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m²﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1， 设D（m，0），

∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m²﹣m﹣2），

∵OD=4PE，∴m=4（m²﹣m﹣2﹣m+2），

∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，），

∴四边形POBE的面积=S_△OPD﹣S_△EBD=×5×﹣×1×=；

（3）存在，设M（n，n﹣2），

①以BD为对角线，如图1，

∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，

∴n=4+，∴M（，），

∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；

②以BD为边，如图2，

∴n₁=4+（不合题意，舍去），n₂=4﹣，

∴N（5﹣，），

③以BD为边，如图3，

过M作MH⊥x轴于H，

∴MH²+BH²=BM²，即（n﹣2）²+（n﹣4）²=1²，

考点：二次函数的图象的性质；待定系数法求一次函数；二次函数的解析式；勾股定理；三角形的面积公式；菱形的性质.

 

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