2017年全国中考数学试题2017年山东省日照市中考数学试卷(含答案解析版)

2017年山东省日照市中考数学试卷

一、选择题：（本大题共12小题，其中1~8题每小题3分，9~12题每小题3分，满分40分）

1．﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3 B．3 C．±3 D．

2．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．铁路部门消息：2017年“端午节”小长假期间，全国铁路客流量达到4640万人次.4640万用科学记数法表示为（　　）【出处：21教育名师】

A．4.64×10⁵ B．4.64×10⁶ C．4.64×10⁷ D．4.64×10⁸

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．

5．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠1=60°，则∠2等于（　　）

A．120° B．30° C．40° D．60°

6．式子 有意义，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2

7．下列说法正确的是（　　）

A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等

B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点

C．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）一定有实数根

D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等

8．反比例函数y= 的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

9．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（　　）

A． B． C．5 D．

10．如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2m/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设⊙O的面积为S（cm²），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大致为（　　）【来源：21·世纪·教育·网】

A． B． C． D．

11．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（　　）

A．23 B．75 C．77 D．139

12．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①抛物线过原点；

②4a+b+c=0；

③a﹣b+c＜0；

④抛物线的顶点坐标为（2，b）；

⑤当x＜2时，y随x增大而增大．

其中结论正确的是（　　）

A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤

 

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）

13．分解因式：2m³﹣8m=　 　．

14．为了解某初级中学附近路口的汽车流量，交通管理部门调查了某周一至周五下午放学时间段通过该路口的汽车数量（单位：辆），结果如下：

183 191 169 190 177

则在该时间段中，通过这个路口的汽车数量的平均数是　 　．

15．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是　 　．

16．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y= （x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为 ，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为　 　．

 

三、解答题

17．（1）计算：﹣（2﹣ ）﹣（π﹣3.14）⁰+（1﹣cos30°）×（ ）^﹣2；

（2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中a= ．

18．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．

（1）求证：△DCA≌△EAC；

（2）只需添加一个条件，即　 　，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．

19．若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．

（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；

（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．

20．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．

（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？

（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？

21．阅读材料：

在平面直角坐标系xOy中，点P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d= ．

例如：求点P₀（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．

解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，

∴点P₀（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d= = ．

根据以上材料，解决下列问题：

问题1：点P₁（3，4）到直线y=﹣ x+ 的距离为　 　；

问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣ x+b相切，求实数b的值；2·1·c·n·j·y

问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S_△ABP的最大值和最小值．

22．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．

（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S_{四边形OPMN}=8S_△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

2017年山东省日照市中考数学试卷

参考答案与试题解析

 

一、选择题：（本大题共12小题，其中1~8题每小题3分，9~12题每小题3分，满分40分）

1．﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3 B．3 C．±3 D．

【考点】15：绝对值．

【分析】当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．

【解答】解：﹣3的绝对值是3．

故选：B．

 

2．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；

D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误．

故选A．

 

3．铁路部门消息：2017年“端午节”小长假期间，全国铁路客流量达到4640万人次.4640万用科学记数法表示为（　　）【来源：21cnj*y.co*m】

A．4.64×10⁵ B．4.64×10⁶ C．4.64×10⁷ D．4.64×10⁸

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于4640万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．

【解答】解：4640万=4.64×10⁷．

故选：C．

 

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】T1：锐角三角函数的定义．

【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．

【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC= =12，

∴sinA= = ，

故选：B．

 

5．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠1=60°，则∠2等于（　　）

A．120° B．30° C．40° D．60°

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】根据对顶角的性质和平行线的性质即可得到结论．

【解答】解：∵∠AEF=∠1=60°，

∵AB∥CD，

∴∠2=∠AEF=60°，

故选D．

 

6．式子 有意义，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2

【考点】72：二次根式有意义的条件．

【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件分析得出答案．

【解答】解：式子 有意义，

则a+1≥0，且a﹣2≠0，

解得：a≥﹣1且a≠2．

故选：C．

 

7．下列说法正确的是（　　）

A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等

B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点

C．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）一定有实数根

D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等

【考点】MM：正多边形和圆；AA：根的判别式；D1：点的坐标；R2：旋转的性质．

【分析】根据正多边形和圆的关系、一元二次方程根的判别式、点的坐标以及旋转变换的性质进行判断即可．

【解答】解：如图∠AOB= =60°，OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OA，

∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；

在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；

根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；21·世纪*教育网

故选：A．

 

8．反比例函数y= 的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象．

【分析】根据反比例函数图象可以确定kb的符号，易得k、b的符号，根据图象与系数的关系作出正确选择．

【解答】解：∵y= 的图象经过第一、三象限，

∴kb＞0，

∴k，b同号，

A、图象过二、四象限，

则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；

B、图象过二、四象限，

则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；

C、图象过一、三象限，

则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；

D、图象过一、三象限，

则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；

故选：D．

 

9．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（　　）21cnjy.com

A． B． C．5 D．

【考点】MC：切线的性质．

【分析】过点D作OD⊥AC于点D，由已知条件和圆的性质易求OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，进而可求出AC的长．2-1-c-n-j-y

【解答】解：

过点D作OD⊥AC于点D，

∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，

∴AB⊥AP，

∴∠BAP=90°，

∵∠P=30°，

∴∠AOP=60°，

∴∠AOC=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAD=30°，

∵AB=10，

∴OA=5，

∴OD= AO=2.5，

∴AD= = ，

∴AC=2AD=5 ，

故选A．

 

10．如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2m/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设⊙O的面积为S（cm²），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大致为（　　）【版权所有：21教育】

A． B． C． D．

【考点】E7：动点问题的函数图象．

【分析】根据角平分线的性质得到∠BAO=30°，设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，根据直角三角形的性质得到r=t，根据圆的面积公式即可得到结论．

【解答】解：∵∠BAC=60°，AO是∠BAC的角平分线，

∴∠BAO=30°，

设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，

∵AO=2t，

∴r=t，

∴S=πt²，

∴S是圆心O运动的时间t的二次函数，

∵π＞0，

∴抛物线的开口向上，

故选D．

 

11．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（　　）

A．23 B．75 C．77 D．139

【考点】37：规律型：数字的变化类．

【分析】由图可知：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数，左边的数为2¹，2²，2³，…2⁶，由此可得a，b．

【解答】解：∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，

左边的数为2¹，2²，2³，…，

∴b=2⁶=64，

∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，

∴a=11+64=75，

故选B．

 

12．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①抛物线过原点；

②4a+b+c=0；

③a﹣b+c＜0；

④抛物线的顶点坐标为（2，b）；

⑤当x＜2时，y随x增大而增大．

其中结论正确的是（　　）

A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．

【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=﹣4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．

【解答】解：①∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），

∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；

②∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，

∴﹣ =2，c=0，

∴b=﹣4a，c=0，

∴4a+b+c=0，结论②正确；

③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正，

∴a﹣b+c＞0，结论③错误；

④当x=2时，y=ax²+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，

∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；

⑤观察函数图象可知：当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．

综上所述，正确的结论有：①②④．

故选C．

 

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）

13．分解因式：2m³﹣8m=　2m（m+2）（m﹣2）　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．

【解答】解：2m³﹣8m=2m（m²﹣4）

=2m（m+2）（m﹣2）．

故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．

 

14．为了解某初级中学附近路口的汽车流量，交通管理部门调查了某周一至周五下午放学时间段通过该路口的汽车数量（单位：辆），结果如下：

183 191 169 190 177

则在该时间段中，通过这个路口的汽车数量的平均数是　182　．

【考点】W1：算术平均数．

【分析】根据平均数的计算公式用所有数据的和除以数据的个数即可计算出这组数据的平均数，从而得出答案．

【解答】解：根据题意，得在该时间段中，通过这个路口的汽车数量的平均数是

÷5=182．

故答案为182．

 

15．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是　6π　．

【考点】MO：扇形面积的计算；L5：平行四边形的性质．

【分析】证明△ABE是等边三角形，∠B=60°，根据扇形的面积公式计算即可．

【解答】解：∵四边形AECD是平行四边形，

∴AE=CD，

∵AB=BE=CD=6，

∴AB=BE=AE，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠B=60°，

∴S_扇形BAE= =6π，

故答案为：6π．

 

16．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y= （x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为 ，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为　1+ 　．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，由等腰三角形的判定与性质得出OA=BA，∠OAB=90°，证出∠AOM=∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM=BN= ，OM=AN= ，求出B（ + ， ﹣ ），得出方程（ + ）•（ ﹣ ）=k，解方程即可．

【解答】解：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：

则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，

∴∠AOM+∠OAM=90°，

∵∠AOB=∠OBA=45°，

∴OA=BA，∠OAB=90°，

∴∠OAM+∠BAN=90°，

∴∠AOM=∠BAN，

在△AOM和△BAN中， ，

∴△AOM≌△BAN（AAS），

∴AM=BN= ，OM=AN= ，

∴OD= + ，OD=BD= ﹣ ，

∴B（ + ， ﹣ ），

∴双曲线y= （x＞0）同时经过点A和B，

∴（ + ）•（ ﹣ ）=k，

整理得：k²﹣2k﹣4=0，

解得：k=1± （负值舍去），

∴k=1+ ；

故答案为：1+ ．

 

三、解答题

17．（1）计算：﹣（2﹣ ）﹣（π﹣3.14）⁰+（1﹣cos30°）×（ ）^﹣2；

（2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中a= ．

【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．21·cn·jy·com

【分析】（1）根据去括号得法则、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂可以解答本题；

（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．

【解答】解：（1）﹣（2﹣ ）﹣（π﹣3.14）⁰+（1﹣cos30°）×（ ）^﹣2

= ﹣2﹣1+（1﹣ ）×4

=

= ；

（2） ﹣ ÷

=

=

=

= ，

当a= 时，原式= ．

 

18．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．

（1）求证：△DCA≌△EAC；

（2）只需添加一个条件，即　AD=BC（答案不唯一）　，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．

【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；

（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．

【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中， ，

∴△DCA≌△EAC（SSS）；

（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：

∵AB=DC，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵CE⊥AE，

∴∠E=90°，

由（1）得：△DCA≌△EAC，

∴∠D=∠E=90°，

∴四边形ABCD为矩形；

故答案为：AD=BC（答案不唯一）．

 

19．若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．

（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；

（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法．

【分析】（1）根据“两位递增数”定义可得；

（2）画树状图列出所有“两位递增数”，找到个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数，根据概率公式求解可得．21教育网

【解答】解：（1）根据题意所有个位数字是5的“两位递增数”是15、25、35、45这4个；

（2）画树状图为：

共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数为3，

所以个位数字与十位数字之积能被10整除的概率= = ．

 

20．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．www-2-1-cnjy-com

（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？

（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？

【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米．根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务”列出方程；21教育名师原创作品

（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米．则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式．

【解答】解：（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得21*cnjy*com

﹣ =4

解得：x=33.75，

经检验x=33.75是原分式方程的解，

则1.6x=1.6×33.75=54（万平方米）．

答：实际每年绿化面积为54万平方米；

（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意得

54×2+2（54+a）≥360

解得：a≥72．

答：则至少每年平均增加72万平方米．

 

21．阅读材料：

在平面直角坐标系xOy中，点P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d= ．

例如：求点P₀（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．

解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，

∴点P₀（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d= = ．

根据以上材料，解决下列问题：

问题1：点P₁（3，4）到直线y=﹣ x+ 的距离为　4　；

问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣ x+b相切，求实数b的值；21世纪教育网版权所有

问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S_△ABP的最大值和最小值．www.21-cn-jy.com

【考点】FI：一次函数综合题．

【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；

（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．

（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．21*cnjy*com

【解答】解：（1）点P₁（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d= =4，

故答案为4．

（2）∵⊙C与直线y=﹣ x+b相切，⊙C的半径为1，

∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，

∴ =1，

解得b=5或15．

（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d= =3，

∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，

∴S_△ABP的最大值= ×2×4=4，S_△ABP的最小值= ×2×2=2．

 

22．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．

（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S_{四边形OPMN}=8S_△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）连接OC，由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定理可求得OD的长，在Rt△OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；

（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；

（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S_{四边形OPMN}=8S_△QAB可求得点Q到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB∽△OBN即可．

【解答】解：

（1）如图，连接OC，

∵M（4，0），N（0，3），

∴OM=4，ON=3，

∴MN=5，

∴OC= MN= ，

∵CD为抛物线对称轴，

∴OD=MD=2，

在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD= = = ，

∴PD=PC﹣CD= ﹣ =1，

∴P（2，﹣1）；

（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），

∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）²﹣1，

∵抛物线过N（0，3），

∴3=a（0﹣2）²﹣1，解得a=1，

∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）²﹣1，即y=x²﹣4x+3；

（3）在y=x²﹣4x+3中，令y=0可得0=x²﹣4x+3，解得x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0），

∴AB=3﹣1=2，

∵ON=3，OM=4，PD=1，

∴S_{四边形OPMN}=S_△OMP+S_△OMN= OM•PD+ OM•ON= ×4×1+ ×4×3=8=8S_△QAB，

∴S_△QAB=1，

设Q点纵坐标为y，则 ×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，

当y=1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，

当y=﹣1时，可知P点即为所求的Q点，

∵D为AB的中点，

∴AD=BD=QD，

∴△QAB为等腰直角三角形，

∵ON=OB=3，

∴△OBN为等腰直角三角形，

∴△QAB∽△OBN，

综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．

 

2017年7月2日

 

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