2017年全国中考数学试题2017年山东省临沂市中考数学试卷(含答案解析版)

2017年山东省临沂市中考数学试卷

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）

1．﹣ 的相反数是（　　）

A． B．﹣ C．2017 D．﹣2017

2．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

3．下列计算正确的是（　　）

A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b B．a²+a²=a⁴ C．a²•a³=a⁶ D．（ab²）²=a²b⁴

4．不等式组 中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

5．如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

6．小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（　　）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形

8．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（　　）

A． = B． = C． = D． =

9．某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：

部门	人数	每人创年利润（万元）
A	1	10
B	3	8
C	7	5
D	4	3

这15名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（　　）

A．10，5 B．7，8 C．5，6.5 D．5，5

10．如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（　　）

A．2 B． ﹣ π C．1 D． + π

11．将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

12．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

13．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

t	0	1	2	3	4	5	6	7	…
h	0	8	14	18	20	20	18	14	…

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（　　）

A．6 B．10 C．2 D．2

 

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

15．分解因式：m³﹣9m=　 　．

16．已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO=　 　．

17．计算： ÷（x﹣ ）=　 　．

18．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC= ，则▱ABCD的面积是　 　．

19．在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量 可以用点P的坐标表示为 =（m，n）．

已知： =（x₁，y₁）， =（x₂，y₂），如果x₁•x₂+y₁•y₂=0，那么 与 互相垂直，下列四组向量：

① =（2，1）， =（﹣1，2）；

② =（cos30°，tan45°）， =（1，sin60°）；

③ =（ ﹣ ，﹣2）， =（ + ， ）；

④ =（π⁰，2）， =（2，﹣1）．

其中互相垂直的是　 　（填上所有正确答案的符号）．

 

三、解答题（本大题共7小题，共63分）

20．计算：|1﹣ |+2cos45°﹣ +（ ）^﹣1．

21．为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计9要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表：

学生最喜爱的节目人数统计表

节目	人数（名）	百分比
最强大脑	5	10%
朗读者	15	b%
中国诗词大会	a	40%
出彩中国人	10	20%

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）x=　 　，a=　 　，b=　 　；

（2）补全上面的条形统计图；

（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．

22．如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．

23．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，

（1）求证：DE=DB；

（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．

24．某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m³）之间的关系如图所示．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若某用户二、三月份共用水40cm³（二月份用水量不超过25cm³），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m³？

25．数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

26．如图，抛物线y=ax²+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

 

2017年山东省临沂市中考数学试卷

参考答案与试题解析

 

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）

1．﹣ 的相反数是（　　）

A． B．﹣ C．2017 D．﹣2017

【考点】14：相反数．

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．

【解答】解：﹣ 的相反数是： ．

故选：A．

 

2．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【考点】JA：平行线的性质；IL：余角和补角．

【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．

【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，

∴∠BEF=∠1+∠F=50°，

∵AB∥CD，

∴∠2=∠BEF=50°，

故选A．

 

3．下列计算正确的是（　　）

A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b B．a²+a²=a⁴ C．a²•a³=a⁶ D．（ab²）²=a²b⁴

【考点】47：幂的乘方与积的乘方；44：整式的加减；46：同底数幂的乘法．

【分析】根据去括号、同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方，可得答案．

【解答】解：A、括号前是负号，去括号全变号，故A不符合题意；

B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故B不符合题意；

C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C不符合题意；

D、积的乘方等于乘方的积，故D符合题意；

故选：D．

 

4．不等式组 中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式①，得：x＜1，

解不等式②，得：x≥﹣3，

则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，

故选：B．

 

5．如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【考点】U2：简单组合体的三视图．

【分析】根据三视图定义分别作出三视图即可判断．

【解答】解：该几何体的三视图如下：

主视图： ；俯视图： ；左视图： ，

故选：D．

 

6．小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（　　）

A． B． C． D．

【考点】X6：列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，

∴小华获胜的概率是： = ．

故选C．

 

7．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（　　）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形

【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．

【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得

（n﹣2）•180°=360°×2

解得n=6．

则这个多边形是六边形．

故选：C．

 

8．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（　　）

A． = B． = C． = D． =

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．

【分析】根据甲乙的效率，可设未知数，根据甲乙的工作时间，可列方程．

【解答】解：设乙每小时做x个，甲每小时做（x+6）个，

根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，得

= ，

故选：B．

 

9．某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：

部门	人数	每人创年利润（万元）
A	1	10
B	3	8
C	7	5
D	4	3

这15名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（　　）

A．10，5 B．7，8 C．5，6.5 D．5，5

【考点】W5：众数；W4：中位数．

【分析】根据表格中的数据可以将这组数据按照从小到大的顺序排列起来，从而可以找到这组数据的中位数和众数．

【解答】解：由题意可得，

这15名员工的每人创年利润为：10、8、8、8、5、5、5、5、5、5、5、3、3、3、3，

∴这组数据的众数是5，中位数是5，

故选D．

 

10．如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（　　）

A．2 B． ﹣ π C．1 D． + π

【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．

【分析】设AC交⊙O于D，连结BD，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则可判断△ADB、△BDC都是等腰直角三角形，所以AD=BD=CD= AB= ，然后利用弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=S_△BTD．

【解答】解：∵BT是⊙O的切线；

设AT交⊙O于D，连结BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

而∠ATB=45°，

∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，

∴AD=BD=TD= AB= ，

∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，

∴阴影部分的面积=S_△BTD= × × =1．

故选C．

 

11．将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

【考点】38：规律型：图形的变化类．

【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第n个图形中小圆的个数，进而得出答案．

【解答】解：第1个图形有1个小圆；

第2个图形有1+2=3个小圆；

第3个图形有1+2+3=6个小圆；

第4个图形有1+2+3+4=10个小圆；

第n个图形有1+2+3+…+n= 个小圆；

∵第n个图形中“○”的个数是78，

∴78= ，

解得：n₁=12，n₂=﹣13（不合题意舍去），

故选：B．

 

12．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

【考点】LC：矩形的判定；L9：菱形的判定．

【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．

【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；

若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；

若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；

若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．

 

13．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

t	0	1	2	3	4	5	6	7	…
h	0	8	14	18	20	20	18	14	…

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】HE：二次函数的应用．

【分析】由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t²+9t=﹣（t﹣4.5）²+20.25，由此即可一一判断．

【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，

∴y=﹣t²+9t=﹣（t﹣4.5）²+20.25，

∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，

∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，

∵t=9时，y=0，

∴足球被踢出9s时落地，故③正确，

∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．

∴正确的有②③，

故选B．

 

14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（　　）

A．6 B．10 C．2 D．2

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；PA：轴对称﹣最短路线问题．

【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6， ），N（ ，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：∵正方形OABC的边长是6，

∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，

∴M（6， ），N（ ，6），

∴BN=6﹣ ，BM=6﹣ ，

∵△OMN的面积为10，

∴6×6﹣ ×6× ﹣ 6× ﹣ ×（6﹣ ）²=10，

∴k=24，

∴M（6，4），N（4，6），

作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，

∵AM=AM′=4，

∴BM′=10，BN=2，

∴NM′= = =2 ，

故选C．

 

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

15．分解因式：m³﹣9m=　m（m+3）（m﹣3）　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）．

【解答】解：m³﹣9m，

=m（m²﹣9），

=m（m+3）（m﹣3）．

故答案为：m（m+3）（m﹣3）．

 

16．已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO=　4　．

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴ = = ，即 = ，

解得，AO=4，

故答案为：4．

 

17．计算： ÷（x﹣ ）=　 　．

【考点】6C：分式的混合运算．

【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．

【解答】解：原式= ÷

= •

= ，

故答案为： ．

 

18．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC= ，则▱ABCD的面积是　24　．

【考点】L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形．

【分析】作OE⊥CD于E，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD= BD=5，CD=AB=4，由sin∠BDC= ，证出AC⊥CD，OC=3，AC=2OC=6，得出▱ABCD的面积=CD•AC=24．

【解答】解：作OE⊥CD于E，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD= BD=5，CD=AB=4，

∵sin∠BDC= = ，

∴OE=3，

∴DE= =4，

∵CD=4，

∴点E与点C重合，

∴AC⊥CD，OC=3，

∴AC=2OC=6，

∴▱ABCD的面积=CD•AC=4×6=24；

故答案为：24．

 

19．在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量 可以用点P的坐标表示为 =（m，n）．

已知： =（x₁，y₁）， =（x₂，y₂），如果x₁•x₂+y₁•y₂=0，那么 与 互相垂直，下列四组向量：

① =（2，1）， =（﹣1，2）；

② =（cos30°，tan45°）， =（1，sin60°）；

③ =（ ﹣ ，﹣2）， =（ + ， ）；

④ =（π⁰，2）， =（2，﹣1）．

其中互相垂直的是　①③④　（填上所有正确答案的符号）．

【考点】LM：*平面向量；6E：零指数幂；T7：解直角三角形．

【分析】根据向量垂直的定义进行解答．

【解答】解：①因为2×（﹣1）+1×2=0，所以 与 互相垂直；

②因为cos30°×1+tan45°•sin60°= ×1+1× = ≠0，所以 与 不互相垂直；

③因为（ ﹣ ）（ + ）+（﹣2）× =3﹣2﹣1=0，所以 与 互相垂直；

④因为π⁰×2+2×（﹣1）=2﹣2=0，所以 与 互相垂直．

综上所述，①③④互相垂直．

故答案是：①③④．

 

三、解答题（本大题共7小题，共63分）

20．计算：|1﹣ |+2cos45°﹣ +（ ）^﹣1．

【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和负指数幂的运算，分别求得每项的值，再进行计算即可．

【解答】解：

|1﹣ |+2cos45°﹣ +（ ）^﹣1

= ﹣1+2× ﹣2 +2

= ﹣1+ ﹣2 +2

=1．

 

21．为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计9要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表：

学生最喜爱的节目人数统计表

节目	人数（名）	百分比
最强大脑	5	10%
朗读者	15	b%
中国诗词大会	a	40%
出彩中国人	10	20%

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）x=　50　，a=　20　，b=　30　；

（2）补全上面的条形统计图；

（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VA：统计表．

【分析】（1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出x的值，进而求出a与b的值即可；

（2）根据a的值，补全条形统计图即可；

（3）由中国诗词大会的百分比乘以1000即可得到结果．

【解答】解：（1）根据题意得：x=5÷10%=50，a=50×40%=20，b= ×100=30；

故答案为：50；20；30；

（2）中国诗词大会的人数为20人，补全条形统计图，如图所示：

（3）根据题意得：1000×40%=400（名），

则估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有400名．

 

22．如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．

【解答】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，

在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°，

∴ED=AEtan30°=10 m，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m，

∴AB=30 m，

则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30 ﹣10 =20 m．

 

23．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，

（1）求证：DE=DB；

（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．

【考点】MA：三角形的外接圆与外心．

【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出 ，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；

（2）由（1）得： ，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC= =4 ，即可得出△ABC外接圆的半径．

【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，

∴ ，

∴∠DBC=∠CAD，

∴∠DBC=∠BAE，

∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DE=DB；

（2）解：连接CD，如图所示：

由（1）得： ，

∴CD=BD=4，

∵∠BAC=90°，

∴BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∴BC= =4 ，

∴△ABC外接圆的半径= ×4 =2 ．

 

24．某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m³）之间的关系如图所示．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若某用户二、三月份共用水40cm³（二月份用水量不超过25cm³），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m³？

【考点】FH：一次函数的应用．

【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式；

（2）根据题意对x进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少m³．

【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx，

15k=27，得k=1.8，

即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，

当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，

，得 ，

即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9，

由上可得，y与x的函数关系式为y= ；

（2）设二月份的用水量是xm³，

当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，

解得，x无解，

当0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，

解得，x=12，

∴40﹣x=28，

答：该用户二、三月份的用水量各是12m³、28m³．

 

25．数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

【考点】RB：几何变换综合题．

【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）

（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．

【解答】解：（1）BC+CD= AC；

理由：如图1，

延长CD至E，使DE=BC，

∵∠ABD=∠ADB=45°，

∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，

∵∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠ACB+∠ACD=45°，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ADC+∠ADE=180°，

∴∠ABC=∠ADE，

在△ABC和△ADE中， ，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴CE= AC，

∵CE=CE+DE=CD+BC，

∴BC+CD= AC；

（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，

延长CD至E，使DE=BC，

∵∠ABD=∠ADB=α，

∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，

∵∠ACB=∠ACD=α，

∴∠ACB+∠ACD=2α，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ADC+∠ADE=180°，

∴∠ABC=∠ADE，

在△ABC和△ADE中， ，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，

∴∠AEC=α，

过点A作AF⊥CE于F，

∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，

∴CE=2CF=2AC•cosα，

∵CE=CD+DE=CD+BC，

∴BC+CD=2AC•cosα．

 

26．如图，抛物线y=ax²+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）待定系数法即可得到结论；

（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m即可得到结论；

（3）设M（a，a²﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．

【解答】解：（1）由y=ax²+bx﹣3得C（0．﹣3），

∴OC=3，

∵OC=3OB，

∴OB=1，

∴B（﹣1，0），

把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax²+bx﹣3得 ，

∴ ，

∴抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣3；

（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，

∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），

∴AF∥x轴，

∴F（﹣1，﹣3），

∴BF=3，AF=3，

∴∠BAC=45°，

设D（0，m），则OD=|m|，

∵∠BDO=∠BAC，

∴∠BDO=45°，

∴OD=OB=1，

∴|m|=1，

∴m=±1，

∴D₁（0，1），D₂（0，﹣1）；

（3）设M（a，a²﹣2a﹣3），N（1，n），

①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，

则△ABF≌△NME，

∴NE=AF=3，ME=BF=3，

∴|a﹣1|=3，

∴a=3或a=﹣2，

∴M（4，5）或（﹣2，11）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，

则N在x轴上，M与C重合，

∴M（0，﹣3），

综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．

 

 

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